Congruência e Aritmética Modular – Teoremas úteis.

Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa “aritmética modular”, que é equivalente à análise de restos. Você pode ver o básico sobre aritmética modular e relações de congruência aqui, no post antigo do Eduardo. Entretanto, hoje vamos mais a fundo: saberemos como determinar quais números têm um inverso modular, além de alguns teoremas e aplicações importantes, porém mais recentes. Mas, antes, vamos relembrar o básico:

Definição 1: Dizemos que dois inteiros a,b são congruentes módulo m se m|a – b. (Escrevemos a ≡b (mód m)). Analogamente, se a,b são congruentes módulo m, eles têm o mesmo resto na divisão por m.

Reparem que as relações de congruência satisfazem todas as propriedades básicas de operações com inteiros:

Proposições Básicas: Se a≡b mod m e c ≡ d mod m, então a+c≡b+d mod m, a – c ≡ b – d mod m, ac ≡ bd mod m.

Exemplo Básico:

Resolução: Essa conta não parece muito “apetitosa” de se fazer. Portanto, vamos apenas analisar os restos das potências de 3 mód 7:

E, assim, temos nossa repetição. Logo, agora nossa tarefa é determinar o resto de

Mas

Logo, como 323 é ímpar, 5³²³ deve deixar resto 5 módulo 6. Assim, temos que nossa tarefa é equivalente a achar o resto de 3⁵ módulo 7, que sabemos ser 5. Portanto,

Agora, podemos prosseguir à parte interessante:

Teorema de Invertíveis: Um número inteiro a é invertível módulo n quando existe b tal que ab ≡ 1 mod m. Então, todos os números invertíveis módulo m são os coprimos com m (ou seja, mdc(a,m) = 1).

Demonstração: Suponhamos mdc(a,m) ≠ 1, a<m. Então, se

O que significa que uma combinação linear de a,m tem que dar 1. Absurdo, pois a menor combinação linear que pode ocorrer entre dois números é seu mdc, que, neste caso, é diferente de 1. ■

Corolário: Todo inteiro m admite φ(m) invertíveis módulo m, onde φ(m) é o número de primos com m. ■

Com este teorema em mãos, vamos ao famoso

Teorema de Wilson: Seja p primo maior que 2. Então (p – 1)! ≡ -1 mod p.

Demonstração: Temos que todos os inteiros mód p são invertíveis, mas apenas dois destes são o inversos deles mesmos: 1 e -1. Mas isto tem que ser demonstrado:

Se

Então

Mas p é primo, e ambas as parcelas, menores que p. Logo, seu produto tem de ser igual a zero, gerando que x=1 ou x = -1.

Com isso, todos os inteiros módulo p ao serem multiplicados, com exceção do 1 e do -1, encontrarão seu inverso multiplicativo, e resultarão em 1 mod p. Ao multiplicar esses “uns” pelo um e pelo -1, obtemos -1. Mas a multiplicação de todos os inteiros menores de p é justamente (p – 1)!, o que completa a prova. ■

Corolário:

Demonstração: Temos que

Logo,

Como queríamos demonstrar. ■

Com este teorema em mãos, podemos aplicá-lo a alguns problemas:

Problema 1: Mostre que, p primo maior que 3, então

Resolução: Para este problema, precisaremos de um importante lema:

Se o leitor quiser, este pode demonstrá-lo utilizando indução. Porém, para poupar os detalhes da demonstração, prossigamos. Ao diminuir 2, teremos apenas fatores “múltiplos” de p². Isto é óbvio, pois p é primo. Assim, tudo que temos que fazer é demonstrar que

Mas isto é fácil: Reparemos que todos os k’s têm um inverso, digamos, r_k. Assim, Podemos escrever

Mas os r_k são apenas uma reordenação dos números de 1 a p – 1. Logo, Esta é a soma de todos os quadrados de números de um a n, que se dá por

Logo, no nosso caso,

Que é, de fato, múltiplo de p. ■

É óbvia, depois desse exemplo, a importância dos inversos multiplicativos módulo m. Agora, vamos a mais um teorema que ajuda muito na hora de resolver problemas deste tipo: o teorema de Euler-Fermat.

Teorema de Euler: Seja a um inteiro positivo e m outro inteiro positivo com mdc(a,m) = 1. Então, sempre vale que

Demonstração: Comecemos observando que se são os números primos com m menores que m, então eles são todos invertíveis, e representam todos os invertíveis módulo m. Logo, se selecionarmos a tal que mdc(a,m) = 1, então também representará todos os invertíveis módulo m. Assim, se multiplicarmos todos os números deste conjunto e analisarmos o produto módulo m, teremos

Como queríamos demonstrar. ■

Corolário (Teorema de Fermat): É válido para todo a que

Demonstração: Para a múltiplo de p, é óbvio. Para todos os outros, como mdc(a,p)=1, então podemos aplicar diretamente o teorema acima para obter a^{p – 1} ≡ 1 mod p, e, multiplicando por a dos dois lados, obtemos a relação desejada. ■

Agora, vamos ao exemplo ilustrativo:

Problema 2: (OIbM 2001) Demonstrar que para todo n inteiro positivo existe 2^m com m inteiro positivos tal que este tenha pelo menos 2n/3 – 1 zeros consecutivos dentre suas n últimas casas decimais.

Resolução: Sabemos que

Pelo teorema de Euler. Assim,

Agora, sabemos que 2ⁿ das ultimas casas decimais do número estão ocupadas com algarismos não nulos (na verdade, nem todos são não-nulos, mas eles bloqueiam a nossa sequência de zeros, e é isso que importa). Mas

Logo, eles bloqueiam no máximo n/3 +1 casas do final do número (pois n/3,quando não é inteiro, arredonda a potência de 10 para cima). Logo, Temos que pelo menos 2n/3 – 1 zeros consecutivos serão mantidos.

Ou seja, para todo n inteiro positivo, m = φ(5ⁿ) + n = 4.5^{n – 1} + n satisfaz o enunciado. ■

Observação: Este problema é clássico em teoria dos números; Várias versões envolvendo números de zeros ao final de certa potência de 2 são muito amplamente conhecidas, esta é a generalização deste problema.

Bom, espero que tenham gostado e entendido tudo que foi dito neste post, embora não tenha sido muito detalhado. Se você não está muito familiarizado com congruências, volte ao topo do post e veja o primeiro post sobre congruências, do Eduardo.

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Fontes:

MARTINEZ, Fabio Brochero, MOREIRA, Carlos Gustavo, SALDANHA, Nicolau, TENGAN, Eduardo. Teoria dos Números: Um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro. Projeto Euclides, Brasil, 2010.