terça-feira, 18 de janeiro de 2011

Aplicação da Derivada (Parte 1)

Esse post será dedicado ao estudo da primeira das aplicações da derivada (além da Série de MacLaurin): Achar máximos e mínimos de uma função.
Para achar o máximo/ mínimo de uma função, teremos de analisar alguns exemplos:
clip_image002
Reparem que, quando há um máximo/mínimo local (ou total) da função, temos que ter uma parte (local) da curva em que não haja pontos maiores/menores do que este. Vemos, com o exemplo da curva acima, que se forma uma pequena “barriga” virada para cima (quando o ponto é máximo) ou para baixo (quando o ponto é mínimo) quando essas ocasiões acontecem. No ponto mais alto/baixo da curva, temos que, por lógica, a tangente ao ponto é horizontal, ou seja, ela é paralela ao eixo dos X.
O que acontece quando uma reta é paralela ao eixo dos X?

Essa reta tem equação clip_image004, sendo clip_image006 uma constante. Ou seja, seu coeficiente angular é igual a zero (a equação poderia ser escrita como clip_image008). Como essa reta é tangente à função, seu coeficiente angular é dado pela derivada da função.
clip_image010
Figura 1: Função e reta tangente ao seu ponto máximo.
Que conclusão tiramos disso tudo?
Concluímos que, quando há um ponto máximo ou mínimo de uma função, sua derivada primeira se iguala a zero, ou seja, para acharmos os pontos máximos e mínimos de uma função, derivamos esta e igualamos sua derivada a zero, ou
clip_image012
Esse fato pode nos dar o ponto máximo ou mínimo quando a função é contínua, mas, em casos como da função a seguir, essa fórmula não se enquadra tão bem:
clip_image014
Como se pode ver, essa função, obviamente, tem ponto mínimo o ponto clip_image016Mas, nesse ponto, a função não tem derivada, pois este é um ponto de inflexão entre duas funções. A derivada da primeira parte da função é clip_image018, ou seja, essa função não “tem” ponto mínimo.
Já a segunda, derivando, possui ponto mínimo em clip_image020. Isso quer dizer, automaticamente, que esse ponto é mínimo da função toda? Não! Para isso, temos que fazer a intercessão das duas funções, como abaixo:
clip_image022clip_image024 As nossas suspeitas se confirmam, e o ponto clip_image026 é mesmo o ponto mínimo da nossa função. Agora, alguns exemplos:
Exemplo 1: Temos um arame de 100 metros de comprimento. Queremos Dobrá-lo de forma a formar um quadrado e um círculo. Qual a área de cada figura, se quisermos obter a maior soma das áreas possível?
Solução: Inicialmente, montemos:
clip_image028
clip_image030
Agora, tudo o que temos a fazer é substituir uma das duas variáveis (clip_image032 ou clip_image034). Suponha que substituamos o clip_image036
clip_image038
clip_image040
clip_image042
clip_image044
Como a soma tem de ser máxima, derivamos, obtendo:
clip_image046
clip_image048
Entretanto, esse valor de clip_image034[1] nos dá um valor mínimo da função. Como vamos resolver?
É simples: é só estabelecermos o intervalo no qual a função está contida, que vai desde o valor clip_image050 a quando clip_image052 que é
clip_image054
Logo percebemos que, nesse intervalo, há dois pontos de máximos locais: clip_image056 e clip_image058. Aproximando, temos clip_image060, ou seja, a função tem máximo total em clip_image062
Exemplo 2: (Problema clássico de Física) Um projétil perfeito é lançado formando certo ângulo clip_image064com a horizontal. Sabendo
clip_image066
clip_image068
Sendo clip_image070 e clip_image072 altura e distância, respectivamente, calcule qual o ângulo que tornará:
a) A altura máxima
b) A distância máxima
Solução:
a) Para isso, apenas derivamos a função da altura, em relação à variável clip_image064[1], ficando com

clip_image074(consideramos clip_image076 e clip_image078 como constantes)
clip_image080 (a derivada do seno é o cosseno, como será demonstrado futuramente)
O único ângulo que torna o cosseno igual a zero é o de clip_image082 Ou seja, o ângulo de lançamento, para que a altura seja máxima, deve ser de clip_image084.
b) Consideremos clip_image086 e clip_image072[1] a distância entre as raízes da função que dá o valor de clip_image070[1]. Temos, então:
clip_image088
clip_image090
Substituindo em clip_image072[2], obtemos
clip_image092
Mas como clip_image094, e substituindo clip_image096, obtemos
clip_image098
Derivando ( clip_image100), temos:
clip_image102
clip_image104
clip_image106
Como o número entre clip_image108 que se adapta é clip_image110, então vemos que esse é o resultado.
Antes de terminar, vamos voltar à substituição que fizemos: clip_image096[1]. Então, temos que clip_image112.
Ou seja, o ângulo que determina um alcance máximo é o de clip_image114.
Espero que tenham entendido, pois esse é um dos assuntos principais em qual a derivada é usada.

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