Blog Paralelo de um dos Autores

Olá, pessoal. Aqui é o João Pedro, e, como andamos meio parados em termos de atividades, decidi vir aqui postar sobre meu projeto paralelo recém-inaugurado, o blog do MathLinks, onde me dedicarei exclusivamente a resolver problemas de olimpíada, sem muito apego à formalidade da produção de textos para este blog. 

Não que eu não goste de escrever para o A Matemática Pura - pelo contrário, eu adoro, se pudesse, o faria todos os dias. O problema é que se torna extremamente trabalhoso desenvolver teoria em diversos ramos da matemática, especialmente da matemática olímpica. Resolver problemas, além de ser muito mais divertido, é mais natural de se postar, pois, sempre que conseguimos uma solução suficientemente boa para algum problema, queremos expô-la. 

Então, dito isto, vamos ao que interessa: 

1 - O MathLinks é um site internacional de discussão de problemas, não só olímpicos. Lá, pode-se encontrar problemas básicos de matemática, problemas olímpicos, problemas de matemática superior e outras coisas que até Erdös duvida. Particularmente, eu frequento mais a parte de olimpíadas/cálculo e análise. É onde eu consigo acompanhar mais os assuntos, porém, se cada um de vocês quiser, pode se cadastrar no MathLinks e vasculhar toda essa ferramenta maravilhosa: http://artofproblemsolving.com/

(O perfil do autor é jowramos) 

2 - Os blogs do MathLinks são sites personalizados pelos quais podemos expor, de forma rápida e prática, sem ter de apelar para programas transformadores de fórmulas em TeX, as nossas principais ideias e problemas interessantes. Qualquer usuário com pelo menos 50 mensagens pode ter um blog, e o blog pode tratar de diversas coisas - particularmente, já vi blogs falando sobre assuntos desde Topologia Geral até Transformações Projetivas em Geometria euclidiana. Enfim, há de tudo um pouco, para todos os gostos. Em particular, o blog do autor se encontra no link a seguir: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/blog.php?u=157383&start=1

Enfim, pessoal, não estranhem se a próxima postagem teórica demorar; Não estou tendo tempo, justamente por causa dos cursos de verão no IMPA e dos estudos para o time que vai nos representar na IMO ano que vem. Entretanto, postarei quando e o que puder, e sempre que tiver material bom e razoavelmente bem escrito. 

Até mais! 

Questionário dos Blogs - Fomos marcados!

Bom, ao ver o título muitos podem se perguntar sobre o que pode ser isto. Trate-se de uma corrente - mas essa é interessante! Acontece da seguinte maneira: alguém, ao ser marcado (i.e., ter seu blog marcado), deve responder às questões propostas pela pessoa que o marcou. Ao final do post, esta pessoa deve propor mais 10 perguntas para 10 blogs à sua escolha. 

Portanto, como o blog Vivendo Entre Símbolos  nos marcou, vamos responder às perguntas que o nosso ilutre amigo e novo parceiro do blog, Romirys, propôs: 

Perguntas & Respostas

1) Qual o motivo do título do seu blog? 

É bem simples: procurávamos um título legal, atrativo e que mostrasse que a principal e quase única função do blog é divulgar, ensinar e apreciar o melhor da matemática. Na verdade, não foi fácil escolher o título do blog: tivemos algumas ideias e impasses dentro da equipe (que, à época, era constituída por apenas dois dos postadores atuais), mas no final tudo deu certo, o título tem atraído visitantes e não pretendemos mudar. 

2) Qual a finalidade do blog? 

Como dito anteriormente, a finalidade do nosso blog é, principalmente, divulgar e apreciar a matemática, em sua essência. O blog conta com posts teóricos sobre assuntos tanto básicos quanto, muitas vezes, estudados em cursos de pós-graduação, além de vários problemas, tanto propostos no blog em si, quanto nas seções de problemas do blog. Isto tudo conta para a finalidade do blog. 

3) Há quanto tempo você tem este blog? 

Nós temos o blog há cerca de dois anos. Começamos no fim de 2010, e aqui estamos. 

4) O que você mais gosta de fazer quando está online? 

(Respondendo pela equipe) Acredito que todos da equipe dedicam boa parte de seu tempo ao Facebook, a rede social que creio que todos conhecem, onde, inclusive, temos uma página. A outra parte do tempo os postadores gastam, principalmente, vendo aleatoriedades informativas, notícias em geral e, claro, estudando matemática. 

5) Você reformula as postagens antigas? Ou, uma vez postadas, não mudam mais? 

Acreditamos que sempre podemos melhorar, em tudo que fazemos. Por isso, ao ver que há um erro, um conceito mal explicado, ou mesmo quando não gostamos do que escrevemos em uma postagem antiga, acabamos mudando. É inevitável, e aumenta a audiência do blog: Material de melhor qualidade tende a aumentar o leitor interessado. Nossos primeiros posts aumentaram consideravelmente em termos de visualização quando os reformulamos. 

6) Você costuma visitar os blogs dos seus seguidores? 

Dos nossos seguidores não temos o hábito de visitar, principalmente pela falta de tempo - todos nós estudamos, principalmente para olimpíadas e seleções de olimpíadas afora! Por isso, não temos tido tempo de postar muitas vezes, muito menos de visitar os blogs dos seguidores. 

7) Você visita o blogs dos seus parceiros?

Isso costumamos fazer, pois são em menor número e, muitas vezes, tratam de assuntos bem relacionados com os que postamos. Por isso, nós entramos para, em geral, pegar sugestões de posts, sugerir algum post em especial, elogiar posts, e outros. 

8) Com que frequência você posta em seu blog? 

Costumamos postar, em média, de 3 a 4 vezes por semana. Nesse período de final de ano, justamente pelas greves que assolaram as mais variadas instituições de ensino pelo Brasil, estamos mais dedicados aos estudos, testes de seleção e, claro, às festas de fim de ano, pois ninguém é de ferro! Porém, temos um plano de postar ao menos 20 vezes no próximo mês, então a atividade no blog aumentará bastante, esperem e verão! 

9) Quais suas fontes de pesquisa para criar postagens em seu blog? 

Geralmente, procuramos em livros e apostilas que temos e abordam os assuntos falados. Também recorremos bastante aos blogs http://imoibero.blogspot.com/ e http://treinamentoconesul.blogspot.com/, justamente por serem blogs oficiais de treinamento brasileiro para as olimpíadas internacionais, além de haver vários .pdf's sobre diversos assuntos interessantes. 

10) Qual seu maior sonho para seu blog? 

Nosso maior sonho é, definitivamente, conseguir passar conhecimento matemático plenamente, e, para isso, precisamos de um público bom. Ou seja, nosso sonho não é ter muitos seguidores e leitores, mas nosso sonho tem a ver com isso: quanto mais leitores, sa

beremos que estaremos sendo cada vez mais reconhecidos e efetivos na nossa missão de mostrar uma matemática mais divertida, menos conhecida. 

Minhas perguntas aos blogs

1) Como surgiu a ideia do título do seu blog? 

2) De onde você arranjou a ideia de criar um blog? 

3) Como você costuma divulgar o seu blog? 

4) Com que frequência costuma postar no seu blog? 

5) Qual a mensagem que você tem a passar com seu blog? 

6) Como seu blog se relaciona com a sua profissão? 

7) Com que frequência costuma postar em seu blog? 

8) Você acha que sites no estilo da Wikipédia são válidos para a pesquisa e acúmulo de conhecimento? Por que? 

9) Quais atividades motivam você a continuar postando em seu blog? 

10) O que você espera para seu blog no futuro?

Blogs Marcados

1) Fatos Matemáticos

2) O Baricentro da Mente

3) Blog Elementos

4) Giga Matemática

5) Blog Manthano

6) Problemas Teoremas

7) Blog Le Gauss

8) Blog Aprender

9) Matemágicas e Números

10)Blog Bruno Collares

Espero que todos participem. Em breve retornaremos com mais postagens. 

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Seção de Problemas - 8ª Edição

Hoje vamos ter nossa seção de problemas de número 8. Chegamos até aqui com muitos problemas já propostos, com níveis de dificuldade crescente e, em maioria, interessantíssimos. Nesta edição, não vai ser diferente: problemas extremamente interessantes, mais uma vez.  Portanto, o leitor interessado ganha sempre. Comecemos logo: 

Teoria dos Números

1 - (OBM-1993) Seja a sequência definida por . Determine todos os n tais que  é quadrado perfeito. 

2 - (OBM-1992) Prove que existe n tal que  começa com 1992 uns.

3 - Dada uma sequência  de inteiros positivos, prove que existe k natural tal que  contém apenas potências perfeitas.

4 - (Simulado POTI) Existe  uma sequência de números inteiros tal que todas as sequências  contém apenas um número finito de primos, para todo a natural?

5 - Prove que existem infinitos n naturais tais que a equação  tem solução nos inteiros não-nulos.

6 - Ache todos os n tais que  é um quadrado perfeito.

Álgebra

1 - (OBM-1989) Seja f: Z em Z tal que f (x) = x -10 para todo x > 100, e f (f (x + 11)), para x menor ou igual a 100. Determine o conjunto de todos os valores assumidos por f. 

2 - Definimos, para todo n natural, a n-ésima soma harmônica como . Prove que: 

(a) À medida que n tende a infinito, S_n tende a infinito. 

(b) 

3 - Dada uma circunferência unitária e um polígono regular de n lados inscrito nesta, ache o conjunto dos pontos P que maximizam o produto 

4 - (AIME-1997) Dados u,w raízes distintas da equação , ache a probabilidade de . 

5 - (Polônia - 2011) Ache todos os pares de funções f,g: R em R tais que 

6 - Dada uma circunferência de raio r e um polígono regular A₀A₁...A_n-1 de n lados inscrito nesta, prove que, para qualquer ponto P tomado na circunferência e um natural m < n, 

Combinatória

1 - (OBM-1992) Seja d(n) o número de divisores de n. Prove que 

2 - Em um país há N cidades, e de cada uma partem 4 estradas de mão dupla. Sabe-se que pode-se ir de uma estrada a qualquer outra por meio das estradas. Prove que, mesmo retirando uma estrada, podemos ir de uma cidade a qualquer outra por meio das estradas. 

3 - Um grafo é um conjunto (V,E) de vértices e arestas (falaremos mais de grafos depois), onde dois vértices são ligados ou não por uma aresta. Um grafo é conexo se podemos ir de um vértice deste a qualquer outro por meio das arestas. Definimos  como o maior número de vértices do grafo conexo G que podemos retirar deste para assegurar que este continue conexo. Definimos  analogamente, só que em relação as arestas. 

(a) Um  é o grafo de n vértices onde cada vértice é conectado a todos os outros. Determine  para este grafo. 

(b) Um grafo é bipartido quando podemos separá-lo em 2 classes de vértices: quaisquer dois vértices dentro de cada classe não são adjacentes (ou seja, não há uma aresta conectando dois vértices em uma mesma classe). Um  é um grafo bipartido em que as classes têm m e n vértices cada e, ao selecionar um vértice de uma classe, este é adjacente a todos os vértices da outra classe. Determine  para este grafo. 

(c) Um cubo d-dimensional é um grafo no conjunto dos vértices , ou seja, do conjunto das sequências  onde ,  onde é ligada uma aresta se, e somente se, dois vértices diferem em apenas uma posição na sequência. Determine  para este grafo. 

4 - Aline está no ponto (0,0) de uma malha de pontos inteiros, e Bianca está no ponto (m,n) da mesma malha, de coordenadas inteiras positivas. Aline só pode andar para cima e para o lado direito, e Bianca só pode andar para baixo e para a esquerda. Ambas fazem um movimento por segundo, onde um movimento consiste de se mover uma unidade para uma das direções permitidas. 

(a) Determine todas as duplas m,n para as quais existe um percurso de Aline e Bianca tal que estas se encontram. 

(b) Para tais duplas, calcule a probabilidade de que este encontro ocorra. 

5 - (IMO-1982) Seja  a média aritmética dos mínimos de todos os subconjuntos de r elementos de . Mostre que . 

6 - Temos n moedas viciadas, onde a probabilidade de se obter uma cara na k-ésima moeda  é . Ao jogarmos todas as n moedas exatamente uma vez, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar de caras? 

Geometria

1 - (Ásia-Pacífico 2012) Seja P um ponto no interior do triângulo ABC, e sejam D,E,F os pontos de interseção de AP com BC, de BP com CA e de CP com  AB, respectivamente. Prove que a área de ABC é 6 se a área de PFA,PDB e PEC é 1. 

2 - (IMO) Em um triângulo ABC, a bissetriz do ângulo BCA intersecta o círculo circunscrito do triângulo ABC novamente no ponto R, a mediatriz de BC em P, a mediatriz de AC em Q. O ponto médio de BC é K e o ponto médio de AC é L. Prove que os triângulos RPK e RQL têm a mesma área. 

3 - Seja P um ponto no interior do triângulo ABC, e sejam D,E,F os simétricos de P em relação aos lados BC,AC,AB, respectivamente. Qual a maior área, do triângulo ABC ou do triângulo DEF? 

4 - Sejam A,B,C tais que . Prove que 

5 - (TST-Brasil) Seja K uma circunferência de centro O tangente aos lados AB e AC do triângulo ABC nos pontos E e F, respectivamente. A reta perpendicular a BC através de O intersecta o segmento EF em D. Prove que A,D e M (ponto médio do lado BC) são colineares. 

6 - (USAMO - 2008) Um reticulado (m,n) é o espaço eucidiano de todos os pontos com coordenadas m,n inteiras. Pergunta-se: é possível cobrir todos os pontos do reticulado com discos de raio ao menos 5, sem superposição de discos? 

Bom, é tudo pelo mês! Se você gostou do blog, siga-nos no Facebook, por email ou no blog para  receber nossas atualizações. Para contatar a equipe do blog, em caso de dúvidas, sugestões ou soluções aos problemas, envie um e-mail para amatematicapura@hotmail.com. Além disso, convidamos todos a comentarem! É rápido, melhoramos o sistema de comentários para que todos possam postar à vontade. Por último, não se esqueçam de avaliar a postagem, aqui embaixo. É rapidinho, não custa nada! 

Erdős e O Livro.

Muitos por aí já ouviram falar n'O Livro', o livro sagrado das melhores demonstrações já existentes e melhores soluções para problemas. Porém, o que poucos sabem é a história deste mito que é 'O Livro'. 

Tudo se deve a um dos melhores e mais famosos matemáticos do século passado, o nosso querido Paul Erdös (na verdade, seu nome se escreve "Erdős", porém, para simplificar na digitação, usaremos o "ö"). Erdös dizia que, tamanha era a beleza de algumas demonstrações de um problema, que estas eram arte verdadeira, e por isso Deus tinha ficado encarregado de reunir a melhor demonstração possível para um problema, e criar um livro. Então, todos os problemas que admitem uma solução suficientemente elegante são incluídos n'O Livro', juntamente com esta solução. 

Embora esta história que Erdös contava pudesse ser fantasiosa e parecer até, de certo modo, parcial em relação à religião, o matemático húngaro defendia isto ser apenas uma metáfora para uma moral bem maior: achar, sempre que possível, a melhor solução para um problema. A matemática seria tão bela que a existência de Deus não seria o importante na história, mas sim O Livro e suas demonstrações 'divinas'. Parafraseando, "Você não precisa acreditar em Deus, mas você deveria acreditar n'O Livro'"

Na verdade,  para quem ainda duvida, Erdös era ateu-agnóstico. Ele, embora duvidasse da existência de Deus (a quem chamava de "Fascista Supremo"), fez a analogia ao livro justamente para ilustrar o quão lindas e divinas são as melhores provas de problemas. 

Um pouco sobre o matemático

O Fantástico (e excêntrico) Matemático, que falava que dar aula de matemática era "pregar".

Paul Erdös (em húngaro, Erdös Pál), nasceu em Budapeste. Seus pais eram ambos matemáticos, o que garantiu a Paul um prematuro gosto pela matemática: conta-se que, aos quatro anos, quem dissesse a Erdös seus anos de vida recebia, em poucos instantes, o total de segundos que já havia vivido, de cabeça. 

O crescimento produtivo de Erdös continuou e, aos 21 anos, conseguiu seu doutorado em matemática. 

Erdös era um grande andarilho: vagava pelo mundo e por muitas universidades de inúmeros países, onde cultivava amigos e artigos. Por isso Erdös é conhecido como um dos maiores colaboradores em termos de artigos em toda a história, só sendo comparável a Euler. A diferença entre ambos é que Euler publicava seus artigos, em maioria, sozinho, e Erdös publicou quase todos os seus em conjunto com algum dos amigos. 

O Matemático não era conhecido por ser um desenvolvedor de teoria, mas sim um resolvedor de problemas. Isto colaborou nos seus inúmeros artigos, pois, a cada desafio que surgia, Erdös conseguia enxergar rapidamente uma saída, contribuindo para vários artigos serem produzidos em menos de uma semana: Como ele não tinha um endereço fixo, ficava vagando por conferências matemáticas, e, como o tempo de estadia devia ser curto, a maioria de seus artigos eram produzidos rapidamente, e aquele que havia produzido e recebido Erdös em sua casa, muitas das vezes, era incumbido de indicar um novo parceiro de trabalho para o vagante matemático. 

Dentre as muitas curiosidades do "Legendário excêntrico matemático", podemos citar o fato de que ele oferecia dinheiro por problemas - os chamados Problemas de Erdös - que achasse interessante. Os prêmios variavam de 25 dólares por um problema que exigia um olhar diferente do normal e milhares de dólares para um que fosse realmente difícil e, ao mesmo tempo, de alguma utilidade. Na verdade, os Problemas de Erdös existem até hoje - seu administrador é Ronald Graham. 

Erdös morreu, de ataque cardíaco, durante uma conferência em Varsóvia, em 1996. Não deixou mulher ou filhos, apenas suas inúmeras contribuições que nos fascinam até hoje em dia. 

O Livro na vida real

Embora tenha sido uma metáfora, O Livro existe! - ou, pelo menos, chega perto de existir. Há dois títulos interessantes que envolvem o nome "O Livro" (ou, em inglês, The Book). Um é o livro "Proofs from THE BOOK", de Martin Aigner e Günter M. Ziegler, dedicado ao próprio Paul Erdös, com colaboração do próprio, porém publicado após sua morte. 

O outro é o livro "Problems from THE BOOK", de Titu Andreescu e Gabriel Dospinescu, dois autores romenos, o primeiro dos quais é treinador do time dos EUA na IMO. O livro contém, além de inúmeros problemas interessantíssimos e engenhosos, material teórico, para permitir que seus leitores alcancem as tais "Resoluções Perfeitas". 

A seguir, trazemos um exemplo de problema contido no livro "Proofs from THE BOOK". Este é uma prova relativamente simples da irracionalidade de e - base dos logaritmos naturais. 

Problema: Prove que e é irracional 

Demonstração: Suponha, por absurdo, que e é racional. Assim, e = a/b, ambos inteiros primos entre si. Sabemos, da Série de Taylor da função exponencial, que . Assim, definamos 

Provemos que x é inteiro. Isto é fácil, já que supomos a racionalidade de e:

O outro passo é provar que 0 < x < 1, gerando uma contradição. Da expansão de e, então 

Agora, temos que

A  desigualdade é restrita para n >  b+1. Assim, 

Por outro lado, como x é soma de racionais positivos, logo, x é inteiro e pertence a (0,1). Absurdo! Logo, e é irracional. 

Fiquem ligados no blog para mais conteúdo interessante. Avaliem nosso post aqui embaixo, e, para qualquer dúvida, sugestão, reclamação, elogio ou mero questionamento, podem escrever nos comentários. 

Referências:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational

http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s

Resolvendo Equações de Grau Menor que 5

Hoje achei este arquivo perdido em meu computador. Se trata de um projeto antigo sobre escrever sobre fórmulas para resolução de equações de grau menor ou igual a 5, de quase dois anos atrás. Assim, vamos analisar todos os principais casos de equações, até os realmente triviais. Não deixaremos exercícios, pois isto é apenas um post para os curiosos que desejam saber uma fórmula para a equação de terceiro/quarto grau. Comecemos pela

Demonstração 1: Demonstração da fórmula de resolução da equação do primeiro grau

Esse é o caso mais fácil de se deduzir: temos

Embora tenha sido um exemplo um tanto quanto rápido, a dificuldade tende a aumentar junto com o grau da equação. Portanto, continuemos:

Demonstração 2: Demonstração da fórmula de resolução da equação do segundo grau

Temos a seguinte equação do segundo grau:

Dividindo por , obtemos

Sendo

Efetuando , com o produto notável, temos

Efetuando a substituição em z, temos

Refazendo , recuperamos a fórmula

Que é a famosa fórmula quadrática (também chamada, erroneamente, de fórmula de Bháskara. Bháskara, na verdade, contribuiu para a matemática sim, mas as equações do segundo grau já eram bem conhecidas em sua época). ■

Agora começarão os métodos não convencionais e criativos para obter as fórmulas. Sugerimos ao leitor que realmente está interessado que preste muita atenção, alguns detalhes se mostram muito técnicos.

Demonstração 3: Demonstração da fórmula de resolução da equação do terceiro grau

Tomemos a seguinte equação do terceiro grau:

Dividindo por , temos

Sendo

Efetuando a substituição , com o produto notável, temos

Com e com , resultamos em uma equação da forma

Agora, se pudermos colocar , para quaisquer valores de u e v, então temos

Agora, vamos buscar uma maneira de zerar, em função de u + v, a equação. Uma maneira é fazer

Mas, como (u+v) = x , temos

Daí tiramos que

e

Como o sistema é simétrico em A,B, então podemos arbitrá-las:

Mas como , temos

Que é a fórmula de Cardano-Tartaglia. É claro que existe uma forma de fazer esta equação ainda mais relacionada com a original, porém é resultado de modificações algébricas muito entediantes e cansativas. Além do mais, o cálculo de p e q não é difícil: é só substituir os valores originais na equação. ■

Demonstração 4: Demonstração da fórmula de resolução da equação quártica

Tomemos a seguinte equação quártica:

Dividindo por (como sempre, para gerar uma equação mônica), temos

Fazendo , obteremos (as contas são suficientemente exaustivas para omiti-las daqui, porém recomendamos que o leitor as faça para treinar) um polinômio da forma

Agora, pretendemos obter uma equação da forma

Que ficará fácil de resolver pela fórmula quadrática. Primeiro, tem alguns passos a seguir:

Como queremos que o segundo membro seja um quadrado perfeito, vamos adicionar um número qualquer k a ambos os lados, de modo que o membro da esquerda continue um quadrado perfeito, e o da direita vire um quadrado perfeito. Temos, então

Agora, para o membro da direita ser um quadrado perfeito, então o Delta (discriminante da equação do segundo grau do membro à direita, quando analisamos na fórmula quadrática) tem de ser zero. Esse discriminante é

Então, para achar o número que satisfaça o requisito do membro à direita ser um quadrado perfeito, devemos resolver a equação acima. Pela fórmula de Cardano-Tartaglia para cúbicas, temos (pelo menos) uma solução real para tal equação de terceiro grau em k. Podemos também utilizarmo-nos do truque da demonstração anterior para reduzir ao nosso caso estudado, e daí achamos k. Temos, com

A equação

Que é o desejado. Reparem agora que não demos uma fórmula explícita para z: é quase impossível fazer tanta conta! Reparem que daríamos k em sua forma de resolução de cúbica, o que ainda demandaria modificações e, além disso, este apareceria em um radical. Logo após, apareceria este radical dentro de mais um radical, o que é suficientemente cansativo para não fazermos, porém o leitor que anseia por respostas teve suas perguntas quase totalmente respondidas. ■

Referências Bibliográficas:

- Inspirado em artigos avulsos lidos pela internet, porém as demonstrações foram todas desenvolvidas pelo autor.

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