segunda-feira, 17 de agosto de 2015

Matemática Através de Problemas - VII

Hoje, trazemos mais alguns problemas interessantes. Tentaremos adotar, daqui em diante, um modelo que vise organizar os problemas por ordem de dificuldade. Alertamos, no entanto, que a dificuldade de cada problema é algo extremamente subjetivo, de modo que um problema que para uns é imediato pode ser difícil para outros, enquanto um problema impossível para algum pode ser facilmente resolvido por outros. Assim, tente resolver todos os problemas, sem medo de tentar os mais difíceis. 

Assim, cada problema vai receber uma nota de 1 a 100 que vai medir sua dificuldade.  

1 - 45 - Seja $f : [1,3] \rightarrow \mathbb{R} $ tal que $-1 \le f(x) \le 1$, e $\int_1 ^3 f(t) dt = 0$. Determine o valor máximo de $ \int_1^3 \frac{f(x)}{x} dx $. 

2 - 20 - Prove que $AB \le A \log A + e^B$ se $A\ge1, B\ge 0$.

3 - 40 -  Seja $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ uma função analítica, não constante, contínua até o bordo, e tal que $|f(z)|=1 \;\forall z \in \mathbb{S}^1$. Prove que $f(\Bbb{D}) \supseteq \Bbb{D}$.

4 - 55 - Seja $a_n$ uma sequência de números positivos tais que $\sum a_n < \infty$ e $na_n$ é monótona. Prove que $n\log n a_n \to 0$.

5 - 30 - Seja $g : \mathbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$ uma função diferenciável tal que $\sup_{x \in \Bbb{R}^n} \| g' (x) \|_{\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n} \le b < 1$. Prove que $f(x) = x + g(x)$ é um difeomorfismo.

6 - 35 - Sejam $A,B$ duas matrizes simétricas $n \times n$. Prove que

$$ \det A \det B \le \left( \frac{\text{tr} (AB)}{n} \right) ^n $$

7 - 40 - Seja $H$ o Espaço das funções Analíticas em $\Bbb{D}$ tais que

$$ \iint |f(z)|^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y < \infty $$

Prove que tal espaço é um espaço de Hilbert com o produto interno induzido por esta norma. Se $H^2$ denota o espaço das funções analíticas tais que

$$ \sup_{1 \ge r \ge 0} \|f_r\|_{L^2(\Bbb{S}^1)} < \infty ,$$

Prove que o conjunto acima é um espaço vetorial contido em $H$. Tal subespaço é denso? Determine uma base ortonormal para $H$.

Os que tiverem soluções para um ou mais dos problemas, enviem para amatematicapuraoficial@gmail.com. Na próxima edição voltamos com mais problemas e algumas soluções e dicas para estes problemas. 

terça-feira, 28 de abril de 2015

Problema de Minimizante em Espaço de Hílbert

Hoje nosso objetivo é dar uma solução pro seguinte problema: Se $H$ é um espaço de Hilbert complexo (veja aqui e aqui), $v_1,v_2$ são dois elementos de norma igual em $H$, encontrar o menor valor possível para 

$$ I = \inf_{f \in H}\{\|f\|; |\langle f,v_i\rangle| \ge 1, i=1,2\} $$

Discutindo se é ou não única o $f$ que atinge tal mínimo. Mais especificamente, provaremos o seguinte 

Teorema: Para o problema acima, temos que 

$$ I^2  = \frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2 \rangle|} $$ 

Além disso, podemos caracterizar os extremizantes como 

(i) se $\langle v_1,v_2 \rangle = 0$, então temos como únicos extremizantes os elementos da família 

$$ f = \left(\frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2 \rangle|}\right)^{1/2} \frac{c_1v_1 + c_2v_2}{\|v_1+v_2\|} $$

Onde $|c_1|=|c_2|=1$ são complexos. 

(ii) se $\langle v_1,v_2 \rangle \ne 0 \Rightarrow \langle v_1,v_2 \rangle = e^{i\alpha}|\langle v_1,v_2 \rangle|$. Temos que os extremizantes satisfazem 

$$ f = \left(\frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2\rangle|}\right)^{1/2} \frac{c(e^{-i\alpha}v_1+v_2)}{\|e^{-i\alpha}v_1 + v_2\|} $$ 

Onde $|c|=1$ é um parâmetro complexo. 

Prova: Vamos, primeiro, mostrar que podemos reduzir o problema ao subespaço fechado $M=\text{span}\{v_1,v_2\}$. De fato, isto segue de que a projeção $P_M$ satisfaz que $\|P_M g \| < \|g\|$ se $g  \not\in M$. Assim, como $\langle P_M g, v_i \rangle = \langle g,v_i \rangle, \;i=1,2$, então podemos nos reduzir a tal subespaço.

Agora, notamos que podemos supor que $\|v_i\| =1$, pois, caso contrário, então $I = \inf_{f \in H} \{\|f\|; |\langle f,v_i\rangle| \ge 1\} = \inf_{f \in H} \{\|f\|; |\langle \|v_i\|f, \frac{v_i}{\|v_i\|} \rangle| \ge 1\} = \frac{1}{\|v_i\|} \inf_{g \in H} \{\|g\|; |\langle g, \frac{v_i}{\|v_i\|} \rangle| \ge 1\}$

Fazendo estas suposições, seja então $f = av_1 + bv_2$ que satisfaz as hipóteses do conjunto onde estamos tirando o ínfimo. Em outras palavras, 

$$ |a + b \overline{\langle v_1,v_2 \rangle} |^2 \ge 1, |b + a \langle v_1,v_2 \rangle|^2 \ge 1 $$

Isto é, a primeira expressão equivale a 

$$ |a|^2 + a\bar{b}\langle v_1,v_2\rangle+\bar{a}b \overline{\langle v_1,v_2 \rangle} + |b|^2 |\langle v_1,v_2 \rangle|^2 \ge 1$$

Como, no entanto, 

$$ \|f\|^2 = \langle av_1 + bv_2 , av_1+bv_2 \rangle = |a|^2 + a\bar{b}\langle v_1,v_2 \rangle + b \overline{a \langle v_1,v_2 \rangle } + |b|^2 $$ 

Temos que $ \|f\|^2 \ge 1-|b|^2c_{1,2}^2+ |b|^2$ (onde abreviamos $c_{1,2} = |\langle v_1,v_2 \rangle|$). A mesma dedução vale para $a$, que implica que 

$$ \|f\|^2 \ge 1+\max{|a|^2,|b|^2}(1- c_{1,2}^2) $$.

Basta, portanto, achar uma limitação em $a,b$. Mas, somando as limitações que já temos, obtemos que 

$$ 2 \le (|a|^2 + |b|^2) + 2(a \langle v_1,v_2 \rangle \bar{b} + b \overline{ a \langle v_1,v_2 \rangle} ) + (|a|^2+|b|^2)|\langle v_1,v_2 \rangle|^2 \\ \le (|a|^2+|b|^2)(1+c_{1,2})^2 \\ \le 2\max\{|a|^2,|b|^2\} (1+c_{1,2})^2 $$

Isso já nos dá a limitação 

$$ \|f\|^2 \ge 1 + \frac{1-c_{1,2}^2}{(1+|c_{1,2}|)^2} = \frac{2}{1+c_{1,2}^2} \Rightarrow I^2  \ge \frac{2}{1+c_{1,2}^2}  $$ 

Além disso, ocorre a igualdade nas estimativas acima se, e só se, $|a|=|b|=\frac{1}{1+c_{1,2}}$, com $a = e^{-i\alpha}b$ no caso (ii). Uma substituição (que deixamos a cargo do leitor) completa a prova no caso $\|v_i\|=1$. O caso geral segue do anterior. 

$\square$

Comentário 1: Tal problema foi recentemente estudado por Carneiro, Chandee, Littmann e Milinovich em [1] para conseguir relações de zeros da função zeta de Riemann sob a Hipótese de Riemann (Lema 13). No mesmo artigo, é citado o fato de que J. Vaaler e M. Kelly teriam obtido resultados análogos. 

Comentário 2: Como aplicação do Teorema que provamos, juntamente ao Teorema de Fatoração de Kreïn, pode-se resolver o problema do 2-delta: Achar uma função inteira $f$ de tipo exponencial no máximo $2 \pi$ tal que $f|_{\mathbb{R}} \ge 0$, $f \in L^1(\mathbb{R})$ e $f(\pm \alpha) \ge 1$ para $\alpha>0$. 

De fato, basta notar que, se pudermos escrever $f(x) = |g(x)|^2$, onde $g$ tem tipo exponencial no máximo $\pi$, então teremos que $f(\pm\alpha) = |g(\pm \alpha)|^2 = | \langle g,K_{\pm \alpha} \rangle|^2$, onde $K_w (z) = \frac{\sin \pi(z-\bar{w})}{\pi(z-\bar{w})}$. Usando o Teorema que acabamos de provar, obtemos já todas as soluções de tal problema. 

Comentário 3: Embora a prova do Teorema acima seja relativamente simples, ainda é em aberto achar uma versão "$n$-dimensional" de tal problema, já que muito pouco se sabe sobre o problema do $n$-delta geral. 

Referências: 

[1] - E. Carneiro, V. Chandee, F. Littmann, M. Milinovich, "Hilbert Spaces and the Pair Correlation of zeros of the Riemann-Zeta Function", a aparecer em J. Reine Agnew. Math. 

[2] - J. Vaaler, "Some Extremal Functions in Fourier Analysis", Bull. Amer. Math. Soc. (1985) 

[3] - R. P. Boas, "Entire Functions", Academic Press Inc., New York, 1954

[4] - N. Akhiezer, "Theory of Approximation", New York, 1956. 

[5] - H. Brezis, "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations", Springer, 2011. 


domingo, 26 de abril de 2015

Algumas Provas de que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $

Nosso objetivo de hoje será calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena coleção de belas provas de tal fato. 

Teorema: 

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

Prova 1: Essa prova será feita com uso de Séries de Fourier. Seja $\psi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\psi(x) = x - \frac{1}{2}$. Veremos $\psi$ como uma função periódica de período 1. 

Assim, esta admite uma transformada de Fourier discreta. Um cálculo simples mostra que 

$$ \hat{\psi}(n) = \int_{[0,1]} e^{-2\pi i t \cdot n} \psi(t) dt = -\frac{1}{2\pi i n} $$

Se $n \ne 0$, e $\hat{\psi} (0) = 0$. 

Pelo Teorema de Plancherel-Parseval, temos que 

$$ \|\psi\|_2^2 =  \sum_{k\in \mathbb{Z}} \frac{1}{4 \pi^2 n^2} $$

Mas $\int_0^1 \psi(t)^2 dt = 2 \int_0^{1/2} t^2 dt = \frac{1}{12} $ 

Isto implica que $\frac{4 \pi^2}{12} = \sum_{k\in \mathbb{Z}} \frac{1}{k^2} = 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$, terminando nossa primeira prova.                                       
                        $\square$.

Prova 2:  Esta prova utiliza Análise Complexa não-trivial. Mais especificamente, usamos a Teoria de Resíduos. 

Seja $P_n$ O retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que intersecta o eixo horizontal nos pontos $\pm (n + \frac{1}{2})$, e o eixo vertical nos pontos $ni$, e $f(z) = \cot (\pi z) \frac{1}{z^2}$. Sabemos já que $f$ é meromorfa neste retângulo, e um cálculo direto mostra que $f$ restrita ao bordo de $P_n$ satisfaz que $|f(z)|\le \frac{2}{n^2}$. Assim, 

$$ \left| \int_{P_n} f(z) dz \right| \le \frac{C}{n} \rightarrow 0 $$

Mas, do Teorema dos Resíduos, temos que a integral é igual a 

$$ 2\pi i \sum_{|k|<n+1} \text{Res}(f,k) $$

Utilizando a série de potências da cotangente, temos que 

$$ \text{Res}(f,0) = -\frac{\pi}{3} $$ 

Além, como $\cot$ é periódica de período $\pi$, então $\cot(\pi z) = \cot(\pi (z-k))$. Isto implica que $\text{Res}(f,k) = \frac{1}{\pi k^2}$. Portanto, sumarizando o que fizemos, temos que 

$$ 4 i \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right) - \frac{2 \pi^2 i}{3} \rightarrow 0 $$

Ou seja, 

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$
$\square$

Prova 3: Talvez a mais elementar as provas apresentadas aqui. 

Começamos observando que basta calcular a soma 

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} $$

Pois esta é igual a $3/4$ da soma original. Mas sabemos também que 

$$ \frac{1}{2k+1} = \int_0^1 x^{2k} dx \Rightarrow \frac{1}{(2k+1)^2} = \int_{[0,1]^2} (xy)^{2k}dxdy$$

Assim, somando as identidades acima e usando o Teorema de Fubini para trocar as ordens de integrais (pois o integrando é positivo), temos que 

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \int_{[0,1]^2} \sum_{k=1}^{\infty} (xy)^{2k} dxdy = \int_{[0,1]^2} \frac{1}{1-x^2y^2} dxdy $$

Para calcular esta última integral, basta efetuar a substituição $x = \sin u / \cos v, y = \sin v/\cos u$, que mapeia a região $\{(u,v);0<u,v, u+v < \pi/2\}$ homeomorficamente no quadrado $(0,1)^2$. Calculando, vemos que $\frac{1}{1-x^2y^2}dxdy = dudv$, i.e., a integral que desejamos calcular é apenas a área de um triângulo, e está é igual a $\frac{\pi^2}{8}$. Isto implica que 

$3S/4 = \pi^2/8 \Rightarrow S = \frac{\pi^2}{6}$, como desejado. 
$\square$.


Prova 4: Mais uma prova por Análise Complexa. Desta vez, vamos observar a fatoração de Weierstrass de $\sin$: 

$$ \sin(\pi z) = e^{Az+B} \pi z \prod_{n\ne 0}\left(1 - \frac{z}{n}\right)e^{z/n}$$

Como $\sin(\pi z)/\pi z \rightarrow 1$ quando  $z \rightarrow 0$, então podemos tomar $B=0$. Se $f(z) = \frac{\sin \pi z}{\pi z}$, então 

$$ \frac{f'(z)}{f(z)} = A + \sum_{n\ne 0} \left(\frac{1}{n} +  \frac{1}{(z-n)}\right) $$ 

Quando $z \rightarrow 0$, como $f|_{\mathbb{R}}$ é real e assume máximo local em $x=0$, então $f'(0) = 0$, e isso implica que $A=0$. Assim, podemos escrever a expressão de $f'/f$ como

$$ \frac{\frac{\pi^2 z \cos \pi z - \pi \sin \pi z}{\pi^2 z^2}}{\frac{\sin \pi z}{\pi z}} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N, n \ne 0}^{N} \frac{1}{z-n}$$ 

Que equivale a 

$$ \frac{\pi}{ \tan \pi z} - \frac{1}{z} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N, n \ne 0}^{N} \frac{1}{z-n} \iff $$

$$ \frac{\pi}{ \tan \pi z} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N} ^N \frac{1}{z-n} := \sum_n \frac{1}{z-n} $$ 

Diferenciando ambos os lados em $z$ acima, obtemos que 

$$ \left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)^2 = \sum_n \frac{1}{(z-n)^2} $$ 

Mas, fazendo $z \rightarrow 0$ em $\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)^2 - \frac{1}{z^2}$, obtemos que (após fazer as contas com a série de Laurent de $\frac{1}{\sin \pi z}^2$, as quais omitimos aqui) 

$$ \frac{\pi^2}{3} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$ 

Que é o desejado. 
$\square$.

Há muitas outras provas deste fato. Se você conhece alguma que não está aqui, ficaremos contentes em vê-la! 

Dúvidas? Sugestões? Críticas? Comente! Todos são encorajados a comentar aqui. Para uma melhor avaliação nossa do trabalho que estamos fazendo, marque o que achou dessa postagem nas caixinhas abaixo, é instantâneo!
  


sábado, 18 de abril de 2015

Matemática Através de Problemas - VI

Oi, pessoal!

Dada a falta de tempo dos administradores do blog, não estamos conseguindo postar muito conteúdo. Para compensar a falta de material novo, apresentamos aqui mais uma leva de problemas interessantes: 

1 - Ache todas as funções contínuas $ H : L^1(\mathbb{R}^n) \rightarrow \mathbb{C}$ tais que $H$ é linear e $H(f*g) = H(f)H(g)$. 

2 - (Rearranjo de Hardy-Littlewood)

(a) Sejam $ \{a_i\}$ e $\{b_i\}$ duas sequências de reais positivos. Se $\{c_i\}$, $\{d_i\}$ são, respectivamente, seus rearranjos decrescentes (i.e., $\{c_i\}= \{a_i\}$, $\{d_i\}=\{b_i\}$, com $c_1 \ge c_2 \ge c_3 \ge \cdots \ge c_n$, $d_1 \ge d_2 \ge d_3 \ge\cdots \ge d_n$), mostre que

$$ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \sum_{i=1}^n c_i d_i $$

(b) Mostre que, se f, g são funções mensuráveis, e se f*, g* são seus rearranjos decrescentes (c.f. Wikipedia ) definidos em R, então

$$ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) dx \le \int_{0}^{\infty} f^{*} (t) g^*(t) dt $$

3 - Seja V espaço vetorial. Suponha que, neste espaço vetorial, tenhamos uma forma bilinear $ a: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$, e que são conhecidos apenas os valores de $a(v,v), \forall v \in V$. Mostre que, de fato, conhecemos todos os valores $a(u,v) \forall u,v \in V$.

4 - Seja V um espaço vetorial dotado de um produto interno $\langle , \rangle$. Dada uma base $\{u_1,\cdots, u_n\}$, prove que existe uma base ortogonal $\{v_1,...,v_n\}$, e descreva explicitamente uma tal base.

5 - Mostre que, para todo conjunto Boreliano $E \subset [0,1]$, temos que

$$ \int_E x^{-1/2} dx \le 2 m(E)^{1/2} $$

6 - Suponha que São dados $n$ pontos $w_1,...,w_n$ na circunferência unitária do plano complexo. Mostre que existe um ponto $w$ tal que o produto das distâncias $|w-w_i|$ é maior estritamente que 1. Você é capaz de dar cotas melhores? Tente provar que existe um ponto tal que este produto é $\ge 2$. 

7 - Seja $P(x)$ um polinômio. Mostre que 

$$ \int_0 ^{\infty} e^{-x} P(x) dx = P(0) + P'(0) + P''(0) + \cdots $$ 



terça-feira, 10 de março de 2015

Matemática Através de Problemas - V

Olá, pessoal! 

Aqui vamos apresentar mais alguns problemas interessantes, e mostrar algumas soluções pros problemas propostos da ultima vez.


Problemas Propostos 

1 - (OMERJ-2011) Dada uma sequência de inteiros não-negativos $a_j$ tal que $a_1 + \cdots + a_k = 0$, dizemos que esta é k - legal se, para toda sequência de k termos consecutivos desta, temos que sua soma é maior ou igual a zero. Por exemplo, a sequência 1,-1,2,-2 é 2-legal mas não 3-legal, uma vez que -1 + 2 - 2 = -1.

Determine todos os N naturais tais que existe uma sequência ao mesmo tempo 3-legal e 4-legal de tamanho N.

2 - Existem variáveis aleatórias i.i.d. X, Y tais que estas tomam valor em [0,1] e sua soma X + Y é uma uniforme em [0,2]?

3 - Seja $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável, tal que 

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)+f'(x)] = 0 $$

Prove que $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 $. 

4 - (OIMU-2012) Diga se a seguinte soma converge e, caso convirja, determine seu valor numérico: 

$$ \sum_{n = 0}^{\infty} \arctan\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right) $$

5 - Se $ \varphi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \in L^1(\mathbb{R}^n) $ é uma função tal que seu menor majorante radial 

$$ \psi (x) := \sup_{|y|\ge |x|} |\varphi(y)| $$

Satisfaz que $\psi \in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^n) $, então prove que 

$$ \varphi_t * f \rightarrow 0\; \text{em} \; L^p \;\text{se} \; f \in L^p(\mathbb{R}^n)$$

Quando $t \rightarrow + \infty $. 

6 - Sejam $x_1,...,x_n$ números reais, e defina $x_{ij} = x_i - x_j, \; i<j$. 

Suponha que $F:\mathbb{R}^{\frac{n(n-1)}{2}} \rightarrow \mathbb{R} $ é uma função tal que

$$ F(x_{12}, x_{13},...,x_{n-1,n}) \le \sum_{k=0}^n x_k^2 $$

Prove que só pode ocorrer igualde acima se $\sum_{k=1}^n x_k = 0$. 

7 - (CIIM-2011) Seja $a \in \mathbb{Z}$ tal que $a-2$ é divisível por 7. Suponha que $a^6 -1$ seja divisível por $7^k$. Prove que $(a+1)^6-1$ também é divisível por $7^k$. 

8 - Calcule 

$$ \int_0^1 \log (x) \log (1-x) dx $$ 

9 - Encontre todas as funções $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tais que 

$$ f(x)^2 - f(y)^2 = f(x-y)f(x+y) \;\forall x,y \in \mathbb{R} $$ 

10 - Seja $N(k) := \#\{(x,y)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}; ax+by = k \}$ Para $a,b$ inteiros positivos primos entre si. 

Calcule

$$ \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{N(k)}{k} $$ 


Sugestões

1 - É possível provar que todo inteiro suficientemente grande não satisfaz tal propriedade. Para fazer isso, escreva $N = 3j + 4l$ com $l\le 2$ e, supondo a existência de uma tal sequência, "quebre" a sequência em subsequências de 3 e 4 termos cuja soma seja não-negativa. Isso mostrará que tais somas têm de ser exatamente 0. Trabalhe com isto. 

2 - Escreva o problema como um problema de convolução de medidas: existe uma medida $\mu$ suportada em $[0,1]$ tal que $\mu * \mu = U_{[0,2]}$? A resposta é negativa. Para provar isso, passe a transformada de Fourier em ambos os lados e use que $\hat{\mu} $ é então uma função analítica, e, para terminar, compare com os zeros da função analítica $\hat{U_{[0,2]}}$. 

3 - Defina $g(x) = e^x f(x)$. Diferencie para ver que existe $x_0$ tal que, se $x \ge x_0$, temos então $-\varepsilon e^x \le g'(x) \le \varepsilon e^x$. Integre então $g'$ de $x_0$ a $y$, usando tais desigualdades. 

4 - Observe que $\arctan(x)+\arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ se a primeira parcela acima soma menos do que $\pi$ e $xy < 1$. Use isto para calcular explicitamente que as somas parciais são da forma $S_n = \arctan(n+1) \rightarrow \frac{\pi}{2}$. 

5 - Observe que, então, $\psi \in L^p(\mathbb{R}^n), 1\le p \le \infty$. Use isto para provar que $\|\psi_t\|_p \rightarrow 0$ se $1<p<\infty$. Para terminar, temos que $\|\varphi_t * f\|_p \le \|\psi_t * f \|_p $. Prove primeiro que vale a propriedade para $f \in L^1 \cap L^p$, usando a desigualdade de Young e a propriedade que sabemos para $\psi_t$. Use um argumento de densidade para completar. 

6 - Defina $y_j = x_j - \frac{1}{2} (x_1 + \cdots + x_n)$. Então $y_i - y_j = x_i - x_j$, e, se há igualdade, conclua que $\sum_k x_k^2 \le \frac{1}{2}(\sum_k x_k^2 - 2 \sum_{i<j} x_i x_j) \iff (\sum_k x_k)^2 \le 0$. 

7 - Mostre que $a^6 \equiv 1 \mod 7^k \Rightarrow a^3 \equiv 1  \mod 7^k$ se $a \equiv 2 \mod 7$. Expanda então $(a+1)^6 - 1$ e conclua usando o anterior. 

8 - Repare que $\log (1-x) = -\sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n}$. Troque a ordem das integrais e repare que basta então calcular $\int_0^1 \log(x) x^n dx $. Isto pode ser feito com integração por partes, por exemplo. 

9 - Se $g(x,y) := f(x)^2-f(y)^2$, então $g \in C^2(\mathbb{R}^2)$. Calcule $\partial_x \partial_y g (x,y) $ de duas maneiras diferentes. Conclua que $f(x) = cx$. 

10 - Mostre que todas as soluções para tal problema são da forma $(x_k + bt,y_k-at)$, onde $y_k$ é a maior ordenada de todas as soluções. Prove que $y_k \mathtt{\sim} \frac{k}{b}$. A resposta é $\frac{1}{ab}$. 

Solução dos Problemas Anteriores

1 - Multiplicando a expressão toda por $f'(x)$, temos que 

$$ (f^2)' + ((f')^2)' = -2xg(x)f'(x)^2 $$ 

Isto implica que a função $f^2 + (f')^2 $ é crescente em $\mathbb{R}_{-}$, e decrescente em $\mathbb{R}_{+}$. Isto implica que esta mesma tem seu máximo em $x = 0$. Ou seja, $f(x)^2 \le f(0)^2; f'(x)^2 \le f'(0)^2$. Provamos ainda mais do que o desejado: mostramos que $f'$ também é limitada. 

2 - Temos que, se $y=x$ na equação, $f(2x) = 2f(x)$. É imediato então ver que $f(2^{-n}) = 2^{-n}$. Mais ainda, com a mesma ideia e uma indução, se mostra que, para todos $k,n \in \mathbb{N}; \log_2 k < n$, $f(k/2^n) = k/2^n$. 

Para concluir que $f(x)=x$, basta ver que $f$ é contínua. Porém, é fácil ver que $f$ é contínua no zero: Se $\varepsilon < 2^{-m}$, então $f(\varepsilon) \le f(\varepsilon) + f(2^{-m} - \varepsilon) = 2 f(2^{-m-1})=2^{-m}$. Para ver a continuidade num ponto geral, veja que $f(x+\alpha)-f(x) = f(x) - f(x-\alpha)=\cdots = f(x-(k-1)\alpha) - f(x-k\alpha)$, onde $k$ é tal que $x-k\alpha \ge 0 \ge x-(k+1)\alpha \Rightarrow (k+1)\alpha \ge x \ge k \alpha$. Se, então, $\alpha \le 2^{n-1}$, teremos que $f(x+\alpha)-f(x) \le 2^{-n}$, e garantimos continuidade por cima. Analogamente, por baixo, que completa a prova. 

3 - Escolha $t > 0$ tal que $ \sum_{n \ge t} \frac{1}{a_n} < \frac{1}{4}$. Da desigualdade entre as médias, temos que 

$$  \prod_{i=t+1} ^{t+n} \frac{1}{a_i} \le \frac{1}{n^n}\left(\sum_{n = t+1}^{t+n} \frac{1}{a_n} \right) ^n \le \frac{1}{(4n)^n} $$

Isto implica que, se $\prod_{i=1}^L a_i = S_L$, 

$$  S_n \ge (4n)^n S_t \ge (2n)^n $$

Se n é suficientemente grande. Logo, não existe uma tal sequência. 

4 - Primeiro, como $\alpha - \beta, \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha-\beta)$ são inteiros, então $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}$. Além disso, podemos escrever $\alpha = \beta + k, k \in \mathbb{Z}$. Assim, temos que, se $\alpha = \frac{p+kq}{q}$, então 

$$ (p+kq)^n - p^n \equiv 0 \mod q^n $$ 

Mas $((p+kq)^n-p^n)/kq \equiv np^{n-1} \mod q$. Como podemos assumir que $\text{mdc}(p,q) = 1$, então existem infinitos $n \in \mathbb{N}$ tais que a expressão acima é prima com q. Logo, Temos que 

$$ q^n | kq \text{para infinitos } n \Rightarrow k = 0$$ 

Que termina a prova de que não existem tais reais. 

5 - Suponha que exista $\varepsilon_0 > 0$ tal que $\hat{f} \in L^1(e^{\varepsilon_0 |x|} dx) \Rightarrow \hat{f} \in L^1(e^{\varepsilon |x| }dx)$ se $\varepsilon < \varepsilon_0$.  

Considere então a função definida por 

$$ F(z) = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i \xi \cdot z} d \xi $$ 

Se $ \mathfrak{I}(z_i) $ é suficientemente pequena, então, pelas observações acima, esta função está bem definida. Pelo Teorema de Morera, esta é uma função analítica em cada variável complexa $z_i$ separadamente, e contínua. Do Lema de Osgood, temos que tal função é de fato uma função analítica na variável $z$ em um aberto de $\mathbb{C}^n$ da forma $ \{z=x+iy; x \in \mathbb{R}^n, |y|\le \frac{ \epsilon_0}{100} \}$.

Mas $F|_{\mathbb{R}^n} \equiv f$ por inversão de Fourier, que implica que, fora de uma bola com centro na origem, $F|_{B(0,r)^c} \equiv 0$. É fácil ver que $F$ é então identicamente nula numa vizinhança (de $\mathbb{C}^n$) de qualquer ponto real. Mas isto implica claramente que, do princípio da extensão analítica, $F \equiv 0 $ no aberto onde está definida, o que é um absurdo, pois supusemos $ f \not \equiv 0$. 





Não se esqueça de avaliar o post abaixo, e de comentar caso tenha qualquer dúvida! 

domingo, 1 de março de 2015

Sequências, Séries e Progressões: Parte 4 - Introdução às Séries de Potências e Funções Analíticas

Oi, pessoal! 

Apresentamos aqui uma introdução às funções analíticas complexas e à teoria formal das Séries de Potências. Ao longo do nosso caminho, vamos ver que a teoria de funções complexas diferenciáveis (ou funções holomorfas) está intimamente ligada à teoria que vamos construir aqui. 

De fato, em um futuro próximo falaremos de funções holomorfas e Análise Complexa. Na verdade, o tópico de hoje é um tópico de Análise Complexa, e de extrema importância pra sequência do assunto.

Primeiras Definições, Propriedades e Exemplos

A ideia geral é definir o sentido de expressões como a clássica 


Ou seja, determinar quando e para quais uma expressão "formal" do tipo 


converge, e determinar propriedades de uma função desse tipo.

Assim, definimos uma série de potências como uma sequência de funções associada a uma sequência, do seguinte modo: 


De modo que temos 


A qual chamaremos de reduzida de ordem n da série. É mais comum utilizar a notação 


Para a série de potências. A sequência considerada é de números complexos, de modo que agora a tarefa se resume a determinar para quais a série acima converge, e, se esta convergir, se a convergência também é absoluta, no sentido que a série de termos positivos 


Isto nos leva naturalmente a considerar o número 


Que chamaremos de raio de convergência da Série. É fácil ver que a convergência é absoluta para todo complexo de módulo menor que o raio de convergência. Logo, podemos definir a função 


Dizemos que uma tal função é uma função analítica em torno do zero. De modo análogo, dizemos que uma função é analítica em torno de a se esta pode ser expressa como uma série de potências 


Em alguma vizinhança do ponto a

Como se é de imaginar, funções analíticas têm muitas propriedades interessantes - afinal, são funções analíticas = deveriam ser muito importantes para a Análise! Uma muito importante propriedade é que, dentro de seu raio de convergência absoluta, estas são funções infinitamente diferenciáveis no sentido real, ou seja, 


Porém, a reciproca não vale: veremos que uma função analítica não pode se anular mais do que uma quantidade finita de vezes em um conjunto compacto, enquanto há funções infinitamente diferenciáveis que se anulam em conjuntos muito grandes. 

Se uma série tem raio de convergência > 0, então provaremos que 

Proposição 1: 


Prova: Seja 

Logo, temos que, se é menor que , então 


Que implica que 


Por outro lado, se 

Que implica que, se 

Logo, , completando a demonstração. 

Esta proposição nos relaciona diretamente os coeficientes da série com o comportamento desta. Por exemplo, já sabemos que a série 


Tem raio de convergência exatamente 1, e que a série 


Converge absolutamente para todo em C. Mais tarde veremos mais sobre estas duas séries, principalmente a segunda, que define a central função exponencial. 

Por enquanto, observemos propriedades interessantes de séries de potências: 

Proposição 2:  Sejam S,Q duas séries de potências com raios de convergência q, respectivamente. Então a série S . Q possui raio de convergência maior ou igual ao min{s,q}, onde esta pode ser escrita como 


Prova: Deixada ao leitor.

De fato, é um exercício fácil também demonstrar que a soma de duas séries de potências e a multiplicação de uma série de potências por uma constante ainda são séries de potências, e determinar seus raios de convergência. 

Exercício 1: Prove que se é a série de potências dada por 


Com raio de convergência > 0, então existe uma outra série de potências tal que seu raio de convergência é positivo e, se |z| < min{S,Q}, vale que 

S(z)Q(z) = 1.

Dizemos que uma função de em é analítica no um aberto se, para cada em U, existir r(a) > 0 tal que 


Exercício 2: Se é analítica em U, então prove que, para todo z, a representação acima é tal que


Esses dois últimos fatos são, embora fáceis, importantes para a teoria que estamos a desenvolver. 

Definição: Dizemos que uma função  é holomorfa ou diferenciável no sentido complexo em um ponto z de U se existe e é finito o limite 


Exercício 3: Mostre que, se f é analítica em U, então f é holomorfa em U

Surpreendentemente, vale a recíproca deste último fato, ou seja, que toda função holomorfa em um aberto U é na verdade analítica, mas a prova deste último fato é consideravelmente mais complicada que o último exercício acima. Falaremos mais sobre esse assunto quanto estivermos falando da Teoria de Cauchy para funções holomorfas. 

Exemplos: 

1 - A função identidade, i.e., Id(z) = z, é analítica com raio de convergência infinito. Chamamos uma tal função de inteira. 

2 - Mais geralmente, qualquer polinômio  é uma função inteira

3 - A função  é Inteira.

      Exercício 4: Mostre que tal função satisfaz que 



4 - A função 1/z é analítica em qualquer disco , mas não além, pois esta não pode ser definida no zero.

5 - A função definida por  é analítica em Re(z) > 0 (verifique!) 

Relacionando o Exercício 3 com a nossa teoria, podemos provar a seguinte propriedade:

Proposição 3: Se f é dada por uma série de potências, então a sua derivada complexa é dada pela derivação termo-a-termo, ou seja,


Com esta última série tendo raio de convergência igual ao de f.

Prova: O fato do raio de convergência ser igual ao de f é um corolário imediato da Proposição 1. Chamemos então esta última série de S (z). Sem perder generalidade, podemos supor a = 0. 

Basta então Calcular 


Trocando a ordem das somas (pois são apenas termos não-negativos), obtemos 


Que converge a 0 quando h também, e terminamos a prova. 

Propriedades Gerais de Zeros de Funções Analíticas

Comecemos com um princípio importante.

Proposição 3: Se  é uma função analítica não identicamente nula, e U um aberto conexo. Então, para todo z zero de em U, existe um disco aberto

 

Prova: Como f é analítica em torno de z e não identicamente nula, podemos escrever (verifique!)


Mas então, da continuidade de g, temos que existe r > 0 tal que em D(z,r) a função g não se anula. Consequentemente, da fatoração, temos que f não se anula nesse disco, apenas em z, que prova a propriedade desejada. 

Corolário 4: Se f é analítica e não se anula identicamente num aberto conexo e limitado U, então esta possui apenas uma quantidade enumerável de zeros. 

Corolário 5: Se f,g são analíticas em um aberto conexo U, então são equivalentes 

(a) f = g 
(b) f = g em um subconjunto denso V de U
(c) f = g em um conjunto que se acumula em U
(d) f = g em um aberto W contido em U

Este último corolário é o chamado princípio da continuação analítica, e possui diversas implicações, como, por exemplo

Corolário 6: Se f,g são duas funções analíticas inteiras que coincidem em R, então estas são iguais. 

Dizemos que uma função  é analítica inteira real se esta pode ser escrita como uma série absolutamente convergente para todo x real


Do último corolário concluímos que

Corolário 7: Toda função analítica, inteira e real pode ser escrita como a restrição a R de uma única função analítica e inteira definida em C.

Prova: A existência de tal função é direta, definindo


E notando que esta é absolutamente convergente para todo z complexo. 

A unicidade vem então do Corolário 6, pois, se F,G são duas funções analíticas e inteiras com a propriedade acima, então essas coincidem em R, e, logo, coincidem em todo o plano complexo. 

Exercícios Adicionais e Problemas

1 - O objetivo deste exercício é provar que o conjunto de funções analíticas é fechado por composição de funções. Para isso, é interessante resolver os seguintes itens: 

(a) Prove que, se f é uma função analítica definida em um aberto U de C, então  é analítica
(b) Prove que, se P é polinômio e f é como no item (a), então a composta P o f é analítica. 
(c) Prove que se uma sequência de funções analíticas converge uniformemente a uma função, então esta última é também analítica. (Dica: prove que a convergência uniforme implica a convergência dos coeficientes da série de potências) 
(d) Conclua que, se f é uma função analítica definida em um aberto U e tomando valores em um aberto V, e, além disso, g é uma função analítica definida no aberto V, então a composta g o f é também analítica. 

2 - Calcule o raio de convergência das séries de potências cujos coeficientes são dados pelas seguintes sequências: 

(a) 
(b) 
(c) 

3 - Determine, em cada item, uma série de potências S que satisfaça as equações desejadas:

(a) 
(b) 
(c) 

4 - Defina uma sequência de funções analíticas por 



Prove que:

(a) Para todo k natural,  

(b)  é analítica no disco D(0,1), cuja série de potências é dada por 


(c) Expresse  como quociente de polinômios

5 - Seja f uma função analítica definida em C tal que f (2z) = (f (z))² para todo z em C e f restrita a R é real e positiva. Mostre que existe t tal que  (Dica: defina t como tal que , prove que, para todo n natural temos que  e use o princípio da extensão analítica) 

6 - (Para este problema, assuma que vale o Teorema da Função Inversa, ou talvez o Teorema da Forma Local) Prove que, em ambos os casos abaixo, as únicas funções f do aberto conexo U em C que são analíticas e satisfazem as propriedades desejadas são as constantes: 

(a) f (U) está contido em
(b) | f (z)| = 1 para todo z em U


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