segunda-feira, 26 de novembro de 2012

Resolvendo Equações de Grau Menor que 5

Hoje achei este arquivo perdido em meu computador. Se trata de um projeto antigo sobre escrever sobre fórmulas para resolução de equações de grau menor ou igual a 5, de quase dois anos atrás. Assim, vamos analisar todos os principais casos de equações, até os realmente triviais. Não deixaremos exercícios, pois isto é apenas um post para os curiosos que desejam saber uma fórmula para a equação de terceiro/quarto grau. Comecemos pela

Demonstração 1: Demonstração da fórmula de resolução da equação do primeiro grau

Esse é o caso mais fácil de se deduzir: temos

clip_image002

Embora tenha sido um exemplo um tanto quanto rápido, a dificuldade tende a aumentar junto com o grau da equação. Portanto, continuemos:

Demonstração 2: Demonstração da fórmula de resolução da equação do segundo grau

Temos a seguinte equação do segundo grau:

clip_image004

Dividindo por clip_image006, obtemos

clip_image008

Sendo clip_image010

Efetuando clip_image012, com o produto notável, temos

clip_image014

clip_image016

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clip_image020

Efetuando a substituição em z, temos

clip_image022

Refazendo clip_image010[1], recuperamos a fórmula

clip_image024

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Que é a famosa fórmula quadrática (também chamada, erroneamente, de fórmula de Bháskara. Bháskara, na verdade, contribuiu para a matemática sim, mas as equações do segundo grau já eram bem conhecidas em sua época). ■

Agora começarão os métodos não convencionais e criativos para obter as fórmulas. Sugerimos ao leitor que realmente está interessado que preste muita atenção, alguns detalhes se mostram muito técnicos.

Demonstração 3: Demonstração da fórmula de resolução da equação do terceiro grau

Tomemos a seguinte equação do terceiro grau:

clip_image028

Dividindo por clip_image030, temos

clip_image032

Sendo clip_image034

Efetuando a substituição clip_image036, com o produto notável, temos

clip_image038

clip_image040

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Com clip_image046 e com clip_image048, resultamos em uma equação da forma

clip_image050

Agora, se pudermos colocar clip_image052, para quaisquer valores de u e v, então temos

clip_image054

Agora, vamos buscar uma maneira de zerar, em função de u + v, a equação. Uma maneira é fazer

clip_image056

Mas, como (u+v) = x , temos

clip_image058

Daí tiramos que

clip_image060
clip_image062

clip_image064

clip_image066 e clip_image068

clip_image070

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Como o sistema é simétrico em A,B, então podemos arbitrá-las:

clip_image080

clip_image082

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clip_image088

clip_image090

clip_image052[1]

clip_image092

Mas como clip_image036[1], temos

clip_image094

Que é a fórmula de Cardano-Tartaglia. É claro que existe uma forma de fazer esta equação ainda mais relacionada com a original, porém é resultado de modificações algébricas muito entediantes e cansativas. Além do mais, o cálculo de p e q não é difícil: é só substituir os valores originais na equação. ■

Demonstração 4: Demonstração da fórmula de resolução da equação quártica

Tomemos a seguinte equação quártica:

clip_image096

Dividindo por clip_image098 (como sempre, para gerar uma equação mônica), temos

clip_image100

Fazendo clip_image102, obteremos (as contas são suficientemente exaustivas para omiti-las daqui, porém recomendamos que o leitor as faça para treinar) um polinômio da forma

clip_image104

Agora, pretendemos obter uma equação da forma

clip_image106

Que ficará fácil de resolver pela fórmula quadrática. Primeiro, tem alguns passos a seguir:

clip_image108

clip_image110

clip_image112

Como queremos que o segundo membro seja um quadrado perfeito, vamos adicionar um número qualquer k a ambos os lados, de modo que o membro da esquerda continue um quadrado perfeito, e o da direita vire um quadrado perfeito. Temos, então

clip_image002[1]

clip_image004[1]

Agora, para o membro da direita ser um quadrado perfeito, então o Delta (discriminante da equação do segundo grau do membro à direita, quando analisamos na fórmula quadrática) tem de ser zero. clip_image118Esse discriminante é

clip_image002[5]

clip_image004[5]

clip_image006[3]

Então, para achar o número que satisfaça o requisito do membro à direita ser um quadrado perfeito, devemos resolver a equação acima. Pela fórmula de Cardano-Tartaglia para cúbicas, temos (pelo menos) uma solução real para tal equação de terceiro grau em k. Podemos também utilizarmo-nos do truque da demonstração anterior para reduzir ao nosso caso estudado, e daí achamos k. Temos, com

clip_image126

clip_image002[7]

clip_image130

A equação

clip_image106[1]

Que é o desejado. Reparem agora que não demos uma fórmula explícita para z: é quase impossível fazer tanta conta! Reparem que daríamos k em sua forma de resolução de cúbica, o que ainda demandaria modificações e, além disso, este apareceria em um radical. Logo após, apareceria este radical dentro de mais um radical, o que é suficientemente cansativo para não fazermos, porém o leitor que anseia por respostas teve suas perguntas quase totalmente respondidas. ■

Referências Bibliográficas:

- Inspirado em artigos avulsos lidos pela internet, porém as demonstrações foram todas desenvolvidas pelo autor.

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