quarta-feira, 7 de novembro de 2012

Fórmulas Trigonométricas Através de Números Complexos

Um amigo meu, recentemente, teimou que “minha demonstração para o cosseno e o seno das somas está incorreta”. Ele se refere à demonstração contida aqui, mesmo ela estando muito abreviada. Tentei, algumas vezes, lhe explicar verbalmente como era e no que se baseava a demonstração, mas julgo que, mesmo por falha minha, não devo ter me expressado direito, fazendo com que ele mantenha, até hoje, a insistência em que minha demonstração está incorreta.

Pois bem, caro amigo! Esta demonstração mais do que completa vai especialmente para você. Vou detalhá-la desde o início, e mostrar que, realmente, é uma demonstração muito mais prática sobre o cosseno e o seno da soma de arcos, muito mais natural que a usual demonstração.

Repare também que não faz uso da tal fórmula de Euler (clip_image002), que implicaria um suposto uso da fórmula de expansão de Taylor, que, por sua vez, implicaria na utilização da derivada do seno, que contém o nosso teorema a ser demonstrado. Não tem nada a ver com isso. É uma prova totalmente elementar, só utilizamo-nos da multiplicação de números complexos e de um pouco de pensamento vetorial.

Pois bem, cortando-se o papo, vamos à ação. A prova será feita por etapas, começando pelo

Lema 1: Seja clip_image004Então, ao multiplicar este número complexo por i, obtemos clip_image006. Em outras palavras, equivale a rotacionar o vetor clip_image008 em 90 graus.

Demonstração: Repare que

clip_image010

Porém, por trigonometria básica, clip_image012, e clip_image014.

Logo,

clip_image016

Como queríamos demonstrar. clip_image018

Fato 1: Ao multiplicar um complexo por uma constante, este não muda seu argumento. De fato, equivale a multiplicar um vetor por um escalar, que, como sabemos, nunca muda sua direção.

Lema 2: Ao multiplicar dois complexos distintos, digamos clip_image020 e clip_image022, então, ao colocá-los em sua forma vetorial (ou trigonométrica), equivale-se a rotacionar um dos vetores e multiplicar seus módulos.

Demonstração: Seja

clip_image024

Logo, multiplicando,

clip_image026

clip_image028Logo, o resultado da multiplicação dos dois complexos é o complexo correspondente à diagonal do paralelogramo de lados clip_image030 e clip_image032. Em linguagem vetorial, equivale à soma vetorial entre os dois vetores clip_image034e clip_image036.

Como, pelo nosso primeiro lema, os dois vetores anteriormente descritos são ortogonais, é fácil ver que o ângulo que o vetor resultante fará com o vetor clip_image038 é de clip_image040. Portanto, concluímos o desejado, ou seja, o argumento do vetor resultante da multiplicação é a soma dos argumentos. clip_image018[1]

Agora, nosso teorema fica fácil de demonstrar:

Teorema do Cosseno e do Seno da Soma de arcos: Sendo clip_image042 reais*, então é sempre válido que

clip_image044

clip_image046

Demonstração: Nada mais é do que uma bijeção: vamos contar de duas maneiras o valor da parte real e da imaginária do produto de números complexos clip_image048, onde

clip_image050

Pela multiplicação usual, ou seja, utilizando as regras convencionais de multiplicação, obtemos

clip_image052

Porém, pelo nosso lema anterior,

clip_image054

E os resultados seguem por igualdade entre partes reais/imaginárias. clip_image018[2]

Para mais resultados interessantes, práticos e, em muitos casos, improváveis, acessem o blog! Teremos muitas novidades por vir.

Fonte:

[1] P. DO CARMO, Manfredo; C.MORGADO, Augusto; WAGNER, Eduardo. Trigonometria e Números Complexos. 3ª edição. Rio de Janeiro, RJ, SBM, 2005.

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