sábado, 10 de novembro de 2012

Explorando equações exponencias através de Lambert

Hoje vamos aprender a resolver tipos específicos de equações: as da forma , nos reais positivos*

Primeiro, vamos trabalhar com a equação:





Extraindo raíz a-ésima, 




A partir deste momento, precisamos de uma nova definição: 

Definição: A função W de Lambert é a relação inversa de . Reparem que, para certos valores de f(W), W não é uma função, mas sim uma relação - associa um elemento a dois distintos. 

Foi provado ser impossível escrevê-la em termos de funções matemáticas elementares. Porém, ela ainda é útil: na equação acima, podemos notar, chamando nosso expoente de y , que 


Substituindo de volta, obtemos que todas as nossas soluções para a equação dada são dadas por




É muito interessante trabalhar também com a função  para descobrir quantas soluções tem certa equação em expoentes. Por exemplo, 

Exemplo 1: Ache todas as soluções de 

Resolução: Extraindo logarítmo na base e dos dois lados, 


 


Onde utilizamos, por vezes, as propriedades da definição da função W de Lambert. 

Agora, vamos a um exemplo mais concreto: resolver  nos reais.

Primeiro, aplicando nosso "teorema", obtemos que todas as soluções são dadas por 



Donde temos apenas que trabalhar com . Sabemos, porém, que



Para a derivada ser igual a zero, e, portanto, termos um ponto crítico da função, temos de ter x = -1. Logo, toda equação tem 0,1 ou 2 soluções positivas. Como sabemos que 


Então - ln 2 é um valor de W. Porém, 


Logo, -2 ln 2 também é um valor possível de W. Como há no máximo duas positivas, há exatamente duas. Substituindo, obtemos x = 2 e x = 4, que são todas as soluções positivas da equação. 

Exemplo 2: (Revista Eureka!, número 35) Ache todas as soluções reais de  

Resolução: Primeiro, tomemos ln em ambos os lados: 


Aplicando a aplicação W, 

 

Porém, sabemos que  é igual a - ln 2 ou a - 2 ln 2. 

Lema: A função , quando analisamos sua intersecção com uma reta paralela ao eixo horizontal, pode no máximo gerar dois pontos. 

Demonstração: Calculemos a derivada de f


Derivando implicitamente, 



Como a função é definida apenas em reais positivos, é suficiente achar o x que zere ln x + 2. Isto é óbvio, a única solução é . Portanto, como temos apenas um ponto de inflexão, há, no máximo, dois pontos de intersecção. 

Agora, usando o Lema, as nossas duas soluções formam todo nosso conjunto solução, pois x é real positivo. Portanto, 



3 comentários:

  1. Tudo bem, amigos?

    Uma passagem não entendi. Nas três últimas linhas antes do exemplo 1, dá apenas para entender que se temos we^w e ye^y, então não é a mesma coisa que y=w?? Ou seja, não entendi porque y=w.(-(ln a/a))....

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  2. Estava querendo fazer um trabalho sobre função W de Lambert e parece-me que este blog é a melhor referência na nossa língua sobre o assunto. Solicito a gentileza de esclarecer o ponto no qual evidenciei minha dúvida, conforme comentário anterior.

    Aloisio Teixeira

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Grande Aloisio!

      Peço desculpas pela demora. Estávamos um pouco atarefados.

      Então, depois de olhar um pouco para nossa postagem, não entendi direito qual sua dúvida. Poderia esclarecer?

      Abraço,

      A Equipe do Blog.

      Excluir

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