segunda-feira, 17 de agosto de 2015

Matemática Através de Problemas - VII

Hoje, trazemos mais alguns problemas interessantes. Tentaremos adotar, daqui em diante, um modelo que vise organizar os problemas por ordem de dificuldade. Alertamos, no entanto, que a dificuldade de cada problema é algo extremamente subjetivo, de modo que um problema que para uns é imediato pode ser difícil para outros, enquanto um problema impossível para algum pode ser facilmente resolvido por outros. Assim, tente resolver todos os problemas, sem medo de tentar os mais difíceis. 

Assim, cada problema vai receber uma nota de 1 a 100 que vai medir sua dificuldade.  

1 - 45 - Seja $f : [1,3] \rightarrow \mathbb{R} $ tal que $-1 \le f(x) \le 1$, e $\int_1 ^3 f(t) dt = 0$. Determine o valor máximo de $ \int_1^3 \frac{f(x)}{x} dx $. 

2 - 20 - Prove que $AB \le A \log A + e^B$ se $A\ge1, B\ge 0$.

3 - 40 -  Seja $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ uma função analítica, não constante, contínua até o bordo, e tal que $|f(z)|=1 \;\forall z \in \mathbb{S}^1$. Prove que $f(\Bbb{D}) \supseteq \Bbb{D}$.

4 - 55 - Seja $a_n$ uma sequência de números positivos tais que $\sum a_n < \infty$ e $na_n$ é monótona. Prove que $n\log n a_n \to 0$.

5 - 30 - Seja $g : \mathbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$ uma função diferenciável tal que $\sup_{x \in \Bbb{R}^n} \| g' (x) \|_{\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n} \le b < 1$. Prove que $f(x) = x + g(x)$ é um difeomorfismo.

6 - 35 - Sejam $A,B$ duas matrizes simétricas $n \times n$. Prove que

$$ \det A \det B \le \left( \frac{\text{tr} (AB)}{n} \right) ^n $$

7 - 40 - Seja $H$ o Espaço das funções Analíticas em $\Bbb{D}$ tais que

$$ \iint |f(z)|^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y < \infty $$

Prove que tal espaço é um espaço de Hilbert com o produto interno induzido por esta norma. Se $H^2$ denota o espaço das funções analíticas tais que

$$ \sup_{1 \ge r \ge 0} \|f_r\|_{L^2(\Bbb{S}^1)} < \infty ,$$

Prove que o conjunto acima é um espaço vetorial contido em $H$. Tal subespaço é denso? Determine uma base ortonormal para $H$.

Os que tiverem soluções para um ou mais dos problemas, enviem para amatematicapuraoficial@gmail.com. Na próxima edição voltamos com mais problemas e algumas soluções e dicas para estes problemas. 
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...