quinta-feira, 31 de maio de 2012

UBM–União dos Blogs de Matemática

Hoje venho trazer, com prazer, a notícia da filiação do Blog à UBM – União dos Blogs de Matemática.

A UBM é uma organização que visa congregar e fortalecer o ensino digital da matemática no Brasil, além de dar dicas e sugestões importantes aos iniciantes nos blogs de matemática pelo país, divulgando, ainda, blogs interessantes da matemática.
Bem, então é isso. Só gostaria de avisá-los sobre esta boa notícia que tivemos.
Até Mais,
A direção do blog.

quarta-feira, 30 de maio de 2012

Arco Capaz

 

Olá a todos.

Hoje vamos demonstrar o que chamamos de “arco capaz” em geometria, e, em um post futuro, com ajuda de alguns teoremas sobre quadriláteros inscritíveis, resolveremos exercícios que envolvem essa propriedade das circunferências.

Teorema : Dada a figura abaixo, temos que, se escolhermos um ponto D qualquer sobre o arco maior BC, então o ângulo clip_image002[4]clip_image004

Demonstração: Tracemos clip_image006 e clip_image008, como abaixo.

clip_image010

Como clip_image012 clip_image014 são isósceles. Logo, clip_image016. Do mesmo modo, clip_image018Mas clip_image020. clip_image022

sábado, 26 de maio de 2012

Mais alguns problemas interessantes

Olá a todos!

Hoje trago mais alguns problemas. Quatro, para ser mais exato. Embora simples, são bons para desenvolver conceitos e raciocínios.

O primeiro é do treinamento do Brasil para a Olimpíada do Cone Sul; O segundo, de um livro de polinômios recentemente lançado pela SBM pelo autor Antônio Caminha; O terceiro, um problema clássico, e o quarto, da primeira edição da IMO (International Mathematics Olympiad):

1 - Demonstre que
clip_image002

Onde clip_image004, clip_image006 é o raio da circunferência inscrita e clip_image008são lados de um mesmo triângulo.

2 - Seja clip_image010 um polinômio de grau n. Se clip_image012 , mostre que, clip_image014

clip_image016

3 - Prove que clip_image018 nunca é um cubo perfeito.

4 - clip_image020prove que a fração clip_image022 é irredutível para todo clip_image024

Bem, às resoluções:

1-

clip_image002[1]

Multiplicando por clip_image026, obtemos

clip_image028

Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, obtemos:

clip_image030

Como

clip_image032

clip_image034

clip_image036

Então

clip_image038

O que demonstra a desigualdade. clip_image040

2 - Seja

clip_image042

O coeficiente líder de clip_image044é positivo (o de clip_image046, pela definição, tem de ser positivo e clip_image046[1] tem grau par). Logo, se provarmos que os pontos de inflexão de clip_image048 são positivos ou nulos, terminamos.

Ora,

clip_image050

Para algum ou mais de um clip_image052

Então clip_image054. clip_image040[1]

3 - Suponhamos

clip_image056

Então

clip_image058

Como clip_image060 é impar por definição, clip_image062 tem um fator ímpar (clip_image064 é impar). Absurdo! clip_image040[2]

4 - Suponha que clip_image066 e clip_image068. Portanto,

clip_image070

Logo, clip_image072 ou clip_image074. clip_image040[3]

Bem, é tudo que tenho a oferecer por enquanto. Artigos sobre áreas específicas da matemática virão em breve, esperem e verão.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...