quarta-feira, 23 de maio de 2012

Alguns problemas interessantes

 
Olá, pessoal.
Aqui, postarei dois problemas que achei interessantes, de áreas distintas da matemática, mas que são ambos muito bons para treinar o raciocínio e a inventividade. Bem, aqui vão:
“É conhecido que clip_image002 e clip_image004. Prove que um desses números reais é igual a 1”
“Defina a sequência clip_image006; clip_image008. Mostre que todo termo dessa sequência é um inteiro positivo”
Bem, primeiro alguns esclarecimentos:
Quanto à origem dos problemas, o primeiro é de uma lista de treinamento do Brasil para a Olimpíada do Cone Sul. O segundo é de uma olimpíada da Irlanda.
Bem, sem mais delongas, vamos para as resoluções:
1 - Se clip_image010, então
clip_image012
Definindo o polinômio clip_image002[4].. Podemos ver que, chamando clip_image016, então o polinômio toma forma de
clip_image018
Assim, fazendo clip_image020,
clip_image022
Portanto, como a equação tem três raízes reais, e 1 é uma delas, chegamos à conclusão de que um dos reais é igual a um. clip_image024
2 - Façamos clip_image026
Mas clip_image028
Então,
clip_image030
Bom, parece que o termo geral da nossa sequência é definido por
clip_image032
Para clip_image034, confirmamos.
Para clip_image036, partindo que clip_image038 é verdadeiro, temos que
clip_image040
clip_image002[8]
Que é verdadeiro.
Notando que
clip_image044
Temos
clip_image046
Que, como todo coeficiente binomial é um inteiro, é um inteiro. clip_image024[1]
Pessoal, é tudo isso que posso oferecer por hoje. As resoluções são ambas minhas.
Espero que tenham gostado, até breve.

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