sábado, 26 de maio de 2012

Mais alguns problemas interessantes

Olá a todos!

Hoje trago mais alguns problemas. Quatro, para ser mais exato. Embora simples, são bons para desenvolver conceitos e raciocínios.

O primeiro é do treinamento do Brasil para a Olimpíada do Cone Sul; O segundo, de um livro de polinômios recentemente lançado pela SBM pelo autor Antônio Caminha; O terceiro, um problema clássico, e o quarto, da primeira edição da IMO (International Mathematics Olympiad):

1 - Demonstre que
clip_image002

Onde clip_image004, clip_image006 é o raio da circunferência inscrita e clip_image008são lados de um mesmo triângulo.

2 - Seja clip_image010 um polinômio de grau n. Se clip_image012 , mostre que, clip_image014

clip_image016

3 - Prove que clip_image018 nunca é um cubo perfeito.

4 - clip_image020prove que a fração clip_image022 é irredutível para todo clip_image024

Bem, às resoluções:

1-

clip_image002[1]

Multiplicando por clip_image026, obtemos

clip_image028

Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, obtemos:

clip_image030

Como

clip_image032

clip_image034

clip_image036

Então

clip_image038

O que demonstra a desigualdade. clip_image040

2 - Seja

clip_image042

O coeficiente líder de clip_image044é positivo (o de clip_image046, pela definição, tem de ser positivo e clip_image046[1] tem grau par). Logo, se provarmos que os pontos de inflexão de clip_image048 são positivos ou nulos, terminamos.

Ora,

clip_image050

Para algum ou mais de um clip_image052

Então clip_image054. clip_image040[1]

3 - Suponhamos

clip_image056

Então

clip_image058

Como clip_image060 é impar por definição, clip_image062 tem um fator ímpar (clip_image064 é impar). Absurdo! clip_image040[2]

4 - Suponha que clip_image066 e clip_image068. Portanto,

clip_image070

Logo, clip_image072 ou clip_image074. clip_image040[3]

Bem, é tudo que tenho a oferecer por enquanto. Artigos sobre áreas específicas da matemática virão em breve, esperem e verão.

Um comentário:

  1. Questão 4 - Outra solução

    Devemos mostrar que o mdc(21n + 4, 14n + 3) = 1

    Pelo algorítmo da divisão, teremos que:

    21n + 4 = (14n + 3).1 + 7n + 1
    14n + 3 = (7n + 1).2 + 1
    7n + 1 = (7n + 1).1

    Logo, o mdc(21n + 4, 14n + 3) = 1, CQD

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