Olá a todos!
Hoje trago mais alguns problemas. Quatro, para ser mais exato. Embora simples, são bons para desenvolver conceitos e raciocínios.
O primeiro é do treinamento do Brasil para a Olimpíada do Cone Sul; O segundo, de um livro de polinômios recentemente lançado pela SBM pelo autor Antônio Caminha; O terceiro, um problema clássico, e o quarto, da primeira edição da IMO (International Mathematics Olympiad):
1 - Demonstre que 
Onde 
, 
é o raio da circunferência inscrita e 
são lados de um mesmo triângulo.
2 - Seja 
um polinômio de grau n. Se 
, mostre que, 
3 - Prove que 
nunca é um cubo perfeito.
4 - 
prove que a fração 
é irredutível para todo 
Bem, às resoluções:
1-
![clip_image002[1]](http://lh5.ggpht.com/-WTEeEUg4Kmc/T8BA2S07XAI/AAAAAAAABls/HyiLbkPTAKg/s1600-h/clip_image002%25255B1%25255D%25255B3%25255D.gif "clip_image002[1]"){kind=small}
Multiplicando por 
, obtemos
Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, obtemos:
Como
Então
O que demonstra a desigualdade. 
2 - Seja
O coeficiente líder de 
é positivo (o de 
, pela definição, tem de ser positivo e ![clip_image046[1]](http://lh3.ggpht.com/-sULuQ5G9dsc/T8BBGNKCt2I/AAAAAAAABos/MVJFVlO7fvU/s1600-h/clip_image046%25255B1%25255D%25255B2%25255D.gif "clip_image046[1]"){kind=small}
tem grau par). Logo, se provarmos que os pontos de inflexão de 
são positivos ou nulos, terminamos.
Ora,
Para algum ou mais de um 
Então 
. ![clip_image040[1]](http://lh3.ggpht.com/-GRE1lIi7QCE/T8BBNbtRDeI/AAAAAAAABp8/sWlKyPVdz4A/s1600-h/clip_image040%25255B1%25255D%25255B2%25255D.gif "clip_image040[1]"){kind=small}
3 - Suponhamos
Então
Como 
é impar por definição, 
tem um fator ímpar (
é impar). Absurdo! ![clip_image040[2]](http://lh6.ggpht.com/-KKqkn6CKYj0/T8BBVrHjNHI/AAAAAAAABrc/jLt5Z6AuZqw/s1600-h/clip_image040%25255B2%25255D%25255B2%25255D.gif "clip_image040[2]"){kind=small}
4 - Suponha que 
e 
. Portanto,
Logo, 
ou 
. ![clip_image040[3]](http://lh5.ggpht.com/-mzh2HcSHTe4/T8BBeG6s7ZI/AAAAAAAABs8/_8zZ1db-3CI/s1600-h/clip_image040%25255B3%25255D%25255B2%25255D.gif "clip_image040[3]"){kind=small}
Bem, é tudo que tenho a oferecer por enquanto. Artigos sobre áreas específicas da matemática virão em breve, esperem e verão.
Questão 4 - Outra solução
ResponderExcluirDevemos mostrar que o mdc(21n + 4, 14n + 3) = 1
Pelo algorítmo da divisão, teremos que:
21n + 4 = (14n + 3).1 + 7n + 1
14n + 3 = (7n + 1).2 + 1
7n + 1 = (7n + 1).1
Logo, o mdc(21n + 4, 14n + 3) = 1, CQD