quarta-feira, 27 de junho de 2012

Seção de Problemas – Nº 3

Esta será nossa terceira seção de problemas do blog. Mais uma vez, apresentarei a resolução de poucos problemas, para deixar a resolução dos outros por vocês. Meu email: joaopedroblogger@hotmail.com.

Aqui vão:

Teoria dos Números

1 – (IMO-1978) São dados dois números inteiros positivos distintos m,n tais que os três últimos dígitos da representação decimal de clip_image002 e clip_image004 coincidem. Ache o par ordenado (m,n) tal que a soma m+n seja mínima.

2 – Uma poligonal fechada é composta de 11 segmentos. Existe uma reta, não contendo um vértice da poligonal, que passa por todos os 11 segmentos?

3 – (Olimpíada de Mayo – 2000) O conjunto clip_image006 pode ser separado em dois conjuntos clip_image008 e clip_image010 que têm mesma soma, e que têm interseção vazia. Entretanto, o conjunto clip_image012 não possui essa característica, nem o conjunto clip_image014. Determine todos os n para os quais o conjunto clip_image016 não pode ser particionado em dois conjuntos com interseção vazia e soma igual.

Álgebra

4 – (Olimpíada de Mayo – 2009) Temos, em um quadro, escrito o número 1. A partir deste número, podemos fazer qualquer uma das seguintes operações:

Operação A: Substituir o número no quadro por sua multiplicação por ½.

Operação B: Substituir o número no quadro por a diferença entre 1 e o número.

Por exemplo, se temos 3/8 no quadro, podemos conseguir:

3/16, se aplicarmos A, ou 5/8, se aplicarmos B.

Mostre que podemos chegar a

clip_image018

Mostrando como fazê-lo.

5 – (IMO-1978) Seja clip_image020 injetiva. Prove que, para todo n, a seguinte desigualdade

clip_image022

vale.

Geometria

6 – (IMO-1991) Seja ABC um triângulo e M um ponto em seu interior. Mostre que pelo menos um dos ângulo MAB, MBC e MCA é menor ou igual a 30º.

Combinatória

7 – (OBM-2008) Vamos chamar de garboso o número que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua representação decimal são 2008. Por exemplo, 7 é garboso, pois 200858 é múltiplo de 7 e começa com 2008. Observe que 200858=28694x7.

Mostre que todos os inteiros positivos são garbosos.

Resolução de Alguns Exercícios:

3 – (IMO-1969) Prove que existem infinitos a com a seguinte propriedade: para todo inteiro positivo n, o inteiro positivo clip_image024 é composto.

Resolução: Ora, se y for um quadrado perfeito, então nossa condição estará satisfeita. Assim, podemos completar o quadrado da seguinte forma:

clip_image026

Logo, se clip_image028, temos que a condição é satisfeita. Notando que existem infinitos a’s com essa propriedade, o problema termina.

7 – (IMO-1964) Dados a,b,c lados de um triângulo, prove que

clip_image030

Resolução: Utilizaremos, neste problema, um artifício interessante: A transformação de Ravi.

Ora, do que se trata? Apenas um fato curioso: Desenhemos a circunferência inscrita a um triângulo qualquer. Ao fazê-lo, você verá que teremos originado três pares de segmentos de mesma medida, pois estão de lados opostos da bissetriz de um ângulo, como na figura abaixo (segmentos de cor igual têm o mesmo valor):

clip_image032

Assim, podemos fazer a seguinte substituição:

clip_image034

clip_image036

clip_image038

Logo, nossa desigualdade a provar se torna

clip_image040

Expandindo os dois membros, temos

clip_image042
clip_image044

Que nos dá

clip_image046

Que é fácil de obter a partir da desigualdade entre as médias para seis números.

8 – Existem n>2 pessoas em uma sala. Dizemos que duas delas são amigas se elas se conhecem. Mostre que existem pelo menos duas delas que têm o mesmo número de amigos.

Resolução: Nesse problema, utilizaremos uma versão de um princípio matemático importante: o Princípio das Casas dos Pombos.

O PCP (como geralmente é abreviado) diz que, se temos n+1 pombos para colocar em n gaiolas, então pelo menos uma gaiola conterá dois pombos.

Ora, você pode estar se perguntando: gaiolas? Pombos? O que isso tem a ver com o problema?

Oras, tudo! Chamemos o número de pessoas que cada um conhece de gaiolas, e o número de pessoas de pombos.

Logo, Como cada pessoa não conhece a si mesmo, temos que considerar apenas as outras pessoas que ela conhece. Mas, temos que cada pessoa conhece, ao máximo, n-1 outras pessoas. Como há n pessoas na festa, utilizamos o PCP: pelo menos duas estarão na mesma “gaiola”, o que faz com que duas delas pelo menos conheçam um mesmo número de pessoas.

Os problemas aqui apresentados não exigem, como podem ver, teoremas muito complexos ou resultados mirabolantes: Apenas exigem o pensamento correto, o que é algo que eu apoio para quem deseja participar de olimpíadas ou vestibulares difíceis.

quarta-feira, 20 de junho de 2012

Números Complexos e a Unidade Imaginária – Parte III – Propriedades não-triviais

Os números complexos, já abordados nesse blog, são um assunto muito abrangente da matemática. O objetivo desse post é enumerar apenas algumas das propriedades menos conhecidas dos números complexos, que podemos utilizar em diversos problemas. Para saber das principais propriedades dos números complexos, e sobre um pouco da história deste conjunto de números, clique aqui e aqui.

Enfim, estas fórmulas aqui apresentadas não foram utilizadas anteriormente por causa do panorama de vista em relação aos complexos ser mais amplo e geral, e não particular e específico, como aqui abordado.

Proposição 2:

clip_image002

clip_image004

Onde |x| denota o módulo do complexo x, e Re(x), a parte real do complexo x.

Demonstração:

Chamando

clip_image006

Temos

clip_image008
clip_image010

Mas,

clip_image012

Cuja parte real é ac+bd, o que completa a demonstração. Notando que a segunda fórmula é apenas uma mudança de sinais da primeira, obtemos, por analogia, a mesma.

Exemplo 1:

Ache todos os números complexos z tais que

clip_image014

Resolução:

Utilizando nossa fórmula na segunda igualdade,

clip_image016
clip_image018

clip_image020

Logo, temos

clip_image022

Ou seja,

clip_image024

Ou

clip_image026

Assim,

clip_image028

Exemplo 2:

Sejam clip_image030 números complexos tais que clip_image032 e clip_image034

Calcule clip_image036.

Resolução:

clip_image038

clip_image040
clip_image042

Então, jogando na nossa outra fórmula,

clip_image044

Logo,

clip_image046

Proposição 2: (Desigualdade triangular para números complexos)

Sejam z, w números complexos. Então

clip_image048
clip_image050

Demonstração: De acordo com a proposição 1,

clip_image004[1]
clip_image052

Então basta provarmos que

clip_image054

Que segue diretamente de

clip_image056

A demonstração de

clip_image058

É apenas uma adaptação da anterior. Então, provaremos apenas que

clip_image060

Usando o mesmo artifício anterior,

clip_image062
clip_image064

Então, basta mostrar que

clip_image066

Que já fizemos.

De fato, este resultado pode ser generalizado: Tomemos n complexos clip_image068 . Podemos provar o resultado de que

clip_image070

Esta demonstração será deixada como exercício ao leitor.

Exemplo 3:

(Croácia) Determine os valores mínimo e máximo, caso existam, da expressão

clip_image072

Em que clip_image074 e clip_image076

Resolução:

Para este exercício, precisaremos de uma outra propriedade dos números complexos:

clip_image078

Com isso,

clip_image080

Então,

clip_image082

Utilizando a desigualdade triangular,

clip_image084

Como clip_image086,

clip_image088
clip_image090

Que completa o problema.

Proposição 3:

clip_image092

clip_image094

Onde clip_image096

Demonstração:

I)

clip_image098

clip_image100

clip_image102

II)

clip_image104

clip_image106

clip_image108

Como queríamos demonstrar.

Exemplo 4:

(IME-2012) Dados que clip_image110 são raízes da unidade, calcule clip_image112

Resolução:

Pelo enunciado,

clip_image114

Então

clip_image116

Elevando à sexta potência,

clip_image118

Que liquida o problema.

Exemplo 5:

(Croácia) Calcule

clip_image120

Resolução:

Primeiro, sabemos que

clip_image122

Então, reduzimo-nos a calcular

clip_image124

Utilizando uma das fórmulas,

clip_image126

Que é a resposta que desejamos.

Agora que já terminamos com nossa seção de propriedades não-triviais dos números complexos, que tal alguns problemas para utilizar, além da capacidade fenomenal do ser humano de pensar, algumas das propriedades já vistas? Os problemas são, além de um treino e um divertimento aos que gostam da matemática, uma maneira boa de aperfeiçoar o pensamento, tanto para vestibulares difíceis quanto para olimpíadas.

Problemas que exigem malícia e raciocínio.

P1.: Escreva na forma trigonométrica o complexo

clip_image128

P2.: Ache todos os complexos tais que

clip_image130

P3.: Resolva

clip_image132

P4.: Seja clip_image074[1] tal que

clip_image134

Prove que

clip_image136

P5.: (Croácia) Determine todos os inteiros clip_image138 que satisfazem a igualdade

clip_image140

Onde clip_image142.

P6.: (AIME) Uma função f é definida no conjunto dos números complexos por clip_image144, onde a e b são números positivos. Esta função tem a propriedade de que a imagem de cada ponto no plano complexo é equidistante do ponto e da origem. Dado que clip_image146 e clip_image148, com m e n inteiros positivos primos entre si. Determine m+n.

P7.: (Holanda) A sequência clip_image150 de números complexos é definida por

clip_image152

Encontre todos os clip_image154 tais que

clip_image156

P8.: Seja clip_image158 uma função e clip_image160. Para cada complexo fixo a, prove que há uma única função f tal que

clip_image162

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