segunda-feira, 4 de junho de 2012

Seção de Problemas

 

Aproveitando o retorno do blog, aqui irei propor alguns problemas. Essa seção de problemas interessantes vai ser semanal, toda quarta ou quinta a partir de semana que vem, e a cada semana postaremos os gabaritos comentados da semana anterior. Caso alguém queira mandar sua resolução, comente nesta postagem ou envie para joaopedroblogger@hotmail.com sua resolução. Ao todo, teremos entre cinco e dez problemas nas seções.

Enunciados:

Teoria dos Números:

1 - Prove que clip_image002é um primo somente se clip_image004 é potência de 2 (quando isso acontece, temos um primo de Fermat)

2 - Prove que clip_image006 é um primo somente se clip_image008é primo (quando isso acontece, temos um primo de Mersenne)

Álgebra:

3 - Sejam clip_image010 tais que clip_image012. Prove que:

a) clip_image014

b) clip_image016

4 - Se clip_image018 e clip_image012[1]

Ache os possíveis valores de

clip_image020

5 - Prove que clip_image022é irracional.

Geometria:

6 - Prove que uma estrela como na figura não pode ser desenhada atendendo simultaneamente a

clip_image024

clip_image026

7 - Seja um quadrilátero inscritível clip_image028 em uma circunferência de centro clip_image030 tal que suas diagonais são perpendiculares. Mostre que a linha poligonal clip_image032 divide o quadrilátero em duas partes de mesma área.

8 - Seja clip_image028[1] um quadrilátero inscritível. Suponha que tracemos uma semicircunferência com centro em clip_image034 tal que os outros três lados sejam tangentes a esta.

a) Prove que clip_image036

b) Determine, em função de clip_image038 e clip_image040, a área máxima de um quadrilátero desse tipo.

Combinatória:

9 - Quantos quadrados podemos formar com pontos numa malha clip_image042?

Fontes:

Questões 1 e 2: Livro Intro Abstract Algebra.

Questões 3,4 e 5: Revista Eureka!, número 33

Questão 6: Livro Círculos Matemáticos.

Questões 7, 8 e 9: Apostilas do Polo Olímpico de Treinamento para a OBM, 2012.

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