Pessoal, aqui estou eu para apresentar a segunda seção de problemas do blog. Assim, teremos mais material no blog e vocês, se desejarem, podem mandar soluções para joaopedroblogger@hotmail.com
Aqui vão:
Teoria dos Números
1 – (IMO-1964) Encontre todos os n para os quais é divisível por 7, e prove que, para todo n, não é divisível por 7.
2 – (IMO-1968) Encontre todos os inteiros positivos x para os quais , onde denota o produto de seus dígitos.
3 – (IMO-1969) Prove que existem infinitos com a seguinte propriedade: Para todo n inteiro positivo, nunca é primo.
Álgebra
4 – (Proposto pela Iugoslávia para a IMO de 1966) Para reais positivos, prove que
5 – (IMO-1968) Seja e uma função definida para todos os reais, satisfazendo, para todo
(a) Mostre que é periódica, i.e., existe b>0 tal que f(x+b)=f(x), para todo x.
(b) Dê um exemplo de uma função assim para
Geometria
6 – (IMO-1967) ABCD é um paralelogramo. AB=a, AD=1.. e os ângulos do triângulo ABD são agudos. Prove que os quatro círculos KA,KB,KC,KD, com centros em A,B,C,D, respectivamente, e de raio unitário cobrem o paralelogramo se, e somente,
7 – (IMO-1964) Dados lados de um triângulo, prove que
Combinatória
8 – Existem pessoas em uma sala. Dizemos que duas delas são amigas se elas se conhecem. Mostre existem pelo menos duas delas com o mesmo número de amigos. (Amizade é uma relação mútua)
9 – (IMO-1967) Em uma competição de esportes de n dias, há m medalhas a serem conquistadas. No primeiro dia, são conquistadas 1 e mais um sétimo das restantes. No segundo, duas e um sétimo das restantes, e assim em diante. No n-ésimo dia, sabe-se que foram conquistadas n medalhas. Quantos dias durou e quantas medalhas foram conquistadas na competição?
Bom, como não houve resposta à seção anterior de problemas, aqui teremos apenas a resolução de alguns dos problemas da seção anterior.
Problema 1 – Prove que é um primo somente se é potência de 2 (quando isso acontece, temos um primo de Fermat)
Resolução: Suponhamos que tenha algum fator ímpar na sua decomposição em primos. Portanto,
Que é um número composto.
Logo, tem de ser uma potência de 2.
Problema 4 – Se e , Ache os possíveis valores para
Resolução: Seja
Então, podemos escrever
Então
Multiplicando as expressões (I) por respectivamente,
Como
Assim,
Multiplicando, novamente, as expressões em (I) por , respectivamente, obtemos
Botando na expressão original,
Problema 7 – Seja um quadrilátero inscritível em uma circunferência de centro tal que suas diagonais são perpendiculares. Mostre que a linha poligonal divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área.
Resolução: Primeiro, a figura, com pequenas alterações:
Reparemos que, para que a condição do enunciado seja satisfeita, devemos ter
Onde [ABC] denota a área do triângulo ABC. Logo,
Para isso, traçamos a reta pontilhada paralela a AC, e fazemos uma reflexão dos pontos A e C em relação a esta, para obter o triângulo pontilhado A’OC’. O ponto onde A’C’ encontra DB é aquele para o qual teremos a distância DE. Logo, entre este ponto e o ponto E teremos a distância BE-DE que procuramos.
Assim, temos apenas que provar que A’OC’ e AOC são congruentes. Porém, isto é óbvio, pois os ângulos C’AC = C’A’C e A’C’A=A’CA, pois estão inscritos no mesmo arco de circunferência, e, por A’ e C’ serem uma reflexão de A e C em torno da reta, A’C’=AC, o que nos mostra que eles são congruentes. Assim, se chamarmos suas alturas de h, teremos
Assim, suas áreas devem ser
Que nos dá o resultado desejado.
Então, fica por aqui a seção de problemas. O endereço para envio de soluções está no início do post e, caso desejem, podem enviar soluções por meio de comentários.
Fontes
Todos os problemas foram retirados do livro The IMO Compendium.
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