Galera! E aí, viram o post sobre P.A.? Gostaram? Peço encarecidamente que avaliem os post ao seu fim, pois assim saberei melhor como vai a qualidade do blog. Dado o aviso, continuemos.
Nosso assunto de hoje são as progressões geométricas, ou, como vulgarmente conhecidas, P.G.’s.
Definição 1: Uma progressão geométrica é uma sequência na qual an = qan-1, onde an e an-1 são termos da sequência e q é denominada a razão da P.G.
Portanto, uma P.G. é uma sequência na qual o crescimento dos termos é exponencial:
Proposição 1: O termo geral de uma P.G. pode ser escrito como
Demonstração: Podemos, indutivamente, provar que
Para n=2, é trivial
Agora, suponhamos . Pela definição,
Assim, temos alguns problemas que já podemos fazer sobre P.G.’s:
Problema 1: Calcule x, em radianos, sabendo que formam uma P.G.
Resolução:
A P.G. em questão é, portanto, , e .
Problema 2: Mostre que é uma P.G.
Resolução:
Logo, eles formam uma P.G. de razão .
podemos, agora, partir para nossa próxima
Proposição 2: a soma dos n primeiros termos de uma P.G. é
Demonstração: façamos
Demonstração: Só temos que aplicar
Mas, como , quando este número é elevado a uma potência muito grande, este tende a zero. Portanto,
Portanto, terminados os teoremas, vamos à parte prática das coisas:
Problema 3: Calcule
Resolução:
Problema 4: (IMO-1962) Resolva
Resolução: Ao ver que se trata de uma expressão trigonométrica, podemos pensar: como podemos associar a essa expressão uma P.G.? Resposta: Números complexos!
Primeiro, efetuemos
Portanto, a equação se transforma em
Utilizando
Agora que entra a P.G.!
Mas, pela propriedade de complexos,
E
Então
Como queremos a parte real da expressão acima, temos que ter
Logo, temos de resolver
Mas, por Prostaférese (para você que não entendeu muito dessa solução, não se desespere! Vamos postar algo sobre Prostaférese e essas transformações “complexas”),
Logo,
Utilizando Prostaférese novamente,
Então, temos de resolver
E
Problema 5: Achar
Onde o último número tem n dígitos.
Resolução: Transformemos
Então
Problema 6: Ache uma fórmula fechada para
(deixado como exercício)
E aqui termina mais um post. Como prometi ao postar sobre P.A.’s, veio cedo. E, caso tenham soluções para o Problema 6, podem enviar como comentário ou, ainda, mandar para joaopedroblogger@hotmail.com , meu e-mail.
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