terça-feira, 12 de junho de 2012

Sequências e Progressões – Parte 2

Galera! E aí, viram o post sobre P.A.? Gostaram? Peço encarecidamente que avaliem os post ao seu fim, pois assim saberei melhor como vai a qualidade do blog. Dado o aviso, continuemos.

Nosso assunto de hoje são as progressões geométricas, ou, como vulgarmente conhecidas, P.G.’s.

Definição 1: Uma progressão geométrica é uma sequência na qual an = qan-1, onde an e an-1 são termos da sequência e q é denominada a razão da P.G.

Portanto, uma P.G. é uma sequência na qual o crescimento dos termos é exponencial:

Proposição 1: O termo geral de uma P.G. pode ser escrito como clip_image002

Demonstração: Podemos, indutivamente, provar que clip_image004

Para n=2, é trivial

Agora, suponhamos clip_image006. Pela definição,

clip_image008

Que completa a demonstração. clip_image010

Assim, temos alguns problemas que já podemos fazer sobre P.G.’s:

Problema 1: Calcule x, em radianos, sabendo que clip_image012 formam uma P.G.

Resolução:

clip_image014

clip_image016

clip_image018

clip_image020

clip_image022

A P.G. em questão é, portanto, clip_image024, e clip_image026. clip_image010[1]

Problema 2: Mostre que clip_image028 é uma P.G.

Resolução:

clip_image030, clip_image032E, de modo geral, clip_image034 e

clip_image036 Logo, eles formam uma P.G. de razão clip_image038. clip_image010[2]

podemos, agora, partir para nossa próxima

Proposição 2: a soma dos n primeiros termos de uma P.G. é

clip_image040

Demonstração: façamos

clip_image042

Multiplicando por clip_image044:

clip_image046

Resolvendo em função de clip_image048

clip_image050

clip_image040[1]

Como queríamos demonstrar clip_image010[3]

Corolário 1: Quando clip_image052,

clip_image054

Demonstração: Só temos que aplicar

clip_image056

Mas, como clip_image052[1], quando este número é elevado a uma potência muito grande, este tende a zero. Portanto,

clip_image058

Como desejado clip_image010[4]

Portanto, terminados os teoremas, vamos à parte prática das coisas:

Problema 3: Calcule

 clip_image060

Resolução:

clip_image062

Multipliquemos por clip_image064:

clip_image066

clip_image068

clip_image070

clip_image072

Problema 4: (IMO-1962) Resolva

 clip_image074

Resolução: Ao ver que se trata de uma expressão trigonométrica, podemos pensar: como podemos associar a essa expressão uma P.G.? Resposta: Números complexos!

Primeiro, efetuemos

clip_image076

Portanto, a equação se transforma em

clip_image078

Utilizando

clip_image080

Agora que entra a P.G.!

clip_image082

Mas, pela propriedade de complexos,

clip_image084

E

clip_image086

Então

clip_image088

Como queremos a parte real da expressão acima, temos que ter

clip_image090

Logo, temos de resolver

clip_image092

Mas, por Prostaférese (para você que não entendeu muito dessa solução, não se desespere! Vamos postar algo sobre Prostaférese e essas transformações “complexas”),

clip_image094

Logo,

clip_image096

Utilizando Prostaférese novamente,

clip_image098

Então, temos de resolver

clip_image100

clip_image102

clip_image104

E

clip_image106

clip_image108

clip_image110

Problema 5: Achar

clip_image112

Onde o último número tem n dígitos.

Resolução: Transformemos

clip_image114

Então

clip_image116

clip_image118

Problema 6: Ache uma fórmula fechada para

clip_image120

(deixado como exercício)

E aqui termina mais um post. Como prometi ao postar sobre P.A.’s, veio cedo. E, caso tenham soluções para o Problema 6, podem enviar como comentário ou, ainda, mandar para joaopedroblogger@hotmail.com , meu e-mail.

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