segunda-feira, 18 de junho de 2012

Equação do segundo grau - Parte II - Fórmula de Bhaskara e outros

Olá, gente.

Há um tempo eu postei algo sobre equações do segundo grau (
clique aqui para ver).
Analisaremos o caso em que temos [;ax^2+bx+c=0;], onde x é a incógnita, e [;a,b,c \ne 0;].

Para este caso, há 3 formas principais de resolver tal equação, são elas:

I- Completar quadrado
II- Formula de Bhaskara (ou quadrática, como mais conhecida ao redor do mundo)
III- Soma e produto

Forma I

Para a forma um, a ideia é fazer algumas manipulações algebricas de forma a "transformar" [;ax^2+bx+c=0;] em [;(lX+k)^2=m ;]. Caso não tenha ficado muito claro, aqui vai um exemplo:

Temos:
[;x^2-6x+5=0;], então, [;x^2-6x+9=4;] se e somente se 
[;(x-3)^2=4;] se e somente se
[;(x-3) = \pm 2 \Rightarrow x_{1}=5;] ou [;x_{2}=1;]

Forma II

A forma II é, de certa forma, apenas uma generalização da forma I.

Temos que: [;ax^2+bx+c=0;] então [;a \times (x^2+ \frac{bx}{a}) + c = 0;] se e somente se [;a\times [(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}] + c = 0;] então [;a \times (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0;], donde
[;a\times (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{-4ac+b^2}{4a};]
Desenvolvendo e fazendo mais algumas contas

[;(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2};]
[;(x + \frac{b}{2a}) = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}};]
[;x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};]
[;x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};]
Notas: [;\sqrt{b^2-4ac};] é chamado de discriminante, ou [;\Delta;]. Note que, se [;\Delta>0;], a equação possui 2 soluções reais, se [;\Delta = 0;], a equação possui apenas uma solução real, e se [;\Delta < 0;], então a equação não possui soluções reais. Para saber mais sobre raízes não-reais, dê uma olhada no post desse blog sobre números complexos (para ver, clique aqui)

Forma III.

A terceira forma é nada mais do que uma aplicação da forma II.

Se [;x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a};] então, [;x_1= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a};] e [;x_2= \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a};] 
Então, [;x_1+x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a};]
Ou seja, [;x_1 + x_2 = \frac{-b}{a};]
[;x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a};] 

Então, 

[;x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2};]
[;x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a};]

A sugestão que deixo é evitar utilizar fórmulas quando a,b e c são inteiros e a = 1, para facilitar nas contas e agilizar o raciocínio.

O.B.S.: O estudo de equações do Segundo grau remete a funções polinomiais do segundo grau, assunto que será abordado mais adiante.

Bom, por enquanto é tudo, o que já sinaliza a minha volta ao blog. Fiquem ligados para mais material e exercícios não tão triviais assim sobre equações de segundo grau. 



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