terça-feira, 31 de julho de 2012

Brahmagupta, Herón e Algumas Aplicações Interessantes

Brahmagupta (589-668) foi um matemático e astrônomo indiano, e sua principal contribuição, pelo menos àqueles que estudam geometria mais a fundo, é o teorema sobre quadriláteros cíclicos que leva seu nome. Seu teorema é muito importante no cálculo de áreas, inclusive de triângulos. Agora é o momento que você para e pensa: Quadriláteros inscritíveis? Triângulos? Áreas? Calma, vocês verão que tudo vai se acertar. Caso não conheça muito sobre o assunto “quadriláteros inscritíveis”, clique aqui e aqui para saber mais sobre este tópico de geometria plana.

Bom, vamos investigar qual a área de um quadrilátero cíclico, ou inscritível, como queira.

Primeiro, lembremos do nosso primeiro post sobre quadriláteros inscritíveis:

“Um Quadrilátero é inscritível se, e somente se, a soma de ângulos opostos é 180 graus”

Pra que isso vai ser útil? Tudo! Denotemos por ângulos opostos em um quadriláteros cíclico α e γ. Bom, se os lados forem, nessa ordem, a,b,c,d, com o ângulo entre a,b sendo α e γ o ângulo entre c,d. Logo, pela lei dos cossenos nos dois triângulos (eles têm um lado em comum, que é a diagonal):

clip_image002

clip_image004

Pois clip_image006. Logo, devemos ter

clip_image008

Utilizando o teorema dos senos para as áreas,

clip_image010

Pois clip_image012. Assim, utilizaremos o cosseno do ângulo para determinar seu seno. Portanto,

clip_image014

clip_image016

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Definindo clip_image024, e substituindo o seno na fórmula (*), teremos

clip_image026

clip_image028

Notemos também que a famosa fórmula de Heron (ou Herão) de Alexandria é apenas um caso particular da fórmula de Brahmagupta: se tornarmos d=0 (D=C), teremos

clip_image030

Que é válida para todo triângulo, pois todo triângulo é inscritível.

Com essas belas e utilíssimas fórmulas em mãos, podemos resolver muitos problemas. Um deles é o seguinte:

Problema 1: Um quadrilátero é dito bicêntrico quando este é inscritível e circunscritível. Prove que a área máxima de um quadrilátero bicêntro com perímetro fixo ocorre quando as duas circunferências são concêntricas.

Resolução: Ora, pela fórmula de Brahmagupta, temos

clip_image028[1]

Mas, pela condição deste ser circunscritível,

clip_image032

Logo, a área do quadrilátero é

clip_image034

Logo, pela desigualdade entre as médias para quatro números reais positivos,

clip_image036

clip_image038

clip_image040

E a área máxima ocorre se, e somente se, a=b=c=d. Logo, o quadrilátero que queremos é um quadrado. Porém, um quadrado tem ambas circunferências, a circunferência inscrita e a circunscrita, com centro no encontro de suas diagonais, que completa o problema.

Note que esse último problema utilizou argumentos mistos algébricos e geométricos. Isso é muito comum ao se usar a fórmula com a qual estamos trabalhando: geometria “com contas”. Geralmente este termo é utilizado pejorativamente pelos fãs de geometria euclidiana plana, porém não deveria, pois muitos problemas saem muito mais rapidamente quando utilizamos as famosas contas.

Problema 2: Seja a figura abaixo. Mostre que h=2r.

clip_image042

Resolução: Vale fazer a ressalva que essa estrutura (formada por um semi-círculo maior tangente a dois outros tangentes externamente e internos ao primeiro) é muito conhecida há muito tempo. Seu nome é arbelos, do grego “faca de sapateiro”.

Neste problema, utilizaremos um teorema que ainda não vimos neste blog: o teorema de Stewart. Para saber mais sobre este teorema, clique aqui. Enfim, ele diz que, dado um triângulo como na figura, devemos ter

clip_image044

clip_image046

Depois demonstraremos, pela boa e velha trigonometria, esta importante fórmula. Porém, agora apenas nos convém utilizá-la. Utilizaremo-na no triângulo cuja altura é h e tem vértices nos centros das circunferências internas à maior. Este triângulo tem lados

clip_image048

Considerando a ceviana que liga o centro da circunferência inscrita ao centro da circunferência grande, esta tem medida

clip_image050

E n,m valem, respectivamente

clip_image052

Logo, ao utilizar Stewart, devemos ter

clip_image054

Após algumas (muitas, mas por abreviação deixaremos esta parte ao leitor) manipulações algébricas, conseguimos mostrar que

clip_image056

Agora que entra Brahmagupta (ou quase). Na verdade, é Herão que usaremos aqui, mas já mostramos que Herão é apenas um caso particular de Brahmagupta. Pela fórmula de Herão,

clip_image058

É a área do triângulo. Mas, por outro lado,

clip_image060

Assim, substituindo nossa expressão do valor de r na equação de Herão,

clip_image062

clip_image064

Que nos dá

clip_image066

De onde o resultado segue.

Há muitas outras utilizações destas incríveis expressões de cálculo de área somente em função dos lados dos polígonos. Vale a pena ressalvar que não é possível, caso o quadrilátero não seja cíclico, expressar sua área apenas como função dos lados, e demonstraremos este fato em breve, no próximo post sobre relações de áreas.

Por hoje é só, pessoal. Espero que tenham gostado e que a importância destas fórmula esteja evidenciada após esse post.

Lembre-se: Você está convidado a comentar no blog! Sua opinião, desde que bem-educada, é também bem-vinda! Não se esqueça também de colocar sua opinião nas caixinhas abaixo. É rápido, não leva nem 3 segundos!

segunda-feira, 30 de julho de 2012

Demonstração Por Absurdo Envolvendo Polinômios e Números Complexos

Hoje vou fazer uma pequena demonstração por absurdo, justamente para complementar o que o Eduardo já havia escrito. Será sobre uma propriedade interessante de polinômios em C (onde C é o conjunto dos números complexos). Caso queira rever o post do Eduardo, clique Aqui.

Sabemos que existem funções de C em R. Claro, se definirmos z=a+bi, temos que a função f(z) = a+b é uma função de C em R, mas esta função não é um polinômio. Reparem que ela equivale à função f(x) = x para os reais, mas não apresenta a mesma propriedade para os complexos. Então, podemos nos perguntar: será que existe um polinômio de C em R? É isso que vamos descobrir nessa postagem.

Problema 1: Existe um polinômio com coeficientes reais e domínio nos números complexos tal que, para todo complexo a+bi, sua imagem é um número real?

Resolução: Suponhamos que sim: Suponhamos que tal polinômio seja

clip_image002

Pela propriedade dos números reais, temos que ter

clip_image004

Mas isto equivale a dizer que

clip_image006

Mas, temos que, pela propriedade dos números complexos,

clip_image008

Onde

clip_image010

Logo, temos que nossa expressão se torna

clip_image012

clip_image014

Porém, tomando qualquer α irracional positivo fixo, temos que esta expressão se torna um polinômio de variável |z|. Mas este polinômio tem no máximo n raízes reais positivas, o que contraria o fato dele atender a infinitos valores de |z|. Absurdo! E isto completa nossa prova.

Problema 2 (caso geral): Existe um polinômio de com coeficientes complexos e domínio nos números complexos que associa a cada complexo um real?

Resolução: Comecemos com o mesmo polinômio anterior. Porém, pelos coeficientes serem complexos, não podemos afirmar que o conjugado da função é a função do conjugado (verifique!). Portanto, devemos ter

clip_image016

Mas, temos que

clip_image018

Então,

clip_image020

Que faz que a expressão original seja

clip_image022

Se definirmos, como antes, um β irracional positivo, então obteremos um polinômio de grau n na variável |z| novamente, o que nos implica que um polinômio com no máximo n raízes reais positivas deve ter infinitas raízes reais positivas. Absurdo, novamente!

Bom, espero que tenham gostado do texto. Para avaliá-lo, é só clicar nas caixinhas abaixo. Comente o quanto quiser também, sua opinião, desde que respeitosa, sempre é bem-vinda.
Lembre-se: Caso não tenha entendido as passagens sobre números complexos, clique
Aqui, Aqui, Aqui e Aqui para saber mais sobre estes números.

sexta-feira, 20 de julho de 2012

Resultado do Brasil na IMO

Pessoal, aqui viemos dar uma ótima notícia! A equipe brasileira conquistou um ouro na olimpíada internacional de matemática, a IMO!

Postamos a prova da IMO aqui há um tempo (para ver a prova da IMO 2012, clique aqui).

Os resultados brasileiros foram os seguintes:

Rodrigo Sanches Angelo (SP) - Medalha de Ouro.
João Lucas Camelo Sá (CE) - Medalha de Prata.
Franco Matheus de Alencas Severo (RJ) - Medalha de Bronze
Henrique Gasparini Fiúza do Nascimento (DF) - Medalha da Bronze
Rafael Kazuhiro Miyazaki (SP) - Medalha de Bronze
Maria Clara Mendes Silva (MG) - Menção honrosa.

O Brasil ficou em 19º lugar na competição e deve, provavelmente, participar da próxima Romanian Masters in Mathematics, a competição mais elitista de matemática no mundo.

Além disso, esse ouro significou o nono ouro da história do Brasil na IMO. Ou seja, progresso!

Queremos desejar os parabéns pelo ótimo resultado, e agradecer por representar tão bem nosso país.


quinta-feira, 19 de julho de 2012

Números Complexos e a Unidade Imaginária – Parte IV – Números Complexos e Polinômios

Os Números complexos compõem um assunto muito abordado durante o Ensino Médio. Entretanto, pela experiência, vemos que, nos cursos comuns de Ensino Médio, o tema é abordado superficialmente e muitas das propriedades destes são deixadas de lado. Este é o post de número quatro da série de Números Complexos. Na verdade, este deveria ser o terceiro post, mas vi que havia urgência maior de postar sobre algumas propriedades menos óbvias dos números complexos.

Comecemos com algumas das propriedades mais óbvias, daquelas que conhecemos na escola ao estudar o tema.

Lema 1: Seja z um número complexo e seu conjugado. Temos que

clip_image002

Para todos os polinômios P com coeficientes reais.

Demonstração: Seja

clip_image004

Então

clip_image006
clip_image008
clip_image010
clip_image012
clip_image014

Como queríamos. Note que nesta demonstração apenas usamos as propriedades dos conjugados de um número complexo. Para saber mais sobre propriedades dos números complexos, clique aqui, aqui e aqui.

Com este Lema, obtemos o seguinte

Corolário 1: Se um complexo é raiz de um polinômio de coeficientes reais P, então seu conjugado também é.

Demonstração:

clip_image016

Pode parecer um simples corolário, mas ele será de extrema importância para todo tipo de progresso com relação a complexos e polinômios.

Teorema (Fundamental da Álgebra): Todo polinômio de grau n tem, se contas as multiplicidades separadamente, n raízes complexas. Ou seja, podemos fatorar o polinômio em polinômios de grau um separados.

Demonstraremos este teorema mais tarde aqui no blog, pois um post à parte será destinado a isso. Enquanto isso, veremos a

Versão Real para o Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio com coeficientes reais admite fatoração como polinômios do grau 1 ou 2 com coeficientes reais.

Demonstração: Se considerarmos, juntamente, nosso corolário e o teorema fundamental da álgebra, podemos fatorar o polinômio como:

clip_image018

Onde ri são as raízes reais de P, e as demais são raízes complexas. Ora, podemos, então agrupar os fatores

clip_image020

Mas ambos clip_image022 são reais (verifique), o que completa a demonstração.

Façamos uma ressalva: nem nosso corolário nem esta versão para o Teorema Fundamental da Álgebra são válidas para polinômios com coeficientes complexos. Estes têm particularidades que não nos convém estudar neste momento, pois aqueles com coeficientes reais são muito mais comuns em problemas e provas, como veremos.

Agora, temos de reparar sobre algo importante: raízes da unidade. Raízes da unidade de ordem n são números complexos que, elevados a n, dão 1. Por isso raízes da unidade! Mas o que elas têm de tão importantes em polinômios? Ora, tudo! Alguns problemas são liquidados quase que instantaneamente ao utilizarmos bem uma raiz da unidade. Por isso, vejamos um aspecto incrível sobre estes números complexos:

Proposição 1: O polinômio 1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1 admite todas as raízes n-ésimas da unidade distintas de 1. No mais, é possível conseguir um polinômio com coeficientes reais que admita as raízes n-ésimas de um número real positivo a distintas da própria raiz real.

Demonstração: Lembremos que a fórmula de uma progressão geométrica de razão x e primeiro termo 1 é

clip_image024

Logo, ao substituir qualquer complexo da forma ζ=cis 2kπ/n na fórmula, obteremos que seu numerador é zero e seu denominador é claramente distinto de zero. Porém, ao substituir 1 na fórmula do lado direito, obtemos denominador zero. Agora, substituindo no lado esquerdo, obtemos valor n que, claramente, não é uma raiz. Logo, temos que este polinômio admite todas as raízes n-ésimas de 1 que não são 1. Reparem que este resultado implica no importante

Corolário 1:

clip_image026

Demonstração: Repare que estas condições equivalem às relações de Girard. Pelo próprio polinômio, temos o desejado.

Antes de avançar aos exercícios resolvidos, temos de ver um importante

Teorema 2: Se r é um raiz de multiplicidade m de um polinômio P, então ela é uma raiz de multiplicidade m-1 da sua derivada, e de m­-2 de sua derivada segunda, assim por diante. (Por definição, se r for raiz de multiplicidade 0 de algum polinômio, r não é raiz do polinômio).

Demonstração: Pelo enunciado,

clip_image028

Onde Q(r)≠0. Utilizando as propriedades das derivadas,

clip_image030

clip_image032

Substituindo r em mQ(x) + Q’(x)(x-r), obtemos mQ(r)≠0. Assim, temos que mQ(x) + Q’(x)(x-r) não admite r como raiz, que completa a demonstração. Para demonstrar para as derivadas subsequentes, apenas temos que aplicar este processo o quanto quisermos.

Enfim, vamos a alguns exercícios resolvidos:

Problema 1: Sejam P,Q,R,S polinômios satisfazendo

clip_image034

Prove que (x-1) é um fator de P.

Resolução: A substituição óbvia a fazer seria x=1. Porém, ao substituirmos, ela não nos dá, pelo menos aparentemente, nada de proveitoso. Ao reparar no “coeficiente” do polinômio S, reparamos a malandragem do problema: substituir por todas as raízes quintas da unidade! Logo, obteremos o sistema

clip_image036
clip_image038
clip_image040
clip_image042
clip_image044

Logo, somando, obteremos

clip_image046

Logo,

clip_image048

Que implica que

clip_image050

Então, substituindo nas fórmulas,

clip_image052

clip_image054

Que completa a demonstração.

Problema 2: Ache uma fórmula fechada para

clip_image056

Resolução: Seja clip_image058. Então, pela terceira aula sobre complexos:

clip_image060

Com isso, elevando o complexo à n-ésima potência, temos, pelo binômio de Newton,

clip_image062

Queremos, portanto, a parte real desta soma. Porém, pela igualdade da terceira aula,

clip_image064
clip_image066

clip_image068

Que é a fórmula que desejamos.

Fiquem ligados no blog para exercícios sobre este assunto e outras postagens interessantes, e não se esqueça de avaliar o post aqui embaixo. É rapidinho!

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...