Olá, gente! Estou trazendo a terceira postagem sobre o MIM ou PIF.
Antes de começarmos, gostaria que tentasse resolver os problemas abaixo.
1- (A fórmula do Binômio de Newton)
Mostre que:
2- Mostre que:
3- Prove que todo número natural pode ser escrito como a soma de diversas potências distintas de 2.
4- Mostre que:
O primeiro problema eu "fiquei devendo" na ultima postagem, por isso, aqui vai a resolução.
1-Mostre que:
Vamos primeiro verificar a base.
Logo, o passo base é verdadeiro.
Vamos supor que:
Expandindo o somatório para ajudar a vizualizar...
Então:
Juntando os termos de expoente correspondente...
LEMBRANDO QUE:
e
Então:
C.Q.D.
2- Mostre que:
Observe que como m e n são números naturais, isso dá a possibilidade de escolher sobre qual variavel queremos aplicar indução. Isso é muito comum e você deve escolher- de preferência - a variavel que "der menos trabalho". Não há uma regra para saber qual a variavel vai dar menos trabalho. É nescessario ter uma boa intuição.
Vamos usar indução em n. Se quiser, use indução em m e compare os resultados.
Para a base
Multiplicando por temos:
logo, o passo base é verdadeiro.
Se então:
igualando denominadores temos:
C.Q.D.
Para demonstrar pelo PIF, deduzimos da proposição anterior . Porém, as vezes é nescessário adimitir que mais do que uma, as vezes todas, as proposições anteriores são verdadeiras. Esse tipo de indução é chamado de indução forte. Podemos enuncia-la assim:
Para verificar uma proposição para todo n natural usando indução forte você deve:
I) Verificar para a base
II) Mostrar que, a veracidade de todas as proposições implica na
veracidade de .
Para verificar uma proposição para todo n natural usando indução forte você deve:
I) Verificar para a base
II) Mostrar que, a veracidade de todas as proposições implica na
veracidade de .
3- Prove que todo número natural pode ser escrito como a soma de diversas potências distintas de 2.
Se
Logo, a base é verdadeira.
Seja n um número natural qualquer. Seja então a maior potência de 2 menor ou igual a n.
Se então o problema acaba. Mas se então, é menor que e menor que n.
Pela nossa Hipótese, qualquer número natural menor que n pode ser escrito como soma de
diversas potências distintas de 2. Com isso, d pode ser escrito como soma de diversas potências
distintas de 2, todas diferentes de com isso, n pode ser escrito como a soma de diversas
potências distintas de 2.
C.Q.D.
Observe que as vezes, para utilizar indução forte precisamos verificar mais do que . Como na demonstração da fórmula de Binet feita nesta postagem AQUI.
Observe que as vezes, para utilizar indução forte precisamos verificar mais do que . Como na demonstração da fórmula de Binet feita nesta postagem AQUI.
O último problema é uma outra forma de utilizar indução, eu já usei numa postagem antiga pois é bem intuitivo.
Para demonstrar uma propriedade você deve:
I) Verificar se é válido.
II) Verificar que a veracidade de para todo natural, implica na veracidade de .
Exemplo: 4- Mostre que:
Verificando para a base,
Logo, o é válido para
Se podemos somar a ambos os lados. Assim:
só que: para todo e consequêntemente, para .
Logo,
C.Q.D.
Bem, por hoje é só! Na próxima postagem sobre esse tema, que provavelmente será a última
desta série, eu falarei sobre mais alguns últimos tópicos. Se você gostou do blog, recomende aos seus amigos no Facebook, Twitter ou G+ e inscreva-se por e-mail e no blog para receber nossas atualizações. Se gostou da postagem, avalie-a abaixo da postagem. É RAPIDINHO!
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