Olá, gente! Estou trazendo a terceira postagem sobre o MIM ou PIF.
Antes de começarmos, gostaria que tentasse resolver os problemas abaixo.
1- (A fórmula do Binômio de Newton)
Mostre que:
![(x+y)^n= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} \cdot y^k [;(x+y)^n= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} \cdot y^k;]](http://thewe.net/tex/%28x+y%29%5En=%20%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bk=0%7D%5E%7Bn%7D%20%7Bn%20%5Cchoose%20k%7D%20x%5E%7Bn-k%7D%20%5Ccdot%20y%5Ek)
2- Mostre que:
3- Prove que todo número natural pode ser escrito como a soma de diversas potências distintas de 2.
4- Mostre que: ![2^n > n^2 \forall n \in \mathbb{N}, n\ge 5 [;2^n > n^2 \forall n \in \mathbb{N}, n\ge 5;]](http://thewe.net/tex/2%5En%20%3E%20n%5E2%20%5Cforall%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D,%20n%5Cge%205)
O primeiro problema eu "fiquei devendo" na ultima postagem, por isso, aqui vai a resolução.
1-Mostre que:
Vamos primeiro verificar a base.
Logo, o passo base é verdadeiro.
Vamos supor que:
Expandindo o somatório para ajudar a vizualizar...
Então:
Juntando os termos de expoente correspondente...
LEMBRANDO QUE:
e
Então:
C.Q.D.
2- Mostre que:
Observe que como m e n são números naturais, isso dá a possibilidade de escolher sobre qual variavel queremos aplicar indução. Isso é muito comum e você deve escolher- de preferência - a variavel que "der menos trabalho". Não há uma regra para saber qual a variavel vai dar menos trabalho. É nescessario ter uma boa intuição.
Vamos usar indução em n. Se quiser, use indução em m e compare os resultados.
Para a base
Multiplicando por
temos:
logo, o passo base é verdadeiro.
Se
então:
igualando denominadores temos:
C.Q.D.
Para demonstrar pelo PIF, deduzimos
da proposição anterior
. Porém, as vezes é nescessário adimitir que mais do que uma, as vezes todas, as proposições anteriores são verdadeiras. Esse tipo de indução é chamado de indução forte. Podemos enuncia-la assim:
Para verificar uma proposição para todo n natural usando indução forte você deve:
I) Verificar para a base
II) Mostrar que, a veracidade de todas as proposições
implica na
veracidade de
.
Para verificar uma proposição para todo n natural usando indução forte você deve:
I) Verificar para a base
II) Mostrar que, a veracidade de todas as proposições
veracidade de
3- Prove que todo número natural pode ser escrito como a soma de diversas potências distintas de 2.
Se
Logo, a base é verdadeira.
Seja n um número natural qualquer. Seja então
Se
Pela nossa Hipótese, qualquer número natural menor que n pode ser escrito como soma de
diversas potências distintas de 2. Com isso, d pode ser escrito como soma de diversas potências
distintas de 2, todas diferentes de
potências distintas de 2.
C.Q.D.
Observe que as vezes, para utilizar indução forte precisamos verificar mais do que
. Como na demonstração da fórmula de Binet feita nesta postagem AQUI.
Observe que as vezes, para utilizar indução forte precisamos verificar mais do que
O último problema é uma outra forma de utilizar indução, eu já usei numa postagem antiga pois é bem intuitivo.
Para demonstrar uma propriedade
I) Verificar se
II) Verificar que a veracidade de
Exemplo: 4- Mostre que:
Verificando para a base,
Logo, o
Se
Logo,
C.Q.D.
Bem, por hoje é só! Na próxima postagem sobre esse tema, que provavelmente será a última
desta série, eu falarei sobre mais alguns últimos tópicos. Se você gostou do blog, recomende aos seus amigos no Facebook, Twitter ou G+ e inscreva-se por e-mail e no blog para receber nossas atualizações. Se gostou da postagem, avalie-a abaixo da postagem. É RAPIDINHO!
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