segunda-feira, 30 de julho de 2012

Demonstração Por Absurdo Envolvendo Polinômios e Números Complexos

Hoje vou fazer uma pequena demonstração por absurdo, justamente para complementar o que o Eduardo já havia escrito. Será sobre uma propriedade interessante de polinômios em C (onde C é o conjunto dos números complexos). Caso queira rever o post do Eduardo, clique Aqui.

Sabemos que existem funções de C em R. Claro, se definirmos z=a+bi, temos que a função f(z) = a+b é uma função de C em R, mas esta função não é um polinômio. Reparem que ela equivale à função f(x) = x para os reais, mas não apresenta a mesma propriedade para os complexos. Então, podemos nos perguntar: será que existe um polinômio de C em R? É isso que vamos descobrir nessa postagem.

Problema 1: Existe um polinômio com coeficientes reais e domínio nos números complexos tal que, para todo complexo a+bi, sua imagem é um número real?

Resolução: Suponhamos que sim: Suponhamos que tal polinômio seja

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Pela propriedade dos números reais, temos que ter

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Mas isto equivale a dizer que

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Mas, temos que, pela propriedade dos números complexos,

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Onde

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Logo, temos que nossa expressão se torna

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Porém, tomando qualquer α irracional positivo fixo, temos que esta expressão se torna um polinômio de variável |z|. Mas este polinômio tem no máximo n raízes reais positivas, o que contraria o fato dele atender a infinitos valores de |z|. Absurdo! E isto completa nossa prova.

Problema 2 (caso geral): Existe um polinômio de com coeficientes complexos e domínio nos números complexos que associa a cada complexo um real?

Resolução: Comecemos com o mesmo polinômio anterior. Porém, pelos coeficientes serem complexos, não podemos afirmar que o conjugado da função é a função do conjugado (verifique!). Portanto, devemos ter

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Mas, temos que

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Então,

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Que faz que a expressão original seja

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Se definirmos, como antes, um β irracional positivo, então obteremos um polinômio de grau n na variável |z| novamente, o que nos implica que um polinômio com no máximo n raízes reais positivas deve ter infinitas raízes reais positivas. Absurdo, novamente!

Bom, espero que tenham gostado do texto. Para avaliá-lo, é só clicar nas caixinhas abaixo. Comente o quanto quiser também, sua opinião, desde que respeitosa, sempre é bem-vinda.
Lembre-se: Caso não tenha entendido as passagens sobre números complexos, clique
Aqui, Aqui, Aqui e Aqui para saber mais sobre estes números.

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