domingo, 15 de julho de 2012

Aula 3 sobre matriz - "Operações com matrizes"

Olá, gente! Hoje darei continuidade as aulas sobre matrizes. Veja aqui a AULA 1 e a AULA 2. Pretendo postar mais do que as 5 aulas previstas para essa série e "emendar" com determinantes.

Hoje falarei das operações feitas com matrizes. E mais alguns tipos de matrizes que achei melhor colocar aqui, pois em geral, para entende-las, você precisa saber operações com matrizes.

Igualdade de matrizes.

Para duas matrizes A e B serem iguais, elas devem ter mesma ordem m x n e seus elementos correspondentes devem ser iguais, ou seja, [;a_{ij}=b_{ij};]. Aqui vai um exemplo para deixar mais claro
[;A=;] [;\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix};] e
[;B=;] [;\begin{pmatrix} 2^0 & 2^1 \\ 2^2 & 2^3 \end{pmatrix};]
então [;A=B;]

Adição de matrizes

Para somar duas matrizes ambas devem ser de ordem m x n. E a soma [;A+B;] será uma matriz C de ordem m x n com [;c_{ij}=a_{ij}+b_{ij};]
Exemplo:

[;A=;] [;\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix};]

[;B= \begin{pmatrix}3 & 5 \\ 7 & 8\end{pmatrix};]

Então, [;A+B=C=;] [;\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix};]

Observe que a adição de matrizes tem algumas propriedades. Se A, B e C são [;3;] matrizes de mesma ordem.

P.1- [;A+B=B+A;]

P.2- [;(A+B)+C=A+(B+C);]

P.3- Se [;0;] é a matriz nula de mesma ordem que A, então [;A+0=0+A=A;]
Antes de definir a quarta propriedade, devo definir a matriz oposta de uma matriz A.

A matriz oposta de uma matriz A é representada por [;(-A);] e é a matriz que somada a A resulta numa matriz nula. Ou seja, [;(-a)_{ij}=a{ij};]
Exemplo: Se [;A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix};]
então [;(-A)= \begin{pmatrix}-3 & -10 \\ 8 & -2\end{pmatrix};],

pois [;A + (-A)=;] [;\begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 & -10 \\ 8 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix};]

Podemos agora definir nossa P.4
P.4- [;A+(-A)=(-A)+A=0;]
A demonstração das propriedades é muito facil, então fica a cargo do leitor.

Subtração de matrizes

Se A e B são matrizes de ordem mxn, então [;A-B;] será A somado ao inverso da matriz B, ou seja, [;A-B=A+(-B)=C;]. Sendo C uma matriz de ordem mxn, com [;c_{ij}=a_{ij}-b_{ij};]
Exemplo:
[;A= \begin{pmatrix}-4 & 10 \\ 21 & 3\end{pmatrix};] e

[;B= \begin{pmatrix}8 & 10 \\ 11 & 22\end{pmatrix};]

então

[;A-B = \begin{pmatrix}-12 & 0 \\ 10 & -19\end{pmatrix};]
Multiplicação de matrizes por um número real
Se temos uma matriz A de ordem mxn e elementos [;a_{ij};] e queremos multiplicar por um número real k, então kA será de ordem m x n também e seu elementos da i-ésima linha
e j-ésima coluna será [;k \times a_{ij};]

Exemplo: [;k=\sqrt{2};] e
[;A= \begin{pmatrix}-\sqrt{2} & -10 \\ 2^{\frac{1}{2}} & -2\end{pmatrix};] então
[;k \times A =;] [;\begin{pmatrix}-2 & -10\sqrt{2} \\ 2 & -2\sqrt{2}\end{pmatrix};]
Se k e l são números reais e A e B matrizes de mesma ordem, ficara como exercicio mostrar as 4 propriedades abaixo.
P.1- [;(k + l)A = kA + lA;]
P.2- [;k(A + B) = kA + kB;]
P.3- [;k(lA) =(kl)A;]
P.4- [;1A = A;]
Veja que são verdadeiras estas propriedades. É só aplicar a definição!

Matriz transposta
Se [;A;] é uma matriz m x n com elementos [;a_{ij};], então a matriz transposta de [;A;], representada por [;A^t;] é de ordem n x m com [;a_ij=(a^t)_ji;].

Exemplo:
[;A=\begin{pmatrix} 1 &  2 & 3 \\ 4 & 8 & 9\end{pmatrix};]
Então:
[;a_{11}= 1;]
[;a_{12}=2;]
[;.a_{13}=3;]
[;a_{21}=4;]
[;a_{22}=8;]
[;a_{23}=9;]
logo, [;(a^t)_{11}= 1;] [;(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9;]
logo
[;A^t = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 3 & 9\end{pmatrix};]

Algumas propriedades a serem verificadas:
P.1- [;(A^t)^t=A;]
P.2- [;(kA)^t= kA^t;]
P.3- [;(A+B)^t= A^t + B^t;]

Multiplicação de matrizes

Essa operação não é tão trivial quanto as outras.

Para multiplicar 2 matrizes A e B, A deve ser de ordem mxn e B de ordem nxp, e o produto dessas matrizes será uma matriz C de ordem mxp com elementos [;c_{ij;] determinados como:
[;c_{ij} = a_{i1}\times b_{1j} + a_{i2} \times b_{2j} + \cdots + a_{in} \times b_{nj};]

Para deixar mais claro, aqui vai um exemplo:

[;A=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 4 & 5\\ 3 & 4\end{pmatrix};] e

[;B=;] [;\begin{pmatrix} 8 & 2 & 3 \\ 9 & 5 & 7\end{pmatrix};]
Então: [;A \times B = C;]
sendo
[;C_{11}= 2 . 8 + 6 . 9 = 70;]
[;C_{12}= 2 . 2 + 6 . 5 = 34;]
[;C_{13}= 2 . 3 + 6 . 7 = 48;]
[;C_{21}= 4 . 8 + 5 . 9 = 77;]
[;C_{22}= 4 . 2 + 5 . 5 = 33;]
[;C_{23}= 4 . 3 + 5 . 7 = 47;]
[;C_{31}= 3 . 8 + 4 . 9 = 60;]
[;C_{32}= 3.2+4.5=26;]
[;C_{33}=3.3+4.7=37;]

Agora montamos nossa matriz

[;C=;][;\begin{pmatrix} 70 & 34 & 48 \\ 77 & 33 & 47 \\ 60 & 26 & 37\end{pmatrix};]

Observer que só podemos elevar uma matriz ao quadrado ou a qualquer outra potencia "p" se ela for uma matriz quadrada. Observe também que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então [;(AB)^k=A^k;] [;\times B^K;] e que embora com números reais a multiplicação é comutativa, com matrizes isso nem sempre ocorre.

Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada de ordem n, e existe uma matriz quadrada de ordem n B, com [;AB= BA= In;] (matriz identidade de ordem n), então A é uma matriz invertivel ou não-singular, B é a matriz inversa de A e é escrita como [;A^{-1};].

Exemplo:
[;A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix};]
então:
[;A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix};]

já que:
[;\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix};] [;\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix};] = [;\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]
e [;  \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]

logo, como [;AA^{^-1}=A^{-1}A=I;] então A é invertivel e [;A^{-1};] é a matriz inversa de A.

Há um método para determinar se uma matriz é invertivel e em caso afirmativo qual é a sua inversa.

Dada a matriz A podemos determinar [;A^{-1};], se existir, para isso:
[;A^{-1}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix};]

Logo, pela definição de matriz inversa,
[;A \times A^{-1} = A \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]
Se aplicar a definição de multiplicação de matrizes, encontrará um sistema, caso o sistema tenha solução, a matriz A terá inversa e seu inverso será
definido pelo resultado obtido (observe que o método funciona com matrizes quadradas de qualquer ordem). Caso caia num sistema que seja impossível (ou seja, a igualdade não é verdadeira) então A não possui uma matriz inversa. Neste caso, falamos que A não admite inversa, que A não é invertivel ou que é singular.

Bem, gente, por hoje é só! Na próxima postagem desta série veremos como aplicar tudo que vimos até agora e exercitaremos um pouco. Se gostou do blog, recomende aos seus amigos por Twitter, Facebook ou G+. Para receber nossas atualizações nos siga por e-mail ou aqui no blog.

Até mais!
Lembre-se: para melhorar a qualidade de nosso blog, não se esqueça de avaliar a postagem logo abaixo. É rapidinho!

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Você pode comentar! A equipe do blog encoraja todos a comentar.

Porém, lembre-se que comentários que desrespeitem as regras abaixo serão excluídos:

-É proibido ofender qualquer pessoa ou grupo em seu comentário.
-Os comentários deverão ser minimamente relacionados com o tópico. Lembrem-se, estamos falando de um blog de matemática!
-Proibido flood.
-Proibido palavras de baixo calão.
-Proibido colocar qualquer tipo de conteúdo improprio para menores de 18 anos (há menores de idade que acessam o blog).

A equipe do blog agradece seu comentário, e tenha certeza que será muito enriquecedor. Tentaremos respondê-los o quanto antes possível.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...