Olá, gente! Hoje darei continuidade as aulas sobre matrizes. Veja aqui a AULA 1 e a AULA 2. Pretendo postar mais do que as 5 aulas previstas para essa série e "emendar" com determinantes.
Hoje falarei das operações feitas com matrizes. E mais alguns tipos de matrizes que achei melhor colocar aqui, pois em geral, para entende-las, você precisa saber operações com matrizes.
Igualdade de matrizes.
Para duas matrizes A e B serem iguais, elas devem ter mesma ordem m x n e seus elementos correspondentes devem ser iguais, ou seja,
. Aqui vai um exemplo para deixar mais claro
então ![A=B [;A=B;]](http://thewe.net/tex/A=B)
Adição de matrizes
Para somar duas matrizes ambas devem ser de ordem m x n. E a soma
será uma matriz C de ordem m x n com ![c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} [;c_{ij}=a_{ij}+b_{ij};]](http://thewe.net/tex/c_%7Bij%7D=a_%7Bij%7D+b_%7Bij%7D)
Exemplo:
Então,
![\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix} [;\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix};]](http://thewe.net/tex/%5Cbegin%7Bpmatrix%7D4%20&%206%20%5C%5C%208%20&%209%5Cend%7Bpmatrix%7D)
Observe que a adição de matrizes tem algumas propriedades. Se A, B e C são
matrizes de mesma ordem.
P.1- ![A+B=B+A [;A+B=B+A;]](http://thewe.net/tex/A+B=B+A)
P.2-
P.3- Se
Antes de definir a quarta propriedade, devo definir a matriz oposta de uma matriz A.
A matriz oposta de uma matriz A é representada por
e é a matriz que somada a A resulta numa matriz nula. Ou seja, ![(-a)_{ij}=a{ij} [;(-a)_{ij}=a{ij};]](http://thewe.net/tex/%28-a%29_%7Bij%7D=a%7Bij%7D)
Exemplo: Se ![A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix} [;A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix};]](http://thewe.net/tex/A=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D3%20&%2010%20%5C%5C%20-8%20&%202%5Cend%7Bpmatrix%7D)
então
,
então
pois
Podemos agora definir nossa P.4
P.4- ![A+(-A)=(-A)+A=0 [;A+(-A)=(-A)+A=0;]](http://thewe.net/tex/A+%28-A%29=%28-A%29+A=0)
A demonstração das propriedades é muito facil, então fica a cargo do leitor.
Subtração de matrizes
Se A e B são matrizes de ordem mxn, então
será A somado ao inverso da matriz B, ou seja,
. Sendo C uma matriz de ordem mxn, com ![c_{ij}=a_{ij}-b_{ij} [;c_{ij}=a_{ij}-b_{ij};]](http://thewe.net/tex/c_%7Bij%7D=a_%7Bij%7D-b_%7Bij%7D)
Exemplo:
então
Multiplicação de matrizes por um número real
Se temos uma matriz A de ordem mxn e elementos
e queremos multiplicar por um número real k, então kA será de ordem m x n também e seu elementos da i-ésima linha
e j-ésima coluna será ![k \times a_{ij} [;k \times a_{ij};]](http://thewe.net/tex/k%20%5Ctimes%20a_%7Bij%7D)
Exemplo:
e
Se k e l são números reais e A e B matrizes de mesma ordem, ficara como exercicio mostrar as 4 propriedades abaixo.
P.1- ![(k + l)A = kA + lA [;(k + l)A = kA + lA;]](http://thewe.net/tex/%28k%20+%20l%29A%20=%20kA%20+%20lA)
P.2- ![k(A + B) = kA + kB [;k(A + B) = kA + kB;]](http://thewe.net/tex/k%28A%20+%20B%29%20=%20kA%20+%20kB)
P.3- ![k(lA) =(kl)A [;k(lA) =(kl)A;]](http://thewe.net/tex/k%28lA%29%20=%28kl%29A)
P.4- ![1A = A [;1A = A;]](http://thewe.net/tex/1A%20=%20A)
Veja que são verdadeiras estas propriedades. É só aplicar a definição!
Matriz transposta
Se
é uma matriz m x n com elementos
, então a matriz transposta de
, representada por
é de ordem n x m com
.
Exemplo:
Então:
logo,
![(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9 [;(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9;]](http://thewe.net/tex/%28a%5Et%29_%7B12%7D=%204%20%28a%5Et%29_%7B21%7D=%202%20%28a%5Et%29_%7B22%7D=8%20%28a%5Et%29_%7B31%7D=3%20%28a%5Et%29_%7B32%7D=9)
logo
Algumas propriedades a serem verificadas:
P.1- ![(A^t)^t=A [;(A^t)^t=A;]](http://thewe.net/tex/%28A%5Et%29%5Et=A)
P.2- ![(kA)^t= kA^t [;(kA)^t= kA^t;]](http://thewe.net/tex/%28kA%29%5Et=%20kA%5Et)
P.3- ![(A+B)^t= A^t + B^t [;(A+B)^t= A^t + B^t;]](http://thewe.net/tex/%28A+B%29%5Et=%20A%5Et%20+%20B%5Et)
Multiplicação de matrizes
Essa operação não é tão trivial quanto as outras.
Para multiplicar 2 matrizes A e B, A deve ser de ordem mxn e B de ordem nxp, e o produto dessas matrizes será uma matriz C de ordem mxp com elementos
determinados como:
Para deixar mais claro, aqui vai um exemplo:
Então: ![A \times B = C [;A \times B = C;]](http://thewe.net/tex/A%20%5Ctimes%20B%20=%20C)
sendo
Agora montamos nossa matriz
Observer que só podemos elevar uma matriz ao quadrado ou a qualquer outra potencia "p" se ela for uma matriz quadrada. Observe também que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então
e que embora com números reais a multiplicação é comutativa, com matrizes isso nem sempre ocorre.
Matriz Inversa
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, e existe uma matriz quadrada de ordem n B, com
(matriz identidade de ordem n), então A é uma matriz invertivel ou não-singular, B é a matriz inversa de A e é escrita como
.
Exemplo:
então:
já que:
e ![\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} [; \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]](http://thewe.net/tex/%20%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20&%200%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20&%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20&%200%20%5C%5C%203%20&%201%5Cend%7Bpmatrix%7D=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%20&%200%20%5C%5C%200%20&%201%5Cend%7Bpmatrix%7D)
logo, como
então A é invertivel e
é a matriz inversa de A.
Há um método para determinar se uma matriz é invertivel e em caso afirmativo qual é a sua inversa.
Dada a matriz A podemos determinar
, se existir, para isso:
Logo, pela definição de matriz inversa,
Se aplicar a definição de multiplicação de matrizes, encontrará um sistema, caso o sistema tenha solução, a matriz A terá inversa e seu inverso será
definido pelo resultado obtido (observe que o método funciona com matrizes quadradas de qualquer ordem). Caso caia num sistema que seja impossível (ou seja, a igualdade não é verdadeira) então A não possui uma matriz inversa. Neste caso, falamos que A não admite inversa, que A não é invertivel ou que é singular.
Bem, gente, por hoje é só! Na próxima postagem desta série veremos como aplicar tudo que vimos até agora e exercitaremos um pouco. Se gostou do blog, recomende aos seus amigos por Twitter, Facebook ou G+. Para receber nossas atualizações nos siga por e-mail ou aqui no blog.
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