Seção de Problemas – Nº 4

Desculpem-me pelo atraso, mas só consegui escrever esta seção de problemas nesse momento. Então, comecemos pelos novos enunciados.

Teoria dos Números

1 – (IMO-1979) Sejam p,q naturais tais que

Prove que p é divisível por 1979.

2 – Em uma circunferência de círculo, são colocados os 1000 primeiros naturais. Começamos a marcar a partir do 1, e de 15 em 15. O processo acaba quando marcamos algum número que já foi marcado. Quantos números, ao final, serão deixados sem marca?

Álgebra

3 – (IMO-1975) Seja e . Prove que

Onde são uma bijeção dos .

4 – (IMO-1973) Ache o mínimo de , onde a equação

Tem pelo menos uma raiz real.

5 – Sejam as raízes diferentes de um de

Prove que

Geometria

6 – (IMO-1975) Nos lados de um triângulo arbitrário ABC, os triângulos BPC, CQA e ARB são construídos externamente satisfazendo

Prove que e QR=RP.

Combinatória

7 – (OIbM-2010) Existem inteiros positivos a,b tais que a sequência definida por x₁=2010, x₂=2011,

Contenha apenas números inteiros?

8 – Divide-se um círculo em quatro setores de mesma área, através de cordas que passam por seu centro. Dispomos de k cores para pintá-lo, de modo que cada região tenha uma cor diferente das duas adjacentes. Qual o menor valor de k para qual isso é possível? Existe uma fórmula fechada pro número de maneiras? Se sim, dê esta fórmula.

Agora, resolvamos alguns dos problemas anteriores, presentes aqui:

2 – A resposta é não. Se a poligonal é fechada, então, se uma reta passa por segmentos mas não vértices, ela passa por um número par de segmentos. Logo, não pode passar por todos os segmentos.

5 – Notemos que podemos escrever

Mas, isso se torna óbvio, pois, como φ é injetiva, e o domínio é igual à imagem, esta é também é sobrejetiva, concluindo que esta é uma bijeção do domínio nele mesmo. Se ela é uma bijeção, pode ser vista como uma permutação do domínio. Agora fica fácil: só temos que utilizar a desigualdade das permutações. Como temos uma sequência bem ordenada (1<2<...<k<...<n), assim como a sequência dos inversos dos quadrados desses inteiros é inversamente ordenada, a permutação que nos dá o valor máximo é que associa cada termo de cada sequência ao seu relativo ordenado na outra sequência, e a que dá o valor mínimo é a que associa cada termo ao seu termo oposto em ordem de grandeza. Ora, o termo oposto em ordem de grandeza da primeira sequência é o inverso de seu quadrado (verifique você mesmo). Logo, a permutação do lado direito é a que nos dá o menor valor possível. Qualquer outra nos dará um valor maior, que prova nossa desigualdade.

7 – Utilizaremos um princípio do qual falarei sobre no blog: o Princípio das Casas dos Pombos, ou Princípio das Gavetas de Dirichlet. Para ver mais sobre esse princípio no blog parceiro Fatos Matemáticos, clique aqui e aqui.

Enfim, Consideremos os números 2008, 20082008, 200820082008,..., 2008...2008 (no último número, 2008 aparece n vezes). Pelo princípio das casas dos pombos, temos n-1 restos diferentes de 0 na divisão por n. Bom, temos n números, o que nos dá que pelo menos dois deles têm o mesmo resto divididos por n. Então, ao fazer a diferença dos dois, teremos um número que começa por 2008 e é múltiplo de n, que completa a prova.

Os outros problemas não resolvidos ficam de dever de casa ao leitor. Para os que querem enviar problemas para a próxima seção/soluções aos problemas apresentados, podem escrever para joaopedroblogger@hotmail.com.