quarta-feira, 11 de julho de 2012

"Demonstração por absurdo"

Olá, gente! Hoje falarei sobre o método de demonstração por redução ao absurdo. A teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada.

De forma didática, para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a tautologia que citei acima torna a negação falsa e a afirmação verdadeira.

Para deixar mais claro, aqui vão alguns exemplos clássicos.

E.1- Mostre que [;\sqrt{2};] é um número irracional.

Vamos supor que [;\sqrt{2};] não seja irracional, então [;\sqrt{2} = \frac{p}{q};] sendo [;mdc(p,q)=1;]
elevando ao quadrado 2 = [;\frac{p^2}{q^2};] então

[;p^2=2q^2;] ou seja, p é multiplo de[;2;], [;p=2k;]. Com isso

[;(2k)^2=2q^2;] então [;2k^2=q^2;] ou seja, q também é multiplo de [;2;].

Absurdo,pois contraria a suposição de que [;mdc(p,q)=1;]. Logo, [;\sqrt{2};] é irracional.

C.Q.D.

E.2-Prove que o conjunto dos números primos é infinito.

Vamos assumir por absurdo que o conjunto dos números primos seja finito e que seu maior elemento é [;P_n;].
Então [;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n};] é um múltiplo de todos os números primos existentes.

Então [;(P_1)^{k_1}\times (P_2)^{k_1}\cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;] não é múltiplo de nenhum outro primo, ou seja,

[;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;] não pode ser fatorado como um produto de fatores primos já existentes.
Ou seja, [;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;] tem um múltiplo primo maior do que [;P_n;] ou [;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;] é primo.

ABSURDO,pois contradiz a existência de um [;P_n;] máximo. Logo, o conjunto dos números primos é infinito.

C.Q.D.

E.3- Prove que todo número primo maior que [;2;] pode ser escrito de maneira única como a diferença entre 2 quadrados.

Inicialmente temos [;(n+1)^2-n^2=2n+1;]. [;n \in \mathbb{N};]

Com isso mostrei que posso escrever qualquer número ímpar como a diferença entre os quadrados de dois números consecutivos. E isso é quase toda a demonstração, pois todo número primo maior que [;2;] é ímpar.
Basta apenas provar que essa representação é única.

Vamos supor por absurdo que essa representação não seja única, então existe um [;k;] natural maior que [;1;] que satisfaz:
[;(n+k)^2-(n)^2=p;]
Onde [;p;] é um número primo e [;n;] é um número natural.

Porém: [;(n+k)^2-(n)^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2 nk+k^2= k(2n+k)=p;]

Ou seja, [;p;] é um múltiplo de [;k;],porém p é primo, então [;k=1;] ou [;k=p;]

Absurdo, pois contradiz [;k>1;] e [;k=p;] não satisfaz [;k(2n+k)=p;] para todo n natural.
C.Q.D.

Bem, por hoje fico por aqui, fique atento aqui no blog, pois brevemente teremos mais postagens.

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3 comentários:

  1. Caramba! Na verdade não houve explicação nenhuma do método em si. Por que a redução ao absurdo é valida?

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