sexta-feira, 28 de janeiro de 2011

Brincadeira com porcentagem

Outro dia estava com nada pra fazer e pensei num problema que meu irmão mais velho me propôs."Oque é maior: 37,5% de 79 ou 79% de 37,5?" 30 segundos pra pensar numa resposta...

tictac, tictac, tictac...
Tempo esgotado
Resposta: Os 2 são iguais.
Isso vale pra qualquer questão desse tipo, como...
x% de y ou y% de x

Demonstração:

Partindo da definição, temos que x% de y é:
$ \frac{x}{100} \cdot y = \frac{xy}{100}$

e que y% de x é:

$ \frac {y}{100} \cdot x = \frac {yx}{100}$

que, obviamente, é igual à primeira equação.
Logo,isso é um fato!

Pretendo postar um desses toda semana., porém, sem dia fixo. Leva um pouco de tempo para achar assuntos desse tipo.

Até mais!

quinta-feira, 27 de janeiro de 2011

Congruencia-aritmetica modular

 Olá gente! Hoje falarei de um dos assuntos que mais gosto.
Já ouviram falar de congruência ?
Sendo sim ou não, vamos adiante.
A ideia de congruência se baseia em criar uma aritmética com os restos.
Ao escrevermos $a\equiv b\pmod{n}$ lemos: "a é congruente a b modulo n". Queremos dizer que$a/n$ deixa resto igual a $b/n$.

Exemplo:
$7\equiv 15\pmod{8}$ porque 7 dividido por 8 da 0 e deixa resto 7 e 15 dividido por 8 da 1 e deixa resto 7
Dessa definição fica claro que $a\equiv 0\pmod{n}$ implica que $a=kn$$ k \in \mathbb{N}$.
Que $a\equiv 1 \pmod{n}$ implica que $a=kn+1$ $k \in  \mathbb{N}$.
E por ai vai...
Proposições:
1 Tem-se que $a\equiv b\pmod {m}$ se e somente se m divide $b-a$.
Demonstração:
Podemos escrever $a=mq_1+r_1$ e $b=mq_2+r_2$ onde $0\le r_1<m$ e $0\le r_2<m$ sem perda de generalidade podemos supor que $r_1\le r_2$ (se o contrario ocorrer, basta trocar os papeis de $r_1$ e $r_2$). Assim, podemos escrever $b-a = m(q_2-q_1)+r_2-r_1.$ Por isso podemos concluir que m divide $b-a$ se e somente se, m divide $r_2-r_1$. Por termos $0\le r_2-r_1<m$ m divide $b-a$ se e somente se $r_2-r_1=0$ ou seja.... se e somente se $r_2=r_1$. C.Q.D.

2- Sejam $a_1,a_2,b_1,b_2$ inteiros quaisquer e seja m um inteiro maior que 1. Se $a_1\equiv b_1$$\pmod{m}$ e $a_2\equiv b_2$ $\pmod{m}$, então $a_1\pm a_2\equiv b_1\pm b_2 \pmod m$
Demonstração:
De fato, como $a_1\equiv b_1 \pmod m$ e $a_2\equiv b_2 \pmod m$, então m divide $b_1-a_1$ e divide $b_2-a_2$ Logo, m divide $(b_1-a_1) \pm (b_2 - a_2) = (b_1\pm b_2)-(a_1\pm a_2)$, mostrando que $b_1 \pm b_2 \equiv a_1 \pm a_2$ $\pmod{m}$.  C.Q.D.
Concluindo então que congruências de mesmo modulo somam-se e subtraem-se membro a membro tal qual as igualdades.

3 - Sejam $a_1,a_2,b_1,b_2$ inteiros quaisquer e seja m um inteiro maior que 1. Se $a_1\equiv b_1$$\pmod{m}$
e $a_2\equiv b_2$ $\pmod{m}$ então $a_1.a_2\equiv b_1.b_2 \pmod {m}$.
Demonstração:
Fazendo $a_1=mq + r_1$ e $b_1=mq + r_1$; onde $m>r_1$ e $a_2=mq + r_2$ e $b_2=mq + r_2$; onde $m>r_2$. Temos: $a_1 \equiv b_1 \equiv r_1 \pmod{m}$ e $a_2 \equiv b_2 \equiv r_2 \pmod{m}$, assim, $a_1 \cdot a_2 \equiv r_1 \cdot r_2 \pmod{m}$ e $b_1 \cdot b_2 \equiv r_1 \cdot r_2 \pmod{m}$. Logo, $a_1 \cdot a_2 \equiv b_1 \cdot b_2 \pmod{m}$. C.Q.D.

Há também vários teoremas importantíssimos em teoria dos números que envolvem congruência . Alguns deles já foram tratados nessa postagem do João: Congruência e Aritmética Modular – Teoremas úteis.

Problemas:

1- Determine se o número $17^{27418572}$ é divisível por 3.
Para isso ocorrer devemos ter $17^{27418572}\pmod{3}$ note que $17\equiv 2 \pmod{3}$ logo,
$17^{27418572}\equiv 2^{27418572} \pmod{3}$ (é fácil de ver que isso é apenas um caso da propriedade 3). Observe que: $ 2^{27418572} \equiv 4^{13709286} \equiv 1^{13709286} \equiv 1 \pmod{3}$.

2- Se hoje é dia 17 de Dezembro e é Sábado, que dia será daqui a exatamente 1 ano, sabendo que ano que vem não é ano bissexto?
Se ano que vem não é ano bissexto, então de hoje (17 de Dezembro) até 17 de Dezembro do ano que vem passarão exatos 365 dias. Como a semana tem 7 dias, devemos analisar 365 módulo 7. Temos então:
$365= 52 \times 7 + 1$ logo, $365 \equiv 1\pmod{7}$ logo, daqui a 1 ano será Domingo.

A ideia de congruência também é muito utilizada em Criptografia, assunto que tratarei com mais calma em postagens futuras.

Bom pessoal, por enquanto é isso provavelmente ainda terá algumas postagens minhas sobre esse tema. Se você gostou do blog, inscreva por e-mail e no blog para receber as novas atualizações e curta nossa página no Facebook. Todas essas opções se encontram na barra lateral do blog e abaixo da postagem. Para melhorar a qualidade de nossas postagens avalie o conteúdo aqui embaixo. É rapidinho! Lembre-se que todo tipo de comentário que respeitar as regras é bem vindo.

Até mais!

terça-feira, 25 de janeiro de 2011

Aplicação da Derivada (Parte 2)

Este é outro post sobre a aplicação da derivada, agora relacionado a outro tipo de derivada: a derivada segunda. Mas, antes, veremos derivadas de ordens maiores do que 1.

As derivadas de ordens maiores que um são as tais que:

A clip_image002-ésima derivada de uma função pode ser posta da seguinte maneira:

clip_image004

Sendo clip_image006 (n-1)-ésima derivada da função.

Comecemos pela derivada segunda. Esta é, das que tem ordem maior do que um, a de mais importância para nós.

Vejamos a seguinte função:clip_image008Nesta função, clip_image010. Reparem que, como vimos, podemos achar dois pontos de máximo ou mínimo: um de máximo e outro de mínimo. Mas, e se quisermos achar o exato ponto em que podemos saber que a concavidade mudará? Reparem nas figuras abaixo:

clip_image011

clip_image013

clip_image015

Reparem que o ponto mínimo da derivada é o mesmo em que a derivada segunda se iguala a zero. Até aí, são resultados que poderíamos prever. Mas há outro fato: esse mesmo ponto coincide com um ponto na primeira função, e este ponto, se repararmos bem, é o ponto aonde a concavidade (“barriga” da curva) voltada para cima se encontra com a concavidade voltada para baixo. A esse ponto, nós chamamos de ponto de inflexão da função, ou ponto aonde a concavidade da curva muda. Em matemática,

clip_image017

Exemplo: Na mesma função do exemplo, calcule o ponto de inflexão e a equação da tangente naquele ponto.

Solução: Derivando a primeira vez, obtemos

clip_image019

E a segunda derivada é

clip_image021

clip_image023

Para calcular clip_image025, substituímos clip_image027na função, tendo:

clip_image029

Ou seja, o ponto de inflexão é clip_image031. Agora vamos calcular a tangente naquele ponto. Temos que o coeficiente angular da tangente naquele ponto é clip_image027[1]substituído na derivada primeira, que é

clip_image033

Então, sua equação é

clip_image035

Para acharmos C, é só notar que clip_image037, ou seja:

clip_image039

clip_image041

Ficando com a equação da tangente clip_image043

Agora, vamos passar a outra utilidade da derivada segunda, que tem muito a ver com a que acabamos de relatar: achar o sentido da concavidade de uma curva qualquer. Reparem, naquelas imagens das três funções, que, quando a derivada segunda é negativa, a função tem concavidade voltada para baixo, e quando a derivada segunda é positiva, a curva tem concavidade voltada para cima. Generalizando, obtemos:

clip_image045

clip_image047

Podemos usar esse resultado para descobrir se o ponto em que a derivada primeira se anula é máximo ou mínimo: fica óbvio que, quando a concavidade é para baixo, há um ponto máximo, e quando a concavidade é para cima, há um ponto mínimo.

Exemplo: Na mesma função, calcule os pontos em que a derivada se iguala a zero e diga qual deles é máximo e mínimo, sem consultar o gráfico.

Solução: Primeiro, derivando:

clip_image049

clip_image051

clip_image053

Para descobrir qual é um máximo local e qual é um mínimo local, derivamos de novo, produzindo

clip_image055

Substituindo os dois valores de clip_image057, obtemos

clip_image059

clip_image061

Tendo que no ponto em que clip_image063 a função assume um máximo, pois a derivada segunda é negativa, então a concavidade é voltada para baixo, e no ponto em que clip_image065 a função assume um mínimo, pois a derivada segunda é positiva, então a concavidade da curva é voltada para cima.

terça-feira, 18 de janeiro de 2011

Aplicação da Derivada (Parte 1)

Esse post será dedicado ao estudo da primeira das aplicações da derivada (além da Série de MacLaurin): Achar máximos e mínimos de uma função.
Para achar o máximo/ mínimo de uma função, teremos de analisar alguns exemplos:
clip_image002
Reparem que, quando há um máximo/mínimo local (ou global) da função, temos que ter uma parte (local) da curva em que não haja pontos maiores/menores do que este. Vemos, com o exemplo da curva acima, que se forma uma pequena “barriga” virada para cima (quando o ponto é máximo) ou para baixo (quando o ponto é mínimo) quando essas ocasiões acontecem. No ponto mais alto/baixo da curva, temos que a tangente ao ponto é horizontal, ou seja, ela é paralela ao eixo dos X.

O que acontece quando uma reta é paralela ao eixo dos X?

Essa reta tem equação clip_image004, sendo clip_image006 uma constante. Ou seja, seu coeficiente angular é igual a zero (a equação poderia ser escrita como clip_image008). Como essa reta é tangente à função, seu coeficiente angular é dado pela derivada da função.
clip_image010
Figura 1: Função e reta tangente ao seu ponto máximo.
Que conclusão tiramos disso tudo?
Concluímos que, quando há um ponto máximo ou mínimo de uma função, sua derivada primeira se iguala a zero, ou seja, para acharmos os pontos máximos e mínimos de uma função, derivamos esta e igualamos sua derivada a zero, ou
clip_image012
Esse fato pode nos dar o ponto máximo ou mínimo quando a função é continuamente diferenciável, mas, em casos como da função a seguir, essa fórmula não se enquadra tão bem:
clip_image014
Como se pode ver, essa função, obviamente, tem ponto mínimo o ponto clip_image016Mas, nesse ponto, a função não tem derivada, pois este é um ponto de inflexão entre duas funções. A derivada da primeira parte da função é clip_image018, ou seja, essa função não “tem” ponto mínimo.
Já a segunda, derivando, possui ponto mínimo em clip_image020. Isso quer dizer, automaticamente, que esse ponto é mínimo da função toda? Não! Para isso, temos que fazer a intercessão das duas funções, como abaixo:
clip_image022clip_image024 As nossas suspeitas se confirmam, e o ponto clip_image026 é mesmo o ponto mínimo da nossa função. Agora, alguns exemplos:
Exemplo 1: Temos um arame de 100 metros de comprimento. Queremos Dobrá-lo de forma a formar um quadrado e um círculo. Qual a área de cada figura, se quisermos obter a maior soma das áreas possível?
Solução: Inicialmente, montemos:
clip_image028
clip_image030
Agora, tudo o que temos a fazer é substituir uma das duas variáveis (clip_image032 ou clip_image034). Suponha que substituamos o clip_image036
clip_image038
clip_image040
clip_image042
clip_image044
Como a soma tem de ser máxima, derivamos, obtendo:
clip_image046
clip_image048
Entretanto, esse valor de clip_image034[1] nos dá um valor mínimo da função. Como vamos resolver?
É simples: é só estabelecermos o intervalo no qual a função está contida, que vai desde o valor clip_image050 a quando clip_image052 que é
clip_image054
Logo percebemos que, nesse intervalo, há dois pontos de máximos locais: clip_image056 e clip_image058. Aproximando, temos clip_image060, ou seja, a função tem máximo total em clip_image062
Exemplo 2: (Problema clássico de Física) Um projétil perfeito é lançado formando certo ângulo clip_image064com a horizontal. Sabendo
clip_image066
clip_image068
Sendo clip_image070 e clip_image072 altura e distância, respectivamente, calcule qual o ângulo que tornará:
a) A altura máxima
b) A distância máxima
Solução:
a) Para isso, apenas derivamos a função da altura, em relação à variável clip_image064[1], ficando com

clip_image074(consideramos clip_image076 e clip_image078 como constantes)
clip_image080 (a derivada do seno é o cosseno, como será demonstrado futuramente)
O único ângulo que torna o cosseno igual a zero é o de clip_image082 Ou seja, o ângulo de lançamento, para que a altura seja máxima, deve ser de clip_image084.
b) Consideremos clip_image086 e clip_image072[1] a distância entre as raízes da função que dá o valor de clip_image070[1]. Temos, então:
clip_image088
clip_image090
Substituindo em clip_image072[2], obtemos
clip_image092
Mas como clip_image094, e substituindo clip_image096, obtemos
clip_image098
Derivando ( clip_image100), temos:
clip_image102
clip_image104
clip_image106
Como o número entre clip_image108 que se adapta é clip_image110, então vemos que esse é o resultado.
Antes de terminar, vamos voltar à substituição que fizemos: clip_image096[1]. Então, temos que clip_image112.
Ou seja, o ângulo que determina um alcance máximo é o de clip_image114.
Espero que tenham entendido, pois esse é um dos assuntos principais em qual a derivada é usada.

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