terça-feira, 25 de janeiro de 2011

Aplicação da Derivada (Parte 2)

Este é outro post sobre a aplicação da derivada, agora relacionado a outro tipo de derivada: a derivada segunda. Mas, antes, veremos derivadas de ordens maiores do que 1.

As derivadas de ordens maiores que um são as tais que:

A clip_image002-ésima derivada de uma função pode ser posta da seguinte maneira:

clip_image004

Sendo clip_image006 (n-1)-ésima derivada da função.

Comecemos pela derivada segunda. Esta é, das que tem ordem maior do que um, a de mais importância para nós.

Vejamos a seguinte função:clip_image008Nesta função, clip_image010. Reparem que, como vimos, podemos achar dois pontos de máximo ou mínimo: um de máximo e outro de mínimo. Mas, e se quisermos achar o exato ponto em que podemos saber que a concavidade mudará? Reparem nas figuras abaixo:

clip_image011

clip_image013

clip_image015

Reparem que o ponto mínimo da derivada é o mesmo em que a derivada segunda se iguala a zero. Até aí, são resultados que poderíamos prever. Mas há outro fato: esse mesmo ponto coincide com um ponto na primeira função, e este ponto, se repararmos bem, é o ponto aonde a concavidade (“barriga” da curva) voltada para cima se encontra com a concavidade voltada para baixo. A esse ponto, nós chamamos de ponto de inflexão da função, ou ponto aonde a concavidade da curva muda. Em matemática,

clip_image017

Exemplo: Na mesma função do exemplo, calcule o ponto de inflexão e a equação da tangente naquele ponto.

Solução: Derivando a primeira vez, obtemos

clip_image019

E a segunda derivada é

clip_image021

clip_image023

Para calcular clip_image025, substituímos clip_image027na função, tendo:

clip_image029

Ou seja, o ponto de inflexão é clip_image031. Agora vamos calcular a tangente naquele ponto. Temos que o coeficiente angular da tangente naquele ponto é clip_image027[1]substituído na derivada primeira, que é

clip_image033

Então, sua equação é

clip_image035

Para acharmos C, é só notar que clip_image037, ou seja:

clip_image039

clip_image041

Ficando com a equação da tangente clip_image043

Agora, vamos passar a outra utilidade da derivada segunda, que tem muito a ver com a que acabamos de relatar: achar o sentido da concavidade de uma curva qualquer. Reparem, naquelas imagens das três funções, que, quando a derivada segunda é negativa, a função tem concavidade voltada para baixo, e quando a derivada segunda é positiva, a curva tem concavidade voltada para cima. Generalizando, obtemos:

clip_image045

clip_image047

Podemos usar esse resultado para descobrir se o ponto em que a derivada primeira se anula é máximo ou mínimo: fica óbvio que, quando a concavidade é para baixo, há um ponto máximo, e quando a concavidade é para cima, há um ponto mínimo.

Exemplo: Na mesma função, calcule os pontos em que a derivada se iguala a zero e diga qual deles é máximo e mínimo, sem consultar o gráfico.

Solução: Primeiro, derivando:

clip_image049

clip_image051

clip_image053

Para descobrir qual é um máximo local e qual é um mínimo local, derivamos de novo, produzindo

clip_image055

Substituindo os dois valores de clip_image057, obtemos

clip_image059

clip_image061

Tendo que no ponto em que clip_image063 a função assume um máximo, pois a derivada segunda é negativa, então a concavidade é voltada para baixo, e no ponto em que clip_image065 a função assume um mínimo, pois a derivada segunda é positiva, então a concavidade da curva é voltada para cima.

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