Fórmulas: Derivada e Integral de polinômios

Aproveitando a "aula" dada pelo João sobre derivadas, demonstro aqui as fórmulas de derivação e integração de polinômios, lembrando que esse é um processo básico (bem básico mesmo), e que serve principalmente para facilitar o trabalho em muitos casos:
1. Descobrir maximos e minimos de uma função (derivada igualada a zero)
2. Achar a área debaixo de uma função (integral definida)
3. Achar a taxa de variação de uma função (derivada)
4. recuperar uma função a partir da equação da sua tangente e derivada (integral indefinida)
5. Simplificar uma função (como as séries de expansão de Taylor têm por intuito).

Vamos Começar:

Teorema 1: Seja $x^k$ um monômio. Então
(a) $(x^k)' = k(x^{k-1})$
(b) Para vários monômios $ x^{k_1},x^{k_2},...,x^{k_n} $, temos que, se
$ P(x) = a_1 x^{k_1} + a_2 x^{k_2} + \cdots + a_n x^{k_n} $
Então $P'(x) = k_1 a_1 x^{k_1-1} + k_2a_2 x^{k_2 -1} + \cdots + k_n a_n x^{k_n-1} $

Demonstração:

(a) Usando a definição de derivada,

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^k + P(\Delta x, x) + (\Delta x)^k - x^k}{\Delta x} $

Onde $P(\Delta x,x)$ é tomado de acordo com o binômio de Newton. Após simplificar, vemos que o único termo independente de $ \Delta x $ é $ kx^{k-1} $. Ao aplicar o limite, terminamos.

(b) Vamos provar algo mais forte. Provemos que se, dadas $u,v,w$ funções, com $u=v+w$, então ´$u' = v' + w'$. O resultado para $n$ números sai por indução. Poranto, para o passo-base:

$ u' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x) + w(x+\Delta x) - v(x)-w(x)}{\Delta x}$

$ = v' + w' $

Assim, nossa proposição sobre polinômios está provada, pelo menos para a derivada.

Integral: O conceito mais básico de integral, é: a Anti-derivada, ou seja, derivada ao contrario.
(lembrando, ISSO É O BÁSICO, o simples, o simplório, o pequeno.)

A fórmula:

$ \frac{x^{k+1}}{k+1} = \int x^k dx $

Se integra fator por fator, assim como nas derivadas (a integral, no momento atual, apenas é a operação que "desfaz" a derivada. Portanto, é natural que esta propriedade se mantenha).

Agora, note o caso um pouco mais geral: A derivada e a integral de expressões monomiais com expoentes racionais. Este obedece, com exceção à integral de $ \frac{1}{x} $, as mesmas regras acima. Pela derivada de potências interas ou racionais, mostra-se o Binômio de newton generalizado, que, por sua vez, mostra que a derivada de potências reais, no geral, segue $ (x^\alpha)'= \alpha\cdot x^{\alpha-1} $. O mesmo para integrais.

Porém, vale a pena olhar para o caso da exceção:

Vamos provar que $ (ln(x))' = \frac{1}{x} $

De fato, aplicando a definição,

$ln'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} ln(\frac{x+\Delta x}{x})^{1/\Delta x}$
Como sabemos que $ e^x = \lim_{k \rightarrow 0} (1+\frac{x}{k})^k $, Ao terminar de analisar nossa expressão ao lado checamos claramente o resultado, ou seja,

$ \int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} $

Agora vocês têm fórmulas de utilidade extrema, que com certeza facilitarão muito o seu trabalho em varias ocasiões (Ensino Fundamental, médio, Concursos difíceis, problemas para lazer), mas: LEMBRE-SE! Professor também tem orgulho. Cuidado quando for colocar isso na prova (sério, eu já fiz isso e fui repreendido. Professor de ensino médio não gosta de se sentir ameaçado pela inteligência do aluno).

Abraços e até mais!

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