Aproveitando a "aula" dada pelo João sobre derivadas, demonstro aqui as fórmulas de derivação e integração de polinômios, lembrando que esse é um processo básico (bem básico mesmo), e que serve principalmente para facilitar o trabalho em muitos casos:
1. Descobrir maximos e minimos de uma função (derivada igualada a zero)
2. Achar a área debaixo de uma função (integral definida)
3. Achar a taxa de variação de uma função (derivada)
4. recuperar uma função a partir da equação da sua tangente e derivada (integral indefinida)
5. Simplificar uma função (como as séries de expansão de Taylor têm por intuito).
Vamos Começar:
Teorema 1: Seja $x^k$ um monômio. Então
(a) $(x^k)' = k(x^{k-1})$
(b) Para vários monômios $ x^{k_1},x^{k_2},...,x^{k_n} $, temos que, se
$ P(x) = a_1 x^{k_1} + a_2 x^{k_2} + \cdots + a_n x^{k_n} $
Então $P'(x) = k_1 a_1 x^{k_1-1} + k_2a_2 x^{k_2 -1} + \cdots + k_n a_n x^{k_n-1} $
Demonstração:
(a) Usando a definição de derivada,
$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^k + P(\Delta x, x) + (\Delta x)^k - x^k}{\Delta x} $
Onde $P(\Delta x,x)$ é tomado de acordo com o binômio de Newton. Após simplificar, vemos que o único termo independente de $ \Delta x $ é $ kx^{k-1} $. Ao aplicar o limite, terminamos.
(b) Vamos provar algo mais forte. Provemos que se, dadas $u,v,w$ funções, com $u=v+w$, então ´$u' = v' + w'$. O resultado para $n$ números sai por indução. Poranto, para o passo-base:
$ u' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x) + w(x+\Delta x) - v(x)-w(x)}{\Delta x}$
$ = v' + w' $
Assim, nossa proposição sobre polinômios está provada, pelo menos para a derivada.
Integral: O conceito mais básico de integral, é: a Anti-derivada, ou seja, derivada ao contrario.
(lembrando, ISSO É O BÁSICO, o simples, o simplório, o pequeno.)
A fórmula:
$ \frac{x^{k+1}}{k+1} = \int x^k dx $
Se integra fator por fator, assim como nas derivadas (a integral, no momento atual, apenas é a operação que "desfaz" a derivada. Portanto, é natural que esta propriedade se mantenha).
Agora, note o caso um pouco mais geral: A derivada e a integral de expressões monomiais com expoentes racionais. Este obedece, com exceção à integral de $ \frac{1}{x} $, as mesmas regras acima. Pela derivada de potências interas ou racionais, mostra-se o Binômio de newton generalizado, que, por sua vez, mostra que a derivada de potências reais, no geral, segue $ (x^\alpha)'= \alpha\cdot x^{\alpha-1} $. O mesmo para integrais.
Porém, vale a pena olhar para o caso da exceção:
Vamos provar que $ (ln(x))' = \frac{1}{x} $
De fato, aplicando a definição,
$ln'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} ln(\frac{x+\Delta x}{x})^{1/\Delta x}$
Como sabemos que $ e^x = \lim_{k \rightarrow 0} (1+\frac{x}{k})^k $, Ao terminar de analisar nossa expressão ao lado checamos claramente o resultado, ou seja,
$ \int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} $
Agora vocês têm fórmulas de utilidade extrema, que com certeza facilitarão muito o seu trabalho em varias ocasiões (Ensino Fundamental, médio, Concursos difíceis, problemas para lazer), mas: LEMBRE-SE! Professor também tem orgulho. Cuidado quando for colocar isso na prova (sério, eu já fiz isso e fui repreendido. Professor de ensino médio não gosta de se sentir ameaçado pela inteligência do aluno).
Abraços e até mais!
Lembre-se: Se você gostou do blog, inscreva por e-mail e no blog para receber as novas atualizações e curta nossa página no Facebook. Todas essas opções se encontram na barra lateral do blog e abaixo da postagem. Para melhorar a qualidade de nossas postagens avalie o conteúdo aqui embaixo. É rapidinho! Lembre-se que todo tipo de comentário que respeitar as regras é bem vindo.
Comentários
Postar um comentário
Você pode comentar! A equipe do blog encoraja todos a comentar.
Porém, lembre-se que comentários que desrespeitem as regras abaixo serão excluídos:
-É proibido ofender qualquer pessoa ou grupo em seu comentário.
-Os comentários deverão ser minimamente relacionados com o tópico. Lembrem-se, estamos falando de um blog de matemática!
-Proibido flood.
-Proibido palavras de baixo calão.
-Proibido colocar qualquer tipo de conteúdo improprio para menores de 18 anos (há menores de idade que acessam o blog).
A equipe do blog agradece seu comentário, e tenha certeza que será muito enriquecedor. Tentaremos respondê-los o quanto antes possível.