sábado, 29 de janeiro de 2011

Aplicação da derivada (Parte 3)

Este é o terceiro (ou quarto, se você contar o post sobre Taylor) post sobre a aplicação da derivada. Este é sobre a aplicação da derivada em achar a raiz de polinômios e funções de modo geral, um método chamado, geralmente, de método de Newton, embora seu nome, digamos, oficial seja método de Newton-Raphson.

Esse método não tem exatamente uma “demonstração”, mas sim algumas especificações que têm de ser atendidas para que ele converta. Vamos, agora, determinar o que Newton e Raphson determinaram:

Método de Newton-Raphson: Escolha um ponto sobre o eixo dos clip_image002[10]. Calcule o ponto clip_image004[4] .A partir desse ponto, calcule sua tangente. Ache o ponto em que a tangente encontra o eixo dos clip_image002[11]. Repita esse processo dentro das normas pré-estipuladas grande número de vezes (o ideal seria infinitas vezes), para que o seu resultado se aproxime muito da raiz da função.

Vamos analisar para achar alguma fórmula. Para calcularmos sua tangente, usaremos dois artifícios: a derivada par achar seu coeficiente angular e a equação da reta escrita como clip_image006[4]

Começando, substituímos clip_image008[4] pelo valor conhecido, ou seja, clip_image010[4] e fazendo clip_image012[4]. Ou seja, clip_image014[4]. Como desejamos achar a raiz dessa equação, temos clip_image016[4], obtendo

clip_image018[4]

O que podemos resolver em clip_image002[12] para obter o nosso próximo valor, qual clip_image020[4]

clip_image022

Quando repetirmos esse processo para clip_image024 , teremos a mesma fórmula, que é chamada de fórmula de iteração no método de Newton, que pode ser generalizado para

clip_image026

Outra maneira: Podemos achar esse método por série de Taylor, expandindo a funçãoclip_image028 em torno de clip_image030, sendo esse clip_image030[1] uma aproximação para a raiz da função, tomando como um polinômio de grau 2, para acharmos umclip_image032, que será uma aproximação melhor, tendo clip_image034o erro de aproximação, suficientemente pequeno.

clip_image036

Fazendo clip_image020[5]

clip_image038

Mas, como clip_image040é suficientemente pequeno, seu quadrado é bem menor, tendendo a zero. Então, obtemos

clip_image042

clip_image022[1]

Que é o resultado que queríamos obter (pode encontrar a base completa para essa demonstração clicando Aqui).

Exemplo 1: aproxime a raiz de clip_image002[16] em duas casas decimais.

Solução: Façamos a função clip_image004[6], cuja derivada é clip_image006[6]. Colocaremos na fórmula para iteração, tomando clip_image008[6]

clip_image010[6]

E avançamos nas contas:

clip_image002[18]

Esse exemplo nos mostra uma grande utilidade do método de Newton-Raphson: aproximar radicais. Nesse exemplo, aproximamos, com duas casas decimais, e com erro pequeno a raiz de 5.

Exemplo 2: Sabe-se que a equação quíntica não pode ser resolvida por radicais. Entretanto, vamos aproximar com certa precisão uma raiz da função clip_image002[20].

Solução: É só aplicarmos a fórmula para iteração (a função tem derivada clip_image002[22]), começando por -2:

clip_image002[24]

clip_image004[8]

clip_image006[8]

clip_image008[8]

clip_image010[8]

E, com esse resultado, obtemos um erro muito pequeno. O mais interessante é que esse método dá valores numéricos para os zeros das funções, o que eu adoro é muito eficiente, além de ter convergência muito rápida.

Exemplo 3: Encontre uma aproximação racional com erro clip_image002[26] para clip_image004[10].

Solução: Se existe um número igual a clip_image004[11], podemos traduzir em clip_image006[10], ou seja, clip_image008[10]. Colocamos uma função clip_image010[10], e daí partimos as iterações, a partir de 1 (lembrando que clip_image012[6]).

clip_image014[6]

clip_image016[6]

clip_image018[6]

Com isso, obtemos um erro pouco maior do que clip_image020[8], mostrando que, com o ponto de partida próximo ao resultado real, temos muitas chances de conseguirmos uma convergência extremamente rápida e satisfatória. Além desse fato, observamos que o método de Newton-Raphson é eficiente para encontrar qualquer tipo de radical e raiz de número.

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