quinta-feira, 13 de janeiro de 2011

Aula sobre Derivadas

 
Esse post vai ser dedicado a ensinar o que é a derivada, uma matéria essencial do cálculo e de todos os cursos superiores que envolvam matemática. Aqui vai: Imagine uma função clip_image007, contínua, através da qual podemos traçar uma reta tangente, como segue na figura 1
clip_image005









 
 
 
 
 
 
 
 
Como qualquer reta, esta tem equação clip_image016. Como já se sabe o valor de clip_image018 é clip_image020, sendo clip_image022 e clip_image024 são a diferença entre as coordenadas de dois pontos por qual ela passe. Agora, imaginemos uma secante à mesma função.
clip_image014Observamos que, à medida que a distância CB diminui a distância AB também diminui. Na verdade, chamemos o Ponto C de clip_image026, já que ele pode ser variado, e, como está sobre a função clip_image007[1], tem o parâmetro clip_image028. Então, como o ponto A também está com abscissa clip_image030, pois dista clip_image024[1] da abscissa de C. Como A se situa na função clip_image007[2], então sua ordenada é clip_image032. Então temos que o coeficiente angular da secante é
 
clip_image034
 
Agora retomemos à tangente. Como podemos ver, a distância de clip_image036, causando, assim, que o coeficiente angular da tangente é
 
clip_image038
 
Ou seja, o coeficiente angular da tangente é o coeficiente angular da secante, à medida clip_image024[2] tende a 0. Essa é a derivada de uma função, representada por
 
clip_image040
 
A derivada também é chamada de taxa de variação de uma função.
 
Exemplo 1: Qual a equação da tangente à função clip_image042 no ponto com abscissa que vale 5?
Solução: Primeiro, derivamos a função. Obtemos:
 
[; \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2(x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) - 2x^2}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{4x + 2\Delta x} = 4x ;]
 
Depois, como a abscissa vale 5, substituímos, obtendo
 
clip_image046
 
A equação da tangente é
 
clip_image048
 
Como, quando a reta tangencia a curva, a função e a derivada se igualam, tendo
 
clip_image050
clip_image052
clip_image054
Então, temos que a equação da tangente é
 
clip_image056
Exemplo 2: Dada uma função polinomial clip_image058, calcule sua derivada.
 
Solução: Derivaremos, então:
 
clip_image002
clip_image062
 
Como o único termo dessa soma que não é multiplicado por clip_image024[3] é o primeiro, que é
 
[; nx^{n-1} ;] 
 
,então este é o único que “resta” quando aplicamos o limite, ou seja,
 
clip_image066

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