sábado, 9 de junho de 2012

Sequências e Progressões

Bem, pessoal, voltando à parte didática do blog, hoje apresentaremos uma breve introdução ao estudo de sequências, com destaque para as Progressões Aritméticas, ou P.A.’s como denotaremos, e, no próximo post, as Progressões Geométricas, ou P.G.’s. Vamos definir cada uma das duas e, depois, iremos iniciar as sequências mais generalizadas.

Definição 1: Uma sequência é uma ordenação (finita ou não) de números contidos em certo conjunto. Cada termo de uma sequência é indicado por sua posição na ordenação. Ou seja, podemos definir uma sequência também como uma função, geralmente definida como clip_image002 (também pode ser o conjunto dos inteiros no domínio).

Por exemplo, a sequência definida por clip_image004, clip_image006, clip_image008 é uma sequência de números inteiros. (Problema: Você saberia achar uma fórmula fechada para esta sequência?)

Existem vários tipos de sequências: definidas recursivamente, definidas através de uma fórmula fechada,definidas como um termo de uma matriz, e várias outras.

No geral, teremos que entender uma sequência apenas como uma ordenação, pelo menos por essa aula.

Tendo entendido, podemos prosseguir para o que realmente nos interessa.

Definição 2: Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números tais que o n-ésimo termo é a soma do (n-1)-ésimo termo com um número constante, r, que chamamos da razão da P.A.

Então, podemos formular uma P.A. como segue:

“Dado clip_image010, temos que a P.A. é uma sequência tal que clip_image012.”

Então, podemos avançar para o seguinte

Teorema 1: O n-ésimo termo de uma P.A. pode ser escrito como clip_image014

Demonstração: Façamos clip_image016. Assim, podemos “telescopar” essa soma:

clip_image016[1]
clip_image018

clip_image020

clip_image022

clip_image024

Donde segue a fórmula. clip_image026

Exemplo 1: Dado clip_image028 e clip_image030, ache clip_image032.

Resolução: clip_image034.

Exemplo 2: Determine o gráfico, não necessariamente contínuo, de uma P.A.

Resolução: Seja clip_image014[1]. Chamando clip_image036, clip_image038, clip_image040 , temos

clip_image042, que é uma função afim. Logo, ao “unirmos” os pontos (pois uma P.A. associa somente abscissas inteiras), teremos uma reta.

Porém, o mais importante sobre progressões aritméticas é a soma dos n termos. Com esse dado, poderemos resolver inúmeros problemas sobre progressões aritméticas, pois, quando falamos de P.A.’s, a teoria toda está baseada nesses dois teoremas. Mas antes, precisaremos do seguinte

Lema 1: A soma dos extremos em uma P.A. é constante, ou seja, clip_image044

Demonstração do Lema: clip_image046, clip_image048, ..., clip_image050, que é o que queríamos demonstrar. clip_image026[1]

Agora, podemos partir para o teorema importante:

Teorema 2: A soma dos termos de uma P.A., dados clip_image010[1], clip_image052, é

clip_image054Demonstração 1: Façamos indução em n:

P(1), trivial

P(k+1), suponhamos que, para algum k, seja verificado que

clip_image056

Então,

clip_image058

clip_image060

Que prova o passo indutivo. clip_image026[2]

Demonstração 2: Façamos um “triângulo”, como na figura

clip_image010[2]
clip_image062
clip_image064
clip_image066
clip_image068

Ao colocarmos uma “cópia” do triângulo, como na figura abaixo, obtemos

clip_image070
clip_image070[1]
clip_image070[2]
clip_image020[1]

clip_image070[3]

Mas, a soma de cada linha é igual a clip_image072, pois temos clip_image074 cópias do clip_image076e duas do clip_image010[3]. Assim, a soma total é clip_image078. Como temos duas cópias do triângulo,

clip_image080

Agora, resolvamos alguns exercícios interessantes:

1 – Prove que, dada uma P.A. com clip_image082, então o produto de quaisquer 4 termos consecutivos somado à razão elevada à quarta potência é um quadrado de um racional.

Resolução: Seja clip_image084para algum clip_image086. Então, podemos fazer clip_image088, para k ímpar. Então, existem termos clip_image090, clip_image092, clip_image094e clip_image096 que são termos consecutivos da P.A. Seu produto, então, é

clip_image098

Somando à razão elevada à quarta potência,

clip_image100

Que é o resultado desejado. clip_image026[3]

2 – (IME-97) Determine as possíveis P.A.’s para as quais o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente do valor de n .

Resolução: Seja clip_image010[4] seu primeiro termo e clip_image102 sua razão. Então,

clip_image104

clip_image106

Logo, tomando clip_image108 e clip_image110,

clip_image112

clip_image114

clip_image116

clip_image118

Temos, então, dois tipos de P.A. que nos satisfazem: as constantes (clip_image120), e as nas quais clip_image122. clip_image026[4]

3 –(ITA-2005) Seja clip_image124uma PA infinita tal que

clip_image126

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

Resolução: Para clip_image110[1],

clip_image128

E, para clip_image130clip_image132

clip_image134

clip_image136

clip_image026[5]

4 – (Proposto pela Checoslováquia para a IMO-1969) Sejam d e p reais arbitrários. Ache o primeiro termo da progressão aritmética de razão clip_image138 tal que clip_image140. Ache o número de soluções em termos de clip_image138[1] e clip_image142.

Resolução: Façamos clip_image144 e clip_image146. Logo,

clip_image148

Efetuando clip_image150,

clip_image152

clip_image154

clip_image156

Substituindo em clip_image158,

clip_image160

clip_image162
clip_image164

Agora, analisaremos caso a caso:

i) Nenhuma solução Real:

clip_image166

clip_image168

ii) Uma solução Real:

clip_image170

a)

clip_image172
clip_image174

b)

clip_image176

iii) Duas soluções Reais:

clip_image178

clip_image180

iv) Três soluções Reais:

Vemos bem facilmente que esse caso é impossível de ocorrer.

v) Quatro soluções Reais:

clip_image182

clip_image184

clip_image186

a)

clip_image188

clip_image190

b)

clip_image192

Satisfeito para todo clip_image142[1] satisfazendo a condição pré-determinada.

Bem, aqui acaba nosso post sobre Progressão Aritmética. Em breve, teremos um post sobre P.G.’s. Assim que terminarmos esses assuntos tão importantes ao ensino médio atual, entraremos nas sequências mais gerais, algo não tão útil ao ensino médio, porém, em minha opinião, muito mais interessante.

2 comentários:

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