sábado, 10 de novembro de 2012

Uma Integral, Duas Soluções

Hoje venho falar de um problema bem interessante que achei no meio dos papéis aqui de casa. Estava numa apostila de cálculo 2, então resolvi tentar fazer:

Problema: Calcule a área contida entre a curva (polar) r = tan θ, o eixo horizontal e a reta (cartesiano) x = 1.

Minha Solução: Note que, como a distância à origem é
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Então, temos um sistema de coordenadas paramétricas:
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Agora, só precisamos calcular
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Efetuando
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Então
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Logo,
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Como o problema pede a área de 0 a 1, só temos que analisar a função para estes valores, e subtrair como numa integral definida. Como a expressão polinomial zera para ambos os valores, podemos apenas analisar
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E essa é a área que desejamos.
Contudo, existe uma solução diferente, menos técnica que esta:
Solução do Livro: Seja, como na figura abaixo, o triângulo OPM:
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A área que queremos é dada pela área do triângulo menos a área da função entre O e P. Esta área pode ser calculada através de uma integral em coordenadas polares. Porém, ao calcular a integral de 0 a π/2 diretamente a função, obtemos uma indeterminação. Como remediar isso? Através do nosso método, com o auxílio de um limite! Logo, Como
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E a área da função é
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De 0 a π/2. Agora, modificando a fórmula da área do triângulo:
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Logo, nossa área total é
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Vamos analisar, separadamente, o limite:
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Agora, como o limite nos leva à indeterminação (0/0), podemos aplicar a regra de l’Hôpital, derivando tanto o denominador quanto o numerador da fração, para obter
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Portanto, temos que o limite se anula, e, enfim
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É interessante como um método técnico pode gerar uma solução trabalhosa, apesar de correta, enquanto um método mais livre requer muito mais raciocínio (claro, o truque de considerar o triângulo pode ser conhecido, mas para um leigo não vem tão facilmente), porém é capaz de fornecer soluções muito mais rapidamente, sem o recurso a repetidas integrais. Entretanto, ambos os métodos nos dão o resultado correto, o que destaca a importância de ambos.
Fiquem atentos ao blog para conteúdos novos sobre calculo diferencial.





































2 comentários:

  1. Olá,
    achei o problema muito interessante, gostaria de saber de onde foi retirado(qual livro?).

    ResponderExcluir
  2. Olá, Danfla!

    Na verdade, como mencionei, era uma apostila qualquer de Cálculo 2. Não sei nem se ainda a tenho, muito provavelmente já a joguei fora. Mas, caso ache, volto a comentar aqui.

    Abraço,

    João Pedro Ramos.

    ResponderExcluir

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