segunda-feira, 26 de novembro de 2012

Resolvendo Equações de Grau Menor que 5

Hoje achei este arquivo perdido em meu computador. Se trata de um projeto antigo sobre escrever sobre fórmulas para resolução de equações de grau menor ou igual a 5, de quase dois anos atrás. Assim, vamos analisar todos os principais casos de equações, até os realmente triviais. Não deixaremos exercícios, pois isto é apenas um post para os curiosos que desejam saber uma fórmula para a equação de terceiro/quarto grau. Comecemos pela

Demonstração 1: Demonstração da fórmula de resolução da equação do primeiro grau

Esse é o caso mais fácil de se deduzir: temos

clip_image002

Embora tenha sido um exemplo um tanto quanto rápido, a dificuldade tende a aumentar junto com o grau da equação. Portanto, continuemos:

Demonstração 2: Demonstração da fórmula de resolução da equação do segundo grau

Temos a seguinte equação do segundo grau:

clip_image004

Dividindo por clip_image006, obtemos

clip_image008

Sendo clip_image010

Efetuando clip_image012, com o produto notável, temos

clip_image014

clip_image016

clip_image018

clip_image020

Efetuando a substituição em z, temos

clip_image022

Refazendo clip_image010[1], recuperamos a fórmula

clip_image024

clip_image026

Que é a famosa fórmula quadrática (também chamada, erroneamente, de fórmula de Bháskara. Bháskara, na verdade, contribuiu para a matemática sim, mas as equações do segundo grau já eram bem conhecidas em sua época). ■

Agora começarão os métodos não convencionais e criativos para obter as fórmulas. Sugerimos ao leitor que realmente está interessado que preste muita atenção, alguns detalhes se mostram muito técnicos.

Demonstração 3: Demonstração da fórmula de resolução da equação do terceiro grau

Tomemos a seguinte equação do terceiro grau:

clip_image028

Dividindo por clip_image030, temos

clip_image032

Sendo clip_image034

Efetuando a substituição clip_image036, com o produto notável, temos

clip_image038

clip_image040

clip_image042

clip_image044

Com clip_image046 e com clip_image048, resultamos em uma equação da forma

clip_image050

Agora, se pudermos colocar clip_image052, para quaisquer valores de u e v, então temos

clip_image054

Agora, vamos buscar uma maneira de zerar, em função de u + v, a equação. Uma maneira é fazer

clip_image056

Mas, como (u+v) = x , temos

clip_image058

Daí tiramos que

clip_image060
clip_image062

clip_image064

clip_image066 e clip_image068

clip_image070

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clip_image078

Como o sistema é simétrico em A,B, então podemos arbitrá-las:

clip_image080

clip_image082

clip_image084

clip_image086

clip_image088

clip_image090

clip_image052[1]

clip_image092

Mas como clip_image036[1], temos

clip_image094

Que é a fórmula de Cardano-Tartaglia. É claro que existe uma forma de fazer esta equação ainda mais relacionada com a original, porém é resultado de modificações algébricas muito entediantes e cansativas. Além do mais, o cálculo de p e q não é difícil: é só substituir os valores originais na equação. ■

Demonstração 4: Demonstração da fórmula de resolução da equação quártica

Tomemos a seguinte equação quártica:

clip_image096

Dividindo por clip_image098 (como sempre, para gerar uma equação mônica), temos

clip_image100

Fazendo clip_image102, obteremos (as contas são suficientemente exaustivas para omiti-las daqui, porém recomendamos que o leitor as faça para treinar) um polinômio da forma

clip_image104

Agora, pretendemos obter uma equação da forma

clip_image106

Que ficará fácil de resolver pela fórmula quadrática. Primeiro, tem alguns passos a seguir:

clip_image108

clip_image110

clip_image112

Como queremos que o segundo membro seja um quadrado perfeito, vamos adicionar um número qualquer k a ambos os lados, de modo que o membro da esquerda continue um quadrado perfeito, e o da direita vire um quadrado perfeito. Temos, então

clip_image002[1]

clip_image004[1]

Agora, para o membro da direita ser um quadrado perfeito, então o Delta (discriminante da equação do segundo grau do membro à direita, quando analisamos na fórmula quadrática) tem de ser zero. clip_image118Esse discriminante é

clip_image002[5]

clip_image004[5]

clip_image006[3]

Então, para achar o número que satisfaça o requisito do membro à direita ser um quadrado perfeito, devemos resolver a equação acima. Pela fórmula de Cardano-Tartaglia para cúbicas, temos (pelo menos) uma solução real para tal equação de terceiro grau em k. Podemos também utilizarmo-nos do truque da demonstração anterior para reduzir ao nosso caso estudado, e daí achamos k. Temos, com

clip_image126

clip_image002[7]

clip_image130

A equação

clip_image106[1]

Que é o desejado. Reparem agora que não demos uma fórmula explícita para z: é quase impossível fazer tanta conta! Reparem que daríamos k em sua forma de resolução de cúbica, o que ainda demandaria modificações e, além disso, este apareceria em um radical. Logo após, apareceria este radical dentro de mais um radical, o que é suficientemente cansativo para não fazermos, porém o leitor que anseia por respostas teve suas perguntas quase totalmente respondidas. ■

Referências Bibliográficas:

- Inspirado em artigos avulsos lidos pela internet, porém as demonstrações foram todas desenvolvidas pelo autor.

Avalie o post aqui embaixo, é rápido! Alguma correção, dúvida, elogio, questão ou comentário, poste aqui. O seu comentário é muito bem vindo.

9 comentários:

  1. Oi, João Pedro!

    Parabéns pelo desenvolvimento do artigo. Bem organizado e lógica impecável.

    Uma vez li em algum Almanaque Abril que as equações quínticas são resolúveis transcedentemente por funções elípticas mas, até agora não encontrei nem em livros e nem na net.

    Outro assunto que também que é difícil encontrar na net são as fórmulas para sen(nx) e cos(nx).

    Uma curiosidade. Só vejo vc postando. Antes era uma equipe, não?

    Um abraço!

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  2. Oi, Aloísio!

    Obrigado pelos elogios, sempre é bom, principalmente de um companheiro de blogs!

    Quanto a funções elípticas e resolução da equação quíntica, não sei de nada realmente interessante. Gostaria de saber da demonstração de Abel para a inexistência da solução por radicais, pois nunca a encontrei.

    As fórmulas do sen(nx) e cos(nx) são relativamente fáceis de se demonstrar, usando números complexos. Tenho um livro da União Soviética que tem isso, é interessante.

    Quanto aos postadores, sei que eu tenho postado mais, porém o Eduardo (dudu) postou recentemente sobre bijeções, e o nosso outro postador, o Rafael Filipe, que não se apresentou ainda, está usando o perfil do blog (A Matemática Pura).

    Espero ter tirado a dúvida rs

    Abraço!

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  3. Olá João Pedro, muito bom o post, bem dinâmico. Fiquei com esta dúvida. Não seria assim
    (x^2 + q + k)^2 = (x^2 + q)^2 + 2k(q + x^2) + k^2
    ao invés de
    (x^2 + q + k)^2 = (x^2 + q)^2 + 2k(q + x) + k^2

    Até mais.

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  4. Olá, Paulo! Obrigado pelo elogio, mais uma vez é muito bom :)

    Quanto à dúvida, é assim mesmo, como na primeira expressão. Desculpa pelo engano, já corrigi todos os possíveis erros.

    Abraço!

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  5. Oi, amigão! Muito legal seu blog! Tenho um canal de vídeos de Matemática no YouTube, onde tento ensinar os assuntos de forma divertida, além de apresentar algumas curiosidades matemáticas. Se quiser visitar e, caso goste, divulgar em seu blog (para ter mais conteúdo), fique à vontade! :)

    Matemática Rio: http://www.youtube.com/matematicario

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    Respostas
    1. Opa, Rafael! Obrigado pelos elogios :)
      Quanto ao teu canal, eu curti a iniciativa, achei organizado e bem legal! Gostaria de propor uma parceria entre os nossos meios de comunicação: eu divulgo o teu canal, que é mais didático que o meu blog, pro leitor quer precisa aprender desesperadamente, ou tem dificuldades, e você divulga o meu blog pro leitor que quer saber mais.

      O que acha?

      Abraço!

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  6. Respostas
    1. Olá carolaine,

      este blog não é destinado a tirar dúvidas de exercícios específicos. Tente aplicar o que foi ensinado neste post.

      Até mais,
      Eduardo

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  7. Ola, João Pedro, eu sou matemático e quero parabenizar você por esse seu blog é de excelente qualidade. Continue assim.

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