terça-feira, 28 de abril de 2015

Problema de Minimizante em Espaço de Hílbert

Hoje nosso objetivo é dar uma solução pro seguinte problema: Se $H$ é um espaço de Hilbert complexo (veja aqui e aqui), $v_1,v_2$ são dois elementos de norma igual em $H$, encontrar o menor valor possível para 

$$ I = \inf_{f \in H}\{\|f\|; |\langle f,v_i\rangle| \ge 1, i=1,2\} $$

Discutindo se é ou não única o $f$ que atinge tal mínimo. Mais especificamente, provaremos o seguinte 

Teorema: Para o problema acima, temos que 

$$ I^2  = \frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2 \rangle|} $$ 

Além disso, podemos caracterizar os extremizantes como 

(i) se $\langle v_1,v_2 \rangle = 0$, então temos como únicos extremizantes os elementos da família 

$$ f = \left(\frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2 \rangle|}\right)^{1/2} \frac{c_1v_1 + c_2v_2}{\|v_1+v_2\|} $$

Onde $|c_1|=|c_2|=1$ são complexos. 

(ii) se $\langle v_1,v_2 \rangle \ne 0 \Rightarrow \langle v_1,v_2 \rangle = e^{i\alpha}|\langle v_1,v_2 \rangle|$. Temos que os extremizantes satisfazem 

$$ f = \left(\frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2\rangle|}\right)^{1/2} \frac{c(e^{-i\alpha}v_1+v_2)}{\|e^{-i\alpha}v_1 + v_2\|} $$ 

Onde $|c|=1$ é um parâmetro complexo. 

Prova: Vamos, primeiro, mostrar que podemos reduzir o problema ao subespaço fechado $M=\text{span}\{v_1,v_2\}$. De fato, isto segue de que a projeção $P_M$ satisfaz que $\|P_M g \| < \|g\|$ se $g  \not\in M$. Assim, como $\langle P_M g, v_i \rangle = \langle g,v_i \rangle, \;i=1,2$, então podemos nos reduzir a tal subespaço.

Agora, notamos que podemos supor que $\|v_i\| =1$, pois, caso contrário, então $I = \inf_{f \in H} \{\|f\|; |\langle f,v_i\rangle| \ge 1\} = \inf_{f \in H} \{\|f\|; |\langle \|v_i\|f, \frac{v_i}{\|v_i\|} \rangle| \ge 1\} = \frac{1}{\|v_i\|} \inf_{g \in H} \{\|g\|; |\langle g, \frac{v_i}{\|v_i\|} \rangle| \ge 1\}$

Fazendo estas suposições, seja então $f = av_1 + bv_2$ que satisfaz as hipóteses do conjunto onde estamos tirando o ínfimo. Em outras palavras, 

$$ |a + b \overline{\langle v_1,v_2 \rangle} |^2 \ge 1, |b + a \langle v_1,v_2 \rangle|^2 \ge 1 $$

Isto é, a primeira expressão equivale a 

$$ |a|^2 + a\bar{b}\langle v_1,v_2\rangle+\bar{a}b \overline{\langle v_1,v_2 \rangle} + |b|^2 |\langle v_1,v_2 \rangle|^2 \ge 1$$

Como, no entanto, 

$$ \|f\|^2 = \langle av_1 + bv_2 , av_1+bv_2 \rangle = |a|^2 + a\bar{b}\langle v_1,v_2 \rangle + b \overline{a \langle v_1,v_2 \rangle } + |b|^2 $$ 

Temos que $ \|f\|^2 \ge 1-|b|^2c_{1,2}^2+ |b|^2$ (onde abreviamos $c_{1,2} = |\langle v_1,v_2 \rangle|$). A mesma dedução vale para $a$, que implica que 

$$ \|f\|^2 \ge 1+\max{|a|^2,|b|^2}(1- c_{1,2}^2) $$.

Basta, portanto, achar uma limitação em $a,b$. Mas, somando as limitações que já temos, obtemos que 

$$ 2 \le (|a|^2 + |b|^2) + 2(a \langle v_1,v_2 \rangle \bar{b} + b \overline{ a \langle v_1,v_2 \rangle} ) + (|a|^2+|b|^2)|\langle v_1,v_2 \rangle|^2 \\ \le (|a|^2+|b|^2)(1+c_{1,2})^2 \\ \le 2\max\{|a|^2,|b|^2\} (1+c_{1,2})^2 $$

Isso já nos dá a limitação 

$$ \|f\|^2 \ge 1 + \frac{1-c_{1,2}^2}{(1+|c_{1,2}|)^2} = \frac{2}{1+c_{1,2}^2} \Rightarrow I^2  \ge \frac{2}{1+c_{1,2}^2}  $$ 

Além disso, ocorre a igualdade nas estimativas acima se, e só se, $|a|=|b|=\frac{1}{1+c_{1,2}}$, com $a = e^{-i\alpha}b$ no caso (ii). Uma substituição (que deixamos a cargo do leitor) completa a prova no caso $\|v_i\|=1$. O caso geral segue do anterior. 

$\square$

Comentário 1: Tal problema foi recentemente estudado por Carneiro, Chandee, Littmann e Milinovich em [1] para conseguir relações de zeros da função zeta de Riemann sob a Hipótese de Riemann (Lema 13). No mesmo artigo, é citado o fato de que J. Vaaler e M. Kelly teriam obtido resultados análogos. 

Comentário 2: Como aplicação do Teorema que provamos, juntamente ao Teorema de Fatoração de Kreïn, pode-se resolver o problema do 2-delta: Achar uma função inteira $f$ de tipo exponencial no máximo $2 \pi$ tal que $f|_{\mathbb{R}} \ge 0$, $f \in L^1(\mathbb{R})$ e $f(\pm \alpha) \ge 1$ para $\alpha>0$. 

De fato, basta notar que, se pudermos escrever $f(x) = |g(x)|^2$, onde $g$ tem tipo exponencial no máximo $\pi$, então teremos que $f(\pm\alpha) = |g(\pm \alpha)|^2 = | \langle g,K_{\pm \alpha} \rangle|^2$, onde $K_w (z) = \frac{\sin \pi(z-\bar{w})}{\pi(z-\bar{w})}$. Usando o Teorema que acabamos de provar, obtemos já todas as soluções de tal problema. 

Comentário 3: Embora a prova do Teorema acima seja relativamente simples, ainda é em aberto achar uma versão "$n$-dimensional" de tal problema, já que muito pouco se sabe sobre o problema do $n$-delta geral. 

Referências: 

[1] - E. Carneiro, V. Chandee, F. Littmann, M. Milinovich, "Hilbert Spaces and the Pair Correlation of zeros of the Riemann-Zeta Function", a aparecer em J. Reine Agnew. Math. 

[2] - J. Vaaler, "Some Extremal Functions in Fourier Analysis", Bull. Amer. Math. Soc. (1985) 

[3] - R. P. Boas, "Entire Functions", Academic Press Inc., New York, 1954

[4] - N. Akhiezer, "Theory of Approximation", New York, 1956. 

[5] - H. Brezis, "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations", Springer, 2011. 


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