segunda-feira, 28 de fevereiro de 2011

A Área Do floco de neve de Von Koch

Seja o seguinte triângulo eqüilátero, aonde se fazem seguidas iterações, construindo novos triângulos, cujos lados depois desta iteração valem um terço do lado anterior. Curva Van Koch (GIF)[3]
Nesse triângulo fractal que obtemos, vamos demonstrar uma fórmula para sua área quando o número de iterações chega próximo ao infinito
Como cada triangulo tem o lado do anterior dividido por 3 para formar o lado dos tri}ângulos da iteração seguinte, e a área do triângulo eqüilátero é igual a
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Temos que a área da unidade de cada triângulo, ou seja, de cada um dos triângulos resultantes após a iteração é dada por
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Sendo clip_image006o lado do triângulo anterior. Já que todo lado é seu anterior dividido por um terço, analisemos:
O lado depois de uma iteração vale
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Depois de duas iterações, fica
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Depois de três, temos
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Ou seja, podemos deduzir que depois de n iterações teremos
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Substituindo na fórmula em (1), temos
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Sendo
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Temos
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Mas essa fórmula só nos dá a área de um dos triângulos depois da iteração, e não de todos. Para achar a área de todos os triângulos daquela iteração, multiplicamos a fórmula da área pelo número de triângulos. Analisemos o número de triângulos: depois de uma iteração, temos 3 triângulos. A partir daí, cada triângulo de iteração “gera” quatro outros triângulos. Podemos deduzir, então, que o número de triângulos em cada iteração é de
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Sendo n o número de iterações. A área somada dos triângulos daquela iteração é, então
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Achamos, então, a área de um grupo dos triângulos em certa iteração, para n diferente de zero, pois quando n é igual a zero, a área diverge do valor que deveríamos obter. Para acharmos a soma de todos os triângulos em todas as iterações, temos
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Para simplificarmos, fazemos
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Obtemos, então
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Depois dessa redução, vemos que essa expressão é a de uma soma dos termos de uma progressão geométrica de razão dois nonos. Agora, apenas aplicaremos a fórmula da soma dos termos de uma P.G. e um pouco da noção de limites. Esta fórmula diz que
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Quando q é menor que 1 e n tende ao infinito, temos
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Pois, como q é menor que 1, quando ele é potenciado um número grande de vezes ele acaba próximo de 0. Na nossa expressão, logo vemos que o termo inicial é
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Agora, aplicando a fórmula para reduzir a expressão, obtemos
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Somando ao termo em que o número de iterações é igual a zero (A), temos que a fórmula para a área total é
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E essa é a área do floco de neve de Koch.








































Um comentário:

  1. A área do triângulo equilátero é l²*sqr(3)/4 e não l²*sqr(3)/2 como está no texto.

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