quarta-feira, 9 de fevereiro de 2011

Aula 1 sobre matriz. "O que é uma matriz?"

Olá pessoal, a postagem de hoje é sobre matrizes...

Bem, vamos ao que interessa: Alguém sabe o que é uma Matriz?
Não?
Impossível! Você está diante dela agora mesmo. Ainda está.
Ainda está. E enquanto estiver lendo isso vai continuar...
Enfim, esse é o primeiro post-aula sobre matrizes.

Clique para ler a aula 2 e a aula 3

Vamos então começar.

1- INTRODUÇÃO - O conceito de matriz é bem interessante e não exige nenhum nivel avançado de conhecimanto em matemática para entender. Acho que alguém de sétima série conseguiria entender, embora a maioria não estaria disposta a tal.

No começo de tudo:

Alguem já viu um filme de informática e computadores? E que tem varios quadros com numeros.
Cada um desse quadro é uma matriz e cada uma guarda um determinado tipo de informação.
Se eu te contasse que a tela do seu computador (na média) tem 786432 pontos pequenos chamados pixels, isso forma uma matriz de 768x1024.Bem grande, não? E se eu te contasse que cada um desses pontos é acendido numa cor, representada por um número. Imagine esse "quadro", do tamanho que deve ser.

Acha que falta exemplo? Deseja outro?

Abra o paint, faça um círculo nas ferramentas e dê zoom de 8 vezes nesse circulo. Tem de ser pequeno.
Pergunta: Por que será que são alguns pontinhos "organizados de forma imperfeita" que definem um círculo que sem zoom fica muito bom? Cá entre nós, se você ampliar qualquer imagem, no fim achará a mesma coisa.

Quer outro exemplo de aplicação para matrizes? Essa vem da noção primeira noção que temos sobre matrizes... É uma tabela usada para guardar informações, facilitando a manipulação de dados. De forma bem prática: Guardar a seguinte tabela de venda de livros em Janeiro, Fevereiro e Março de uma editora de livros de matemática, física e química.

Podemos representá-la por uma matriz:



[;\begin{bmatrix}20000 & 32000 & 45000 \\ 15000 & 18000 & 25000 \\ 16000 & 17000 & 23000\end{bmatrix};]

Acho que já basta de exemplos. vamos para a próxima.

2- Definição.
temos m e n dois segmentos inteiros tal que [;m\ge 1;] e [;n\ge 1;].
temos uma matriz m x n (lê-se m por n) como uma tabela retangular formada por m.n (m "vezes" n) números reais em m linhas e n colunas.


Com uma matriz m x n, dizemos que ela é do tipo m x n ou de ordem m x n.

Exemplo:
[;\begin{bmatrix}1 & 4\\ 3 & \sqrt[3]{2}\end{bmatrix};] é uma matriz do tipo/de ordem 2 x 2 (dois por dois). Nesse caso, m=2
e n=2.

Outro exemplo:
[;\begin{bmatrix}3 & 16\\ -7 & \frac{5}{7}\\ 5 & 543\end{bmatrix};] é uma matriz do tipo/de ordem 3 x 2 (três por dois): m=3 e n=2.

OBS.1: Quando m=1, a matriz é chamada de matriz linha. Ex: [;\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix};] (matriz linha de ordem/do tipo 1 x 3)
OBS.2: Quando n=1, a matriz é chamada de matriz coluna. Ex: [;\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix};] (matriz coluna de ordem/do tipo
3 x 1)

Quando tivermos uma matriz linha ou matriz coluna também podemos chamar de vetores. Embora não será/foi utilizada por vocês no ensino médio, é bem comum em Computação e Álgebra linear.

3- Representação

Os números que aparecem na matriz são chamados de termos ou elementos da matriz.
Temos por exemplo a seguinte matriz



[;\begin{bmatrix}4 & 5 & 8\\ 3 & \frac{\sqrt[4]{6}}{2} & 5\end{bmatrix};]

Podemos observar que:

1-É uma matriz de tipo\ordem 2 x3 (dois por três)
2-4 está na primeira linha e primeira coluna. Indica-se:[;a_{11};] (lê-se: a um um) = 4
3-5 está na primera linha e segunda coluna. Indica-se:[;a_{12};] (lê-se: a um dois) = 5
4-8 está na primeira linha e terceira coluna. Indica-se:[;a_{13};] (lê-se: a um três) = 8
5-3 está na segunda linha e primeira coluna. Indica-se:[;a_{21};] (lê-se: a dois um) = 3
6-[;\frac{\sqrt[4]{6}}{2};] está na segunda linha e segunda coluna. Indica-se:[;a_{22};] (lê-se: a dois dois) = [;\frac{\sqrt[4]{6}}{2};]
7-5 está na segunda linha e terceira coluna. Indica-se:[;a_{23};] (lê-se: a dois três) = 5


3.1 - Para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica a linha em que o elemento se encontra e o segundo a coluna em que ele se encontra.
Ex: [;a_{23};] é o elemento da segunda linha e da terceira coluna. Esse esquema parece com a representação de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas.

2--O elemento generico de uma matriz a é representado por [;a_{ij};] onde i representa a linha em que esse elemento está e j a coluna em que ele está. Chamamos de ij-ésimo elemento da matriz.

3-- Genericamente podemos escrever a matriz A do tipo m x n assim:

ou
[;\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix};]

De maneira mais abreviada do que as duas que mostrei. Podemos escrever a matriz A na forma:

[; A= (a_{ij}) ; 1\le i \le m ; 1\le j \le n;],
(lemos matriz A, dos elementos [;a_{ij};], do tipo m x n)

Ex: temos a matriz X
X=[;(a_{ij});], com [;1\le i\le 3;] e [;1\le j\le 3;], tal que[; \begin{cases} a_{ij} = 3 \forall i=j \\ a_{ij} = 1 \forall i \ne j \end{cases} ;]

Como:

[;1\le i\le 3;] e[;1\le j\le 3;] essa é uma matriz 3 x 3
tal que [; a_{11}=a_{22}=a_{33}=3 ;] e [;a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=1;]

Logo, a matriz fica assim:

[;\begin{bmatrix}3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix};]

Tentei ser o mais claro possível por enquanto. Semana que vem vem algo mais avançado, e menos vago que essas primeiras definições.
Por hoje, é só.

Clique para ler a aula 2 e a aula 3

3 comentários:

  1. Use o comando \quad ou \qquad para dar espaço entre o símbolos matemáticos ou entre palavras e símbolos. Ficou bom o post, parabéns!

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  2. Foi um dos meus colaboradores que fez o post. Realmente, muito bom. Terminei de editar agora.

    ResponderExcluir

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