segunda-feira, 28 de fevereiro de 2011

Números Complexos e a Unidade Imaginária–Parte 2


Como já dito anteriormente, um número complexo é qualquer número que contenha certa parte real e certa parte contendo a unidade imaginária. Agora, imaginemos um plano que associa cada número complexo a um ponto neste. Neste plano, o eixo dos “x” seria a parte real do número complexo, e o eixo dos “y” seria a parte imaginária. Ou seja, um ponto qualquer clip_image002clip_image004
seria a representação do número complexo clip_image006. Veja a imagem abaixo:
Agora, vemos que o seu módulo (ver edição anterior) é a distância entre a origem e o próprio ponto. Introduzindo agora um novo conceito, temos que o ângulo (medido no sentido anti-horário) entre o módulo do número complexo e o eixo das abscissas é o argumento desse número. Essa propriedade é incrivelmente importante para a álgebra dos números complexos, pois ela definirá a potência de números complexos, radiciação de números complexos, a forma polar de números complexos e até o número de raízes que qualquer número complexo pode ter. Essas primeiras propriedades estão todas abaixo.
Representação Geométrica do Complexo (coordenadas polares):
No plano complexo, o eixo dos x representa a parte real do número complexo. Já o eixo dos y representa a parte imaginária. Então, cada número complexo pode ser representado por um ponto clip_image008 aonde clip_image010 é o número complexo em questão. A distância entre a origem pode ser dada pelo teorema de Pitágoras:
clip_image012
Que é chamado o módulo de z. Com isso, podemos expressar o número complexo de acordo com o ângulo que seu módulo faz com o eixo dos x.
O seno de teta pode ser definido como clip_image014. Então, b = clip_image016Já o cosseno pode ser definido como clip_image018. Então, temos a=clip_image020. Substituindo no número complexo clip_image022 temos clip_image024
Potenciação e Radiciação de Números Complexos
Teorema 1: todo complexo clip_image010[1] pode ser escrito como
clip_image026
Demonstração: Podemos escrever a potência de e da seguinte maneira









clip_image028
Para clip_image030, temos
clip_image032
Por causa das propriedades da unidade imaginária:
clip_image034
clip_image036
clip_image038
clip_image040
clip_image042
clip_image044
clip_image046
Sendo clip_image048, sendo 4k o múltiplo de 4 mais próximo de clip_image050. Então, podemos propor que
clip_image052
Mas, notemos que:
clip_image054
clip_image056
clip_image058
E que:
clip_image060
clip_image062
clip_image064
Daí, a expressão vira:
clip_image066
clip_image068
Podemos substituir em (1) , para obter
clip_image026[1]
Fórmulas de De Moivre: As fórmulas de De Moivre são muito úteis para a potenciação de números complexos. A demonstração abaixo é simples, mas não é a que De Moivre provavelmente fez. Para ver uma demonstração mais provável para a época de De Moivre, clique AQUI e AQUI.
Demonstração: Pela nossa fórmula do corolário acima, a potência do número complexo é igual a:
clip_image072
Mas, como sabemos da propriedade da potência de clip_image074, temos :
clip_image076
clip_image078
Que é a primeira fórmula de De Moivre. A segunda pode ser obtida através da primeira: é só efetuarmos a substituição clip_image080. Com isso, temos
clip_image082
Reparem que eu não escrevi logo o que poderia se esperar, ou seja, que clip_image084. Primeiro, temos que resolver a seguinte equação trigonométrica:
clip_image086
Mas como clip_image088 e clip_image090, sendo clip_image092, temos
clip_image094
clip_image096
Obtendo a fórmula
clip_image098
Que é a segunda fórmula de De Moivre.
Corolário 2: O complexo z tem n raízes distintas.
Demonstração: A demonstração está em averiguar que k varia até n-1. Vamos fazer k = n+p, sendo p um número natural maior que zero. Então, a expressão da enésima raiz de z vira
clip_image100
Mas, como sabemos, clip_image102 e clip_image104, temos
clip_image106
Se p persistir maior que n, podemos reduzir de novo, p = n + q. Daí
clip_image108
Até termos q<n. Ou seja, k varia entre 0 e n-1, formando n possibilidades para a enésima raiz de z.
Corolário 2: As n raízes do número formam um polígono regular de n lados
Demonstração: Como todas as raízes têm o mesmo módulo, então podemos dizer que elas estão dispostas em um círculo. Para mostrar que elas formam um polígono regular, basta provarmos que o ângulo entre duas consecutivas é constante. Então, temos que o argumento de uma raiz clip_image110é clip_image112 e em uma raiz clip_image114 é clip_image116, qualquer que seja k. Então, a diferença entre os dois argumentos é
clip_image118
Como clip_image120 e n são constantes, vemos que o ângulo entre os dois módulos das raízes é sempre constante. Então, a corda que é delimitada por duas raízes consecutivas tem sempre a mesma medida de clip_image122, mostrando que, como os pontos estão sobre uma circunferência e a distância entre dois deles é constante, eles formam um polígono de ângulo interno clip_image124.

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Até mais!



















































2 comentários:

  1. Olá João, quero lhe convidara participar da UBM. Entre em meu blog e veja mais detalhes. Um abraço.

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  2. Gostei do teu blog!

    Sugestão: http://professorubiratandambrosio.blogspot.com/

    ...............

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