Critérios de multiplicidade de 3, 7, 9, 11, 13 e potências de 2 e 5

Olá gente! Hoje eu enunciarei e demonstrarei os mais populares critérios de multiplicidade.
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:

No sistema de numeração decimal, um número $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ representa:

$[;10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n;]$

Assim, $[;2012=2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2+ 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0;]$

Critério de multiplicidade de 3-

Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.

Demonstração: De fato, se $[;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]$

Usando aritmética modular verificamos rapidamente que $[;10^k \equiv 1 \pmod{3};]$ logo, $[;10^k = 3a +1;]$ Sendo $[;a;]$ um número natural.

Assim,
$[;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n =;]$ $[;(3a_1 + 1)x_1 +;]$ $[; (3a_2 + 1) x_2 + \cdots +;]$ $[;x_n;]$
$[;= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n;]$

Fica fácil perceber que:

$[;x_1 x_2x_3 \cdots x_n;]$ $[;=;]$ $[;3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_{n-1}x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]$ é multiplo de 3 se e somente se $[;x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]$ for um múltiplo de 3.

C.Q.D.

Exemplo:

1- Verifique que: $[;123456789;]$ é um multiplo de 3.

De fato $[;1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;]$ e $[;4+5=9;]$ logo, $[;123456789;]$ é de fato um múltiplo de 3.

Critério de multiplicidade de 9-

Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.

Demonstração:

De fato, se $[;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]$

Como $[;10^k;]$ deixa resto 1 quando dividido por $[;9;]$ , $[;10^k = 9a + 1;]$ sendo a e k números naturais, temos:

$[;x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n=;]$
$[;=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]$

que é divisivel por $[;9;]$ se e somente se $[;x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]$ for divisivel por 9.

C.Q.D.

Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?

$[;9x+45y=11223548896547;]$

Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se $[;mdc(9,45);]$ divide $[;11223548896547;]$ porém $[;mdc(9,45);]$ $[;=9;]$ e $[;1+1+2+2+3+5+4+8+8+9+6+5+4+7=65;]$ como $[;65;]$ não é um multiplo de 9, pelo critério de multiplicidade de 9, $[;11223548896547;]$ também não é.

Logo, a equação não possui solução.

Critério de multiplicidade de 5 -

Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.

Demonstração:

Usando o fato: $[;x_1x_2x_3\cdots x_n=10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n;]$ vamos fazer:

$[;10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n;]$

Como $[;10;]$ é múltiplo de 5, então $[;x_1 x_2\cdots x_n;]$ será múltiplo de 5 se e somente se $[;x_n;]$ for múltiplo de $[;5;]$ ou seja, $[;x=0;]$ ou $[;x=5;]$ .

De modo mais geral, um critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:

Enunciado: Um número é múltiplo de $[;5^k;]$ ,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é multiplo de 5 .

Demonstração: $[; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]$

$[;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]$

$[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]$

Se $[;10=5\cdot 2;]$ então $[;10^k=5^k \cdot 2^k;]$ assim,

$[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]$
é múltiplo de $[;5^k;]$ se e somente se $[; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;]$ for múltiplo de $[;5^k;]$ .

Repare que $[; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;]$ é o número formado pelos k últimos algarismos de $[;x_1x_2x_3\cdots x_n;]$

C.Q.D.

Daí segue os critérios de $[;25, 125, 625,\cdots;]$

Exemplo:

1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?

Para ser múltiplo de $[;25=5^2;]$ ele deve terminar em $[;00, 25, 50;]$ ou $[;75;]$ Assim, os números que procuramos são da forma XA sendo que X pode ser $[;1,2,3,4,5,6,7,8;]$ ou $[;9;]$ e A pode ser $[;00, 25, 50;]$ ou $[;75;]$ . Assim, X pode ser escolhido de 9 formas e A de 4 formas. Pelo principio multiplicativo (que é enunciado nessa postagem) há $[;36=9 \cdot 4;]$ números de 3 algarismos que são múltiplos de 25.

Critério de multiplicidade de potências de 2-

Enunciado: Um número é múltiplo de $[;2^k;]$ ,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é múltiplo de $[;2^k;]$ .

Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.

$[; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]$

$[;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]$

$[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]$

Se $[;10=5\cdot 2;]$ então $[;10^k=5^k \cdot 2^k;]$ assim,

$[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]$
é múltiplo de $[;2^k;]$ se e somente se $[; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;]$ for múltiplo de $[;2^k;]$ .

Repare que $[; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;]$ é o número formado pelos k últimos algarismos de $[;x_1x_2x_3\cdots x_n;]$ .

Daí segue os critérios de $[;2, 4, 8, 16, 32, \cdots;]$

Critério de multiplicidade de 7-

Enunciado: Um número $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ é múltiplo de $[;7;]$ se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7. Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 7.

Demonstração: Primeiro escrevemos $[;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]$

Se: $[;x_1x_2\cdots x_{n-1} - 2x_n= 7k;]$ (o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7)

Então: $[;x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n;]$

Assim, $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ $[;=10(7k+2x_n)+ x_n = 70k + 21x_n;]$ que é certamente um múltiplo de 7.

Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ seja um múltiplo de $[;7;]$ . Vamos supor por absurdo, que $[;x_1x_2\cdots x_{n-1}-2\cdot x_n=lk;]$ sendo $[;l;]$ e $[;k;]$ primos com $[;7;]$ . Clique aqui para ler mais sobre demonstrações por absurdo.

Se $[;x_1x_2\cdots x_{n-1}-2\cdot x_n=lk;]$ então $[;x_1x_2 \cdots x_{n-1}= lk + 2\cdot x_n;]$ . Assim,
$[;x_1x_2\cdots x_n = 10(lk + 2 \cdot x_n) +x_n = 10lk + 21x_n;]$ Absurdo, pois como $[;l;]$ e $[;k;]$ são primos com $[;7;]$ , então $[;10lk + 21x_n;]$ não será múltiplo de $[;7;]$ .

C.Q.D.

Critério de multiplicidade de 11-

Enunciado: Um número $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ é múltiplo de $[;11;]$ se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de $[;11;]$ .Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 11.

Demonstração: Primeiro escrevemos $[;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]$

Se: $[;x_1x_2\cdots x_{n-1} - x_n=11k;]$ (o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de $[;11;]$ )

Então: $[;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n;]$

Assim, $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ $[;=10(11k + x_n) + x_n= 110k+ 11x_n;]$ que é certamente um múltiplo de $[;11;]$ .

Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ seja um múltiplo de $[;11;]$ . Vamos supor por absurdo, que $[;x_1x_2\cdots x_{n-1} - x_n=lk;]$ sendo $[;l;]$ e $[;k;]$ primos com $[;11;]$ .

Se $[;x_1x_2\cdots x_{n-1} - x_n=lk;]$ então $[;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=lk+ x_n;]$ . Assim $[;x_1x_2\cdots x_n = 10\cdot (lk+ x_n) + x_n = 10lk + 11 x_n;]$ . Absurdo, pois como $[;l;]$ e $[;k;]$ são primos com $[;11;]$ , então $[;10lk + 11x_n;]$ não será múltiplo de $[;11;]$ .

C.Q.D.

Critério de multiplicidade de 13-

Enunciado: Um número $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ é múltiplo de $[;13;]$ se e somente se o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de $[;13;]$ .Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 13.

Demonstração: Primeiro escrevemos $[;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]$

Se: $[;x_1x_2\cdots x_{n-1} + 4\cdot x_n= 13k;]$ (o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de $[;13;]$ )

Então: $[;x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n;]$

Assim, $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ $[;=10(13k -4\cdot x_n) + x_n = 130 k -39 x_n;]$ que é certamente um múltiplo de $[;13;]$ .

Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ seja um múltiplo de $[;13;]$ . Vamos supor por absurdo, que $[;x_1x_2 \cdots x_{n-1} + 4 \cdot x_n = lk;]$ sendo $[;l;]$ e $[;k;]$ primos com $[;13;]$ .

Se $[;x_1x_2 \cdots x_{n-1} + 4 \cdot x_n = lk;]$ então $[;x_1x_2 \cdots x_{n-1} = lk - 4\cdot x_n;]$ . Assim,
$[;x_1x_2 \cdots x_n =;]$ $[;10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n;]$ $[;=;]$ $[; 10lk -39 x_n;]$ Absurdo, pois como $[;l;]$ e $[;k;]$ são primos com $[;13;]$ , então $[;10lk- 39x_n;]$ não será múltiplo de $[;13;]$ .

C.Q.D.

O.B.S.: Sabendo que $[;1001 =7 \cdot 11 \cdot 13;]$ podemos enunciar um critério de multiplicidade de 7, 11 e 13 que é o seguinte:

Um número $[;x_1 x_2 \cdots x_n;]$ é múltiplo de 7, 11 ou 13 se e somente se $[;x_1x_2\cdots x_{n-3} - x_{n-2}x_{n-1}x_n;]$ for respectivamente múltiplo de 7, 11 ou 13.

A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.

A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.

Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:

Se $[;N=x \cdot y;]$ sendo $[;mdc(x,y)=1;]$ então para verificar se $[;N;]$ divide $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ é só verificar se
x divide $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ E se $[;y;]$ divide $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ .

A demonstração é a seguinte:

Se x divide $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ então $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ $[;=ax;]$

Se $[;y;]$ divide $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ então $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ $[;=by;]$
logo, $[;ax=by;]$
como $[;mdc(x,y)=1;]$ temos que:

$[;a=y\cdot k;]$ e $[;b=x \cdot k;]$

Assim, $[;x_1x_2\cdots x_n;]$ $[;=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k;]$

C.Q.D.

Daí obtemos os critérios de multiplicidade de: $[;6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots;]$

Por hoje é só, espero que este post tenha sido útil. Se você gostou do blog, divulgue aos seus amigos e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações. Lembre-se também de avaliar a postagem logo abaixo, isso ajuda a termos noção do conteúdo que estamos produzindo. A equipe do blog convida você a comentar logo abaixo.

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Comentários

BRUNA7 de maio de 2013 às 17:01
Muito bom!
Adorei os critérios de divisibilidade, são muito úteis, e me ajudaram muito!!!!
Obrigada :D
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Respostas
Silvio Moura Velho23 de janeiro de 2015 às 11:57
Somente para quem não sofra de preguiça mental.
Para verificar rapidamente a divisibilidade por sete de N = a.bcd proceda da seguinte forma:
1 - Elimine cd,
2 - Calcule a diferença entre cd e o múltiplo de sete imediatamente superior,
3 - Adicione o resultado ao dígito "a" e subtraia do resultado o múltiplo de sete imediatamente inferior (se necessário) para obter a'.
4 - Se a'b for múltiplo de 7 então a.bcd também o é.
Exemplo: N = 1.561; 61 para 63 = 2, 2 + 1 = 3 → 35; 7|35 e 7|N
Para números maiores é necessário repetir o procedimento até ser alcançado o último par de dígitos à esquerda; se o último par for incompleto, considere a = 0.
Esse procedimento funciona para verificar a divisibilidade por 7, 11 e 13 de números de qualquer quantidade de classes.
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