quarta-feira, 15 de agosto de 2012

Critérios de multiplicidade de 3, 7, 9, 11, 13 e potências de 2 e 5

Olá gente! Hoje eu enunciarei e demonstrarei os mais populares critérios de multiplicidade.
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:

No sistema de numeração decimal, um número [;x_1x_2\cdots x_n;] representa:

[;10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n;]

Assim,[;2012=2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2+ 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0;]

Critério de multiplicidade de 3-

Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.

Demonstração: De fato, se[;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]

Usando aritmética modular verificamos rapidamente que [;10^k \equiv 1 \pmod{3};] logo, [;10^k = 3a +1;] Sendo [;a;] um número natural.

Assim,
[;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n =;][;(3a_1 + 1)x_1 +;][; (3a_2 + 1) x_2 + \cdots +;][;x_n;]
[;= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n;]

Fica fácil perceber que:

[;x_1 x_2x_3 \cdots x_n;][;=;][;3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_{n-1}x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;] é multiplo de 3 se e somente se [;x_1 + x_2 + \cdots + x_n;] for um múltiplo de 3.

C.Q.D.

Exemplo:

1- Verifique que: [;123456789;] é um multiplo de 3.

De fato [;1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;] e [;4+5=9;] logo, [;123456789;] é de fato um múltiplo de 3.

Critério de multiplicidade de 9-

Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.

Demonstração:

De fato, se[;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]

Como[;10^k;] deixa resto 1 quando dividido por [;9;], [;10^k = 9a + 1;] sendo a e k números naturais, temos:

[;x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n=;]
[;=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]

que é divisivel por [;9;] se e somente se [;x_1 + x_2 + \cdots + x_n;] for divisivel por 9.

C.Q.D.

Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?

[;9x+45y=11223548896547;]

Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se [;mdc(9,45);] divide [;11223548896547;] porém[;mdc(9,45);] [;=9;] e [;1+1+2+2+3+5+4+8+8+9+6+5+4+7=65;] como [;65;] não é um multiplo de 9, pelo critério de multiplicidade de 9, [;11223548896547;] também não é.

Logo, a equação não possui solução.

Critério de multiplicidade de 5 -

Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.

Demonstração:

Usando o fato: [;x_1x_2x_3\cdots x_n=10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n;] vamos fazer:

[;10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n;]

Como [;10;] é múltiplo de 5, então [;x_1 x_2\cdots x_n;] será múltiplo de 5 se e somente se [;x_n;] for múltiplo de [;5;] ou seja, [;x=0;] ou [;x=5;].

De modo mais geral, um critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:

Enunciado: Um número é múltiplo de [;5^k;],sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é multiplo de 5 .

Demonstração: [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]

[;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]

[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]

Se [;10=5\cdot 2;] então [;10^k=5^k \cdot 2^k;] assim,

[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]
é múltiplo de [;5^k;] se e somente se [; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;] for múltiplo de [;5^k;].

Repare que
[; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;] é o número formado pelos k últimos algarismos de [;x_1x_2x_3\cdots x_n;]


C.Q.D.


Daí segue os critérios de [;25, 125, 625,\cdots;]

Exemplo:

1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?

Para ser múltiplo de [;25=5^2;] ele deve terminar em [;00, 25, 50;] ou [;75;] Assim, os números que procuramos são da forma XA sendo que X pode ser [;1,2,3,4,5,6,7,8;] ou [;9;] e A pode ser [;00, 25, 50;] ou [;75;]. Assim, X pode ser escolhido de 9 formas e A de 4 formas. Pelo principio multiplicativo (que é enunciado nessa postagem)[;36=9 \cdot 4;] números de 3 algarismos que são múltiplos de 25.

Critério de multiplicidade de potências de 2-

Enunciado: Um número é múltiplo de [;2^k;] ,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é múltiplo de [;2^k;].

Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.

[; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]

[;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]

[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]

Se [;10=5\cdot 2;] então [;10^k=5^k \cdot 2^k;] assim,

[;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]
é múltiplo de [;2^k;] se e somente se [; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;] for múltiplo de [;2^k;].

Repare que
[; 10^{k-1}x_{n-k+1}+ 10^{k-2}x_{n-k+2}+\cdots x_n;] é o número formado pelos k últimos algarismos de [;x_1x_2x_3\cdots x_n;].

Daí segue os critérios de [;2, 4, 8, 16, 32, \cdots;]

Critério de multiplicidade de 7-

Enunciado: Um número [;x_1x_2\cdots x_n;] é múltiplo de [;7;] se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7. Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 7.

Demonstração: Primeiro escrevemos [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]

Se: [;x_1x_2\cdots x_{n-1} - 2x_n= 7k;] (o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7)

Então: [;x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n;]

Assim, [;x_1x_2\cdots x_n;] [;=10(7k+2x_n)+ x_n = 70k + 21x_n;] que é certamente um múltiplo de 7.

Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que [;x_1x_2\cdots x_n;] seja um múltiplo de [;7;]. Vamos supor por absurdo, que [;x_1x_2\cdots x_{n-1}-2\cdot x_n=lk;]sendo [;l;] e [;k;] primos com [;7;]. Clique aqui para ler mais sobre demonstrações por absurdo.

Se [;x_1x_2\cdots x_{n-1}-2\cdot x_n=lk;] então [;x_1x_2 \cdots x_{n-1}= lk + 2\cdot x_n;]. Assim,
[;x_1x_2\cdots x_n = 10(lk + 2 \cdot x_n) +x_n = 10lk + 21x_n;] Absurdo, pois como [;l;] e [;k;] são primos com [;7;], então [;10lk + 21x_n;] não será múltiplo de [;7;].

C.Q.D.

Critério de multiplicidade de 11-

Enunciado: Um número [;x_1x_2\cdots x_n;] é múltiplo de [;11;] se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de [;11;].Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 11.

Demonstração: Primeiro escrevemos [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]

Se: [;x_1x_2\cdots x_{n-1} - x_n=11k;] (o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de [;11;])

Então: [;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k  + x_n;]

Assim, [;x_1x_2\cdots x_n;] [;=10(11k + x_n) + x_n= 110k+ 11x_n;] que é certamente um múltiplo de [;11;].

Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que [;x_1x_2\cdots x_n;] seja um múltiplo de [;11;]. Vamos supor por absurdo, que [;x_1x_2\cdots x_{n-1} - x_n=lk;]sendo [;l;] e [;k;] primos com [;11;].

Se [;x_1x_2\cdots x_{n-1} - x_n=lk;] então [;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=lk+ x_n;]. Assim[;x_1x_2\cdots x_n = 10\cdot (lk+ x_n) + x_n = 10lk + 11 x_n;]. Absurdo, pois como [;l;] e [;k;] são primos com [;11;], então [;10lk + 11x_n;] não será múltiplo de [;11;].

C.Q.D.

Critério de multiplicidade de 13-

Enunciado: Um número [;x_1x_2\cdots x_n;] é múltiplo de [;13;] se e somente se o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de [;13;].Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 13.

Demonstração: Primeiro escrevemos [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]

Se:[;x_1x_2\cdots x_{n-1} + 4\cdot x_n= 13k;] (o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de [;13;])

Então: [;x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n;]

Assim, [;x_1x_2\cdots x_n;] [;=10(13k -4\cdot x_n) + x_n = 130 k -39 x_n;] que é certamente um múltiplo de [;13;].

Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que [;x_1x_2\cdots x_n;] seja um múltiplo de [;13;]. Vamos supor por absurdo, que [;x_1x_2 \cdots x_{n-1} + 4 \cdot x_n = lk;] sendo [;l;] e [;k;] primos com [;13;].

Se [;x_1x_2 \cdots x_{n-1} + 4 \cdot x_n = lk;] então [;x_1x_2 \cdots x_{n-1} = lk - 4\cdot x_n;]. Assim,
[;x_1x_2 \cdots x_n =;][;10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n;][;=;][; 10lk -39 x_n;] Absurdo, pois como [;l;] e [;k;] são primos com [;13;], então [;10lk- 39x_n;] não será múltiplo de [;13;].

C.Q.D.

O.B.S.: Sabendo que [;1001 =7 \cdot 11 \cdot 13;] podemos enunciar um critério de multiplicidade de 7, 11 e 13 que é o seguinte:

Um número [;x_1 x_2 \cdots x_n;] é múltiplo de 7, 11 ou 13 se e somente s
e[;x_1x_2\cdots x_{n-3} - x_{n-2}x_{n-1}x_n;] for respectivamente múltiplo de 7, 11 ou 13.

A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.

A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.


Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:

Se [;N=x \cdot y;] sendo [;mdc(x,y)=1;] então para verificar se [;N;] divide [;x_1x_2\cdots x_n;] é só verificar se
x divide
[;x_1x_2\cdots x_n;] E se [;y;] divide[;x_1x_2\cdots x_n;].

A demonstração é a seguinte:

Se x divide [;x_1x_2\cdots x_n;] então [;x_1x_2\cdots x_n;][;=ax;]

Se [;y;] divide
[;x_1x_2\cdots x_n;] então [;x_1x_2\cdots x_n;][;=by;]
logo, [;ax=by;]
como [;mdc(x,y)=1;] temos que:

[;a=y\cdot k;] e [;b=x \cdot k;]

Assim,
[;x_1x_2\cdots x_n;][;=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k;]

C.Q.D.

Daí obtemos os critérios de multiplicidade de: [;6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots;]

Por hoje é só, espero que este post tenha sido útil. Se você gostou do blog, divulgue aos seus amigos e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações. Lembre-se também de avaliar a postagem logo abaixo, isso ajuda a termos noção do conteúdo que estamos produzindo. A equipe do blog convida você a comentar logo abaixo.

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3 comentários:

  1. Muito bom!
    Adorei os critérios de divisibilidade, são muito úteis, e me ajudaram muito!!!!
    Obrigada :D

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Ótimo! Sinal de que estamos alcançando nossos objetivos... Obrigado pelo comentário.

      Até mais!

      Eduardo.

      Excluir
  2. Somente para quem não sofra de preguiça mental.
    Para verificar rapidamente a divisibilidade por sete de N = a.bcd proceda da seguinte forma:
    1 - Elimine cd,
    2 - Calcule a diferença entre cd e o múltiplo de sete imediatamente superior,
    3 - Adicione o resultado ao dígito "a" e subtraia do resultado o múltiplo de sete imediatamente inferior (se necessário) para obter a'.
    4 - Se a'b for múltiplo de 7 então a.bcd também o é.
    Exemplo: N = 1.561; 61 para 63 = 2, 2 + 1 = 3 → 35; 7|35 e 7|N
    Para números maiores é necessário repetir o procedimento até ser alcançado o último par de dígitos à esquerda; se o último par for incompleto, considere a = 0.
    Esse procedimento funciona para verificar a divisibilidade por 7, 11 e 13 de números de qualquer quantidade de classes.

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