Olá gente! Hoje eu enunciarei e demonstrarei os mais populares critérios de multiplicidade.
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:
No sistema de numeração decimal, um número
representa:
![10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n [;10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n;]](http://thewe.net/tex/10%5E%7Bn-1%7Dx_1+10%5E%7Bn-2%7Dx_2%20%5Ccdots%20+%2010%5E1x_%7Bn-1%7D%20+%2010%5E0x_n)
Assim,![2012=2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2+ 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0 [;2012=2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2+ 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0;]](http://thewe.net/tex/2012=2%20%5Ccdot%2010%5E3%20+%200%20%5Ccdot%2010%5E2+%201%5Ccdot%2010%5E1%20+%202%5Ccdot%2010%5E0)
Critério de multiplicidade de 3-
Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.
Demonstração: De fato, se![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=%2010%5E%7Bn-1%7Dx_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
Usando aritmética modular verificamos rapidamente que
logo,
Sendo
um número natural.
Assim,
![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n = [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n =;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=%2010%5E%7Bn-1%7Dx_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n%20=)
![(3a_1 + 1)x_1 + [;(3a_1 + 1)x_1 +;]](http://thewe.net/tex/%283a_1%20+%201%29x_1%20+)
![(3a_2 + 1) x_2 + \cdots + [; (3a_2 + 1) x_2 + \cdots +;]](http://thewe.net/tex/%20%283a_2%20+%201%29%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+)
![x_n [;x_n;]](http://thewe.net/tex/x_n)
![= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n [;= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/=%203a_1%20x_1%20+%20x_1%20+%203a_2%20x_2%20+%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n%20=%203%28a_1x_1%20+%20a_2x_2%20+%20%5Ccdots%20a_%7Bn-1%7Dx_%7Bn-1%7D%20%29%20+%20x_1%20+%20x_2%20+%5Ccdots%20+%20x_n)
Fica fácil perceber que:
![x_1 x_2x_3 \cdots x_n [;x_1 x_2x_3 \cdots x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1%20x_2x_3%20%5Ccdots%20x_n)
![= [;=;]](http://thewe.net/tex/=)
é multiplo de 3 se e somente se
for um múltiplo de 3.
C.Q.D.
Exemplo:
1- Verifique que:
é um multiplo de 3.
De fato
e
logo,
é de fato um múltiplo de 3.
Critério de multiplicidade de 9-
Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.
Demonstração:
De fato, se![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
Como
deixa resto 1 quando dividido por
,
sendo a e k números naturais, temos:
![x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n= [;x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n=;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n=%20%289a_1%20+1%29%5Ccdot%20x_1%20+%20%289a_2%20+%201%29%5Ccdot%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n=)
![=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n [;=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/=9%5Ccdot%20a_1%5Ccdot%20x_1%20+%20x_1%20+%209%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20x_2%20+%20x_2%20+%20x_n%20=%209%5Ccdot%20%28a_1%5Ccdot%20x_1%20+%20a_2%5Ccdot%20x_2%20+%20a_%7Bn-1%7D%5Ccdot%20x_%7Bn-1%7D%29%20+%20x_1%20+%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
que é divisivel por
se e somente se
for divisivel por 9.
C.Q.D.
Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?
![9x+45y=11223548896547 [;9x+45y=11223548896547;]](http://thewe.net/tex/9x+45y=11223548896547)
Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se
divide
porém
e
como
não é um multiplo de 9, pelo critério de multiplicidade de 9,
também não é.
Logo, a equação não possui solução.
Critério de multiplicidade de 5 -
Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.
Demonstração:
Usando o fato:
vamos fazer:
![10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n [;10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n;]](http://thewe.net/tex/10%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7D%20%5Ccdot%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n=%2010%2810%5E%7Bn-2%7D%5E%5Ccdot%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-3%7D%20%5Ccdot%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_%7Bn-1%7D%29%20+%20x_n)
Como
é múltiplo de 5, então
será múltiplo de 5 se e somente se
for múltiplo de
ou seja,
ou
.
De modo mais geral, um critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:
Enunciado: Um número é múltiplo de
,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é multiplo de 5 .
Demonstração:![x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/%20x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
![x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n [;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_n%20=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%2010%5Ek%20x_%7Bn-k%7D%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](http://thewe.net/tex/%2810%5E%7Bn-k-1%7Dx_1%20+%2010%5E%7Bn-k-2%7Dx_2+%20%5Ccdots%20+%20x_%7Bn-k%7D%29%5Ccdot%2010%5E%7Bk%7D%20+%2010%5E%7Bk-1%7Dx_%7Bn-k+1%7D%20+%2010%5E%7Bk-2%7Dx_%7Bn-k+2%7D%20+%20%5Ccdots%20+x_n)
Se
então
assim,
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](http://thewe.net/tex/%2810%5E%7Bn-k-1%7Dx_1%20+%2010%5E%7Bn-k-2%7Dx_2+%20%5Ccdots%20+%20x_%7Bn-k%7D%29%5Ccdot%20%285%5Ek%5Ccdot%202%5Ek%29%20+%2010%5E%7Bk-1%7Dx_%7Bn-k+1%7D%20+%2010%5E%7Bk-2%7Dx_%7Bn-k+2%7D%20+%20%5Ccdots%20+x_n)
é múltiplo de
se e somente se
for múltiplo de
.
Repare que
é o número formado pelos k últimos algarismos de ![x_1x_2x_3\cdots x_n [;x_1x_2x_3\cdots x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2x_3%5Ccdots%20x_n)
C.Q.D.
Daí segue os critérios de![25, 125, 625,\cdots [;25, 125, 625,\cdots;]](http://thewe.net/tex/25,%20125,%20625,%5Ccdots)
Exemplo:
1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?
Para ser múltiplo de
ele deve terminar em
ou
Assim, os números que procuramos são da forma XA sendo que X pode ser
ou
e A pode ser
ou
. Assim, X pode ser escolhido de 9 formas e A de 4 formas. Pelo principio multiplicativo (que é enunciado nessa postagem) há
números de 3 algarismos que são múltiplos de 25.
Critério de multiplicidade de potências de 2-
Enunciado: Um número é múltiplo de
,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é múltiplo de
.
Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.
![x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/%20x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
![x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n [;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_n%20=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%2010%5Ek%20x_%7Bn-k%7D%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](http://thewe.net/tex/%2810%5E%7Bn-k-1%7Dx_1%20+%2010%5E%7Bn-k-2%7Dx_2+%20%5Ccdots%20+%20x_%7Bn-k%7D%29%5Ccdot%2010%5E%7Bk%7D%20+%2010%5E%7Bk-1%7Dx_%7Bn-k+1%7D%20+%2010%5E%7Bk-2%7Dx_%7Bn-k+2%7D%20+%20%5Ccdots%20+x_n)
Se
então
assim,
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](http://thewe.net/tex/%2810%5E%7Bn-k-1%7Dx_1%20+%2010%5E%7Bn-k-2%7Dx_2+%20%5Ccdots%20+%20x_%7Bn-k%7D%29%5Ccdot%20%285%5Ek%5Ccdot%202%5Ek%29%20+%2010%5E%7Bk-1%7Dx_%7Bn-k+1%7D%20+%2010%5E%7Bk-2%7Dx_%7Bn-k+2%7D%20+%20%5Ccdots%20+x_n)
é múltiplo de
se e somente se
for múltiplo de
.
Repare que
é o número formado pelos k últimos algarismos de
.
Daí segue os critérios de![2, 4, 8, 16, 32, \cdots [;2, 4, 8, 16, 32, \cdots;]](http://thewe.net/tex/2,%204,%208,%2016,%2032,%20%5Ccdots)
Critério de multiplicidade de 7-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7. Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 7.
Demonstração: Primeiro escrevemos![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=%2010%28x_1x_2%5Ccdots%20x_%7Bn-1%7D%29%20+%20x_n)
Se:
(o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7)
Então:![x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n [;x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_%7Bn-1%7D=7k+2x_n)
Assim,
que é certamente um múltiplo de 7.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
. Clique aqui para ler mais sobre demonstrações por absurdo.
Se
então
. Assim,
Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 11-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de
.Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 11.
Demonstração: Primeiro escrevemos![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=%2010%28x_1x_2%5Ccdots%20x_%7Bn-1%7D%29%20+%20x_n)
Se:
(o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de
)
Então:![x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n [;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_%7Bn-1%7D=11k%20%20+%20x_n)
Assim,
que é certamente um múltiplo de
.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
.
Se
então
. Assim
. Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 13-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de
.Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 13.
Demonstração: Primeiro escrevemos![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=%2010%28x_1x_2%5Ccdots%20x_%7Bn-1%7D%29%20+%20x_n)
Se:
(o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de
)
Então:![x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n [;x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_%7Bn-1%7D%20=%2013k%20-%204%5Ccdot%20x_n)
Assim,
que é certamente um múltiplo de
.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
.
Se
então
. Assim,
![x_1x_2 \cdots x_n = [;x_1x_2 \cdots x_n =;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%20%5Ccdots%20x_n%20=)
![10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n [;10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n;]](http://thewe.net/tex/10%5Ccdot%20%28lk%20-%204%5Ccdot%20x_n%29%20+%20x_n)
![= [;=;]](http://thewe.net/tex/=)
Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
O.B.S.: Sabendo que
podemos enunciar um critério de multiplicidade de 7, 11 e 13 que é o seguinte:
Um número
é múltiplo de 7, 11 ou 13 se e somente se
for respectivamente múltiplo de 7, 11 ou 13.
A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.
A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.
Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:
Se
sendo
então para verificar se
divide
é só verificar se
x divide
E se
divide
.
A demonstração é a seguinte:
Se x divide
então ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_n)
![=ax [;=ax;]](http://thewe.net/tex/=ax)
Se
divide
então ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_n)
![=by [;=by;]](http://thewe.net/tex/=by)
logo,![ax=by [;ax=by;]](http://thewe.net/tex/ax=by)
como
temos que:
e ![b=x \cdot k [;b=x \cdot k;]](http://thewe.net/tex/b=x%20%5Ccdot%20k)
Assim,![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](http://thewe.net/tex/x_1x_2%5Ccdots%20x_n)
![=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k [;=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k;]](http://thewe.net/tex/=ax=%20y%5Ccdot%20x%20%5Ccdot%20k=%20N%20%5Ccdot%20k)
C.Q.D.
Daí obtemos os critérios de multiplicidade de:![6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots [;6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots;]](http://thewe.net/tex/6,%2012,%2014,%2015,%2018,%2021%20%5Ccdots)
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Até mais!
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:
No sistema de numeração decimal, um número
Assim,
Critério de multiplicidade de 3-
Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.
Demonstração: De fato, se
Usando aritmética modular verificamos rapidamente que
Assim,
Fica fácil perceber que:
C.Q.D.
Exemplo:
1- Verifique que:
De fato
Critério de multiplicidade de 9-
Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.
Demonstração:
De fato, se
Como
que é divisivel por
C.Q.D.
Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?
Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se
Logo, a equação não possui solução.
Critério de multiplicidade de 5 -
Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.
Demonstração:
Usando o fato:
Como
De modo mais geral, um critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:
Enunciado: Um número é múltiplo de
Demonstração:
Se
é múltiplo de
Repare que
C.Q.D.
Daí segue os critérios de
Exemplo:
1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?
Para ser múltiplo de
Critério de multiplicidade de potências de 2-
Enunciado: Um número é múltiplo de
Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.
Se
é múltiplo de
Repare que
Daí segue os critérios de
Critério de multiplicidade de 7-
Enunciado: Um número
Demonstração: Primeiro escrevemos
Se:
Então:
Assim,
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
Se
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 11-
Enunciado: Um número
Demonstração: Primeiro escrevemos
Se:
Então:
Assim,
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
Se
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 13-
Enunciado: Um número
Demonstração: Primeiro escrevemos
Se:
Então:
Assim,
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
Se
C.Q.D.
O.B.S.: Sabendo que
Um número
A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.
A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.
Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:
Se
x divide
A demonstração é a seguinte:
Se x divide
Se
logo,
como
Assim,
C.Q.D.
Daí obtemos os critérios de multiplicidade de:
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Muito bom!
ResponderExcluirAdorei os critérios de divisibilidade, são muito úteis, e me ajudaram muito!!!!
Obrigada :D
Ótimo! Sinal de que estamos alcançando nossos objetivos... Obrigado pelo comentário.
ExcluirAté mais!
Eduardo.
Somente para quem não sofra de preguiça mental.
ResponderExcluirPara verificar rapidamente a divisibilidade por sete de N = a.bcd proceda da seguinte forma:
1 - Elimine cd,
2 - Calcule a diferença entre cd e o múltiplo de sete imediatamente superior,
3 - Adicione o resultado ao dígito "a" e subtraia do resultado o múltiplo de sete imediatamente inferior (se necessário) para obter a'.
4 - Se a'b for múltiplo de 7 então a.bcd também o é.
Exemplo: N = 1.561; 61 para 63 = 2, 2 + 1 = 3 → 35; 7|35 e 7|N
Para números maiores é necessário repetir o procedimento até ser alcançado o último par de dígitos à esquerda; se o último par for incompleto, considere a = 0.
Esse procedimento funciona para verificar a divisibilidade por 7, 11 e 13 de números de qualquer quantidade de classes.