domingo, 5 de agosto de 2012

Geometria com Contas – Parte I

Trazemos hoje uma miscelânea de assuntos sobre geometria com contas. Vamos falar sobre alguns dos principais tópicos neste post, e mais tópicos interessantes no próximo post. Começamos por algumas definições que já devem ser inerentes à maioria dos que visitam o blog hoje, mas, a quem não está lembrado ou não conhece muito bem, vale a pena lembrar. Evoluímos gradativamente o nível de dificuldade dos assuntos, até terminar com um teorema bem conhecido e utilíssimo sobre cevianas (O próximo teorema sobre cevianas, o de Ceva, será abordado nos próximos posts da série).

Definição 1: Dizemos por seno (sen) a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo que contém este ângulo. O cosseno (cos) é a razão entre o cateto adjacente e a mesma hipotenusa, e a tangente (tg) é a razão entre o cateto oposto e o adjacente (também pode ser vista como a razão entre o seno e o cosseno).

Definição 2: Definimos as funções cossecante, secante e cotangente (cossec, sec e cotg, respectivamente) como

clip_image002

clip_image004

clip_image006

Teorema fundamental da trigonometria: para qualquer x real,

clip_image008

Alternativamente,

clip_image010

clip_image012

Demonstração: Em qualquer triângulo retângulo, seus lados podem ser escritos como

clip_image014

Logo, aplicando Pitágoras,

clip_image016

Dividindo esta relação por cos² x e sen ² x, obtemos, respectivamente, a primeira e a segunda relações.

Fórmula de adição e subtração de arcos:

clip_image018

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

Fórmulas do arco duplo:

clip_image030

clip_image032

clip_image034

Fórmulas do arco metade:

clip_image036

clip_image038

clip_image040

Demonstração: Seja z=cis a e w=cis b. Então, pela multiplicação de complexos, zw = cis (a+b). Mas, utilizando a multiplicação no sentido manual,

clip_image042

Pela identidade das partes reais e imaginárias, devemos ter

clip_image044

Além disso, para definir a tangente de (a+b), temos de fazer a razão entre seno e cosseno:

clip_image046

Dividindo o numerador e o denominador por cosacosb,

clip_image048

Para obter as fórmulas (a – b), só temos que saber que cos (-b) = cos b , sem (-b) = - sen b e tg (-b) = - tg b e efetuar as transformações necessárias. Para obter as fórmulas do arco duplo, efetuar a=b basta (em particular, nas duas últimas fórmulas para o cosseno do arco duplo, apenas efetue que sen² a = 1 – cos²a). Para efetuar as fórmulas do arco metade, utilizamos a fórmula do cosseno do arco duplo (com ajuda de radicais), e a tangente do arco duplo é facilmente obtenível a partir da razão entre seno e cosseno. ■

Transformação da soma em produto (Fórmulas de Prostaférese):

clip_image050

clip_image052

clip_image054

clip_image056

clip_image058

clip_image060

clip_image062

Demonstração: As duas primeiras são obtidas somando fórmulas das somas e diferenças dos arcos, chamando a=x+y, b=x – y e achando que x= (a+b)/2, y =(a – b)/2. A terceira é só uma aplicação de que sen (90 – a) = cos a, e as 3 ultimas são apenas somas (e diferenças, não importa) de fórmulas de adição e/ou subtração de arcos. ■

Lei dos Senos: Em um triângulo ABC de lados a,b,c e ângulos respectivos α,β,γ, e de circunferência circunscrita de raio R, então

clip_image064

Lei dos Cossenos: Em um triângulo ABC, onde o ângulo clip_image066, o lado oposto a α é a e os outros lados são b,c, então temos que

clip_image068

Lei das Tangentes: Em um triângulo ABC de lados a,b,c e ângulos respectivos α,β,γ, vale que

clip_image070

E vale o análogo pros outros lados/ângulos.

Demonstração da LdT: Da lei dos senos,

clip_image072

Utilizando Prostaférese,

clip_image074

clip_image070[1]

                                                                                                             ■

Transformação Útil para resolver problemas: Quando as medidas do triângulo não forem especificadas, apenas utilize que R=1/2. Isso fará com que os lados sejam equivalentes aos senos de seus ângulos.

Proposições baseadas na transformação:

O triângulo tem perímetro

clip_image076

Tem área

clip_image078

E o raio da circunferência inscrita é igual a

clip_image080

Demonstração: Temos que

clip_image082

clip_image084

clip_image086

clip_image088

clip_image090

clip_image092

clip_image094

clip_image076[1]

A segunda proposição vem de que, em um triângulo qualquer de lados a,b e ângulo entre os lados α tem área

clip_image096

E daí sai diretamente.

Para a ultima proposição, precisaremos do seguinte lema:

Lema:

clip_image098

Onde p é o semiperímetro do triângulo e r, o inraio

Demonstração: Só temos de particionar o triângulo em três menores, cujas alturas são r (isso é fácil de fazer, apenas ligue o incentro a cada um dos vértices). Assim, ao calcular a área teremos

clip_image100

Assim,

clip_image102

clip_image080[1]

Que termina as proposições. ■

Teorema de Stewart: Seja um triângulo, como na figura:

clip_image103

Então devemos ter

clip_image105

Demonstração: Se o ângulo entre d e m for, chamemos, θ, utilizando lei dos cossenos no triângulo de lados d,m e c:

clip_image107

Fazendo o mesmo no triângulo ao lado,

clip_image109

Vamos fazer uma combinação linear da primeira e a segunda equação:

clip_image111

clip_image113

Somando,

clip_image115

clip_image117

Como queríamos. ■

Teorema de Stewart Aplicado às Medianas: Em um triângulo, a medida de sua mediana relativa ao lado a é

clip_image119

Demonstração: É evidente ao chamarmos n=m=a/2. ■

Observação: Não demonstramos, por abreviação, a lei dos senos ou cossenos. Deixamos isto como uma tarefa não muito difícil ao leitor curioso. Tente!

Espero que tenham gostado do post. Fiquem ligados no blog sobre mais artigos úteis de matemática.

Avalie o post aqui embaixo! É rapidinho, demora no máximo três segundos.

Lembre-se: todos podem comentar e deixar sua opinião ou crítica no post, desde que esta seja bem-educada.

Fontes:

SHINE, C.Y. – Geometria com contas (como acessado em http://cyshine.webs.com/Geoconta.pdf)

CARMO, M.P. do, MORGADO, A.C., WAGNER, E. Trigonometria e Números Complexos. SBM, Brasil, 1992.

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Você pode comentar! A equipe do blog encoraja todos a comentar.

Porém, lembre-se que comentários que desrespeitem as regras abaixo serão excluídos:

-É proibido ofender qualquer pessoa ou grupo em seu comentário.
-Os comentários deverão ser minimamente relacionados com o tópico. Lembrem-se, estamos falando de um blog de matemática!
-Proibido flood.
-Proibido palavras de baixo calão.
-Proibido colocar qualquer tipo de conteúdo improprio para menores de 18 anos (há menores de idade que acessam o blog).

A equipe do blog agradece seu comentário, e tenha certeza que será muito enriquecedor. Tentaremos respondê-los o quanto antes possível.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...