quarta-feira, 22 de agosto de 2012

Problema 2 da IMO 2012

Hoje vamos resolver o segundo problema da IMO. Porém, antes iremos demonstrar um importante teorema para resolvê-lo. Este teorema geralmente é conhecido como o teorema da desigualdade entre as médias.

Desigualdade Entre as Médias Geométrica e Aritmética: Sejam a1, a2, ..., an reais positivos dados. Então, se

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É sua média aritmética e

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É sua média geométrica, então

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Demonstração: Façamos por indução em n potência de 2. Depois demonstraremos o caso geral.

Para n=2, então

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Que é verdadeiro.

Agora, suponhamos que seja válido para n. Provemos que é válido para 2n. Pela hipótese de validade para n, então, se dividirmos os números de 1 a 2n em 1 a n e n+1 e 2n, então

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Ou seja, é válido para toda potência de 2. Agora, seja k uma potência de 2 e n um natural menor que k. Então, sendo a a média geométrica de a1, ..., an. Então,

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Onde a é inserido k-n vezes, como um complemento de espaço. Mas

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Logo,

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Portanto,

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Que completa o caso geral de n. ■

O Problema 2 da IMO 2012: Sejam a2,a3,... , an reais positivos com produto 1. Prove que

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Resolução: Tudo que vamos utilizar neste problema é a desigualdade já estudada, além de um pouco de raciocínio. Aplicaremos MA-MG (Abreviação usual pra desigualdade entre as médias) nas parcelas separadamente:

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E assim podemos proceder indutivamente:

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Reparemos que, ao final, ao multiplicarmos as parcelas, todos os denominadores “cortarão” com numeradores, e, como o produto dos números é 1, então

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Mas e a igualdade? Sabemos que só ocorre igualdade se

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Mas, quando isto ocorre, o produto dos ai não vira 1. Logo, não há igualdade, o que prova a desigualdade do enunciado. ■

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2 comentários:

  1. Longe de mim querer cobrar algo de vocês, até porque isso é um blog e vocês postam o que e como quiserem os conteúdos. Só queria deixar opinado que achei o texto bom, explica de forma adequada. Mas não é voltado a "iniciantes" se assim posso dizer. Deve-se ter até moderado conhecimento matemático para entender a explicação. Mas não sei o alvo que vocês buscam ou pensam que estarão visitando o blog, mas se for para o público em geral sugiro que encontre uma forma até mais didática para explicar. Apenas uma dica.

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    Respostas
    1. Olá!

      Primeiramente, agradecemos pelo seu comentário. Ajuda-nos muito.

      Em segundo lugar, nosso objetivo principal não é atingir o público geral para pura e simplesmente popularizar a matemática. Embora todos saibamos que propagar o conhecimento é importante, e propagar de forma adequada é essencial, esse é um blog voltado mais para postagens sem vínculo direto entre si. Nosso blog, sim, busca ajudar o já de alguma forma interessado em matemática em aprender mais ainda, e gostamos de compartilhar informação que achamos legal com o mundo.

      Esse post não era voltado para divulgar uma teoria, como a desigualdade entre as médias, pois, para isto, precisaríamos percorrer muita teoria da matemática elementar antes, como a ideia de indução e fazer detalhes que deixariam a postagem menos dinâmica.

      Entretanto, concordamos que os detalhes foram omitidos em quase que sua totalidade na demonstração, o que pode deixar o "iniciante" confuso e perdido. Pedimos desculpas por isso, e veremos o que podemos fazer para estimular os detalhes a serem pensados, e não confundir o leitor.

      Atenciosamente,

      A equipe.

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