Seção de Problemas – Edição Especial

Peço desculpas a todos pela falta da seção de problemas. Para compensar o mês sem seção de problemas, hoje apresentarei uma versão estendida da seção de problemas: Será constituída de, ao todo, 20 problemas propostos, 5 de cada área de aplicação na IMO: Combinatória, Álgebra, Teoria dos Números e Geometria. Pelo número de problemas, resolverei apenas 3 dos problemas propostos anteriormente, e hoje teremos uma novidade: ao final, teremos dicas dos problemas, para quem tentou muito e não conseguiu finalizar o problema.

Teoria dos Números

1 – Mostre que, para todo n inteiro não negativo, vale que

2 – Mostre que

3 – Sejam a,b primos com p tais que p|a – b. Prove que

4 – (China-2003) Ache todas as triplas (d,m,n) de inteiros positivos tais que

5 – (IMO–1984) Ache pelo menos um par de inteiros (a,b) tal que ab(a+b) não seja múltiplo de 7, e (a+b)⁷ – a⁷ – b⁷ seja múltiplo de 7⁷.

Álgebra

6 – Mostre que, dada uma sequência a, a+d,a+2d, a+3d, etc., com a,d inteiros positivos, se há um quadrado perfeito na sequência, então existem infinitos quadrados perfeitos na sequência.

7 – Mostre que, para todo x real,

Quando ocorre igualdade?

8 – (OMERJ – 2005) Encontre todas as funções dos reais nos reais tais que

Para todos x,y reais.

9 – (IMO Shorotlist) Prove que, se a,b,c > 0 com abc=1, então

10 – Prove que, se a,b,c > 0 e abc = 1, então

Geometria

11 – Sejam H e O o ortocentro e o circuncentro do triângulo ABC, respectivamente. Mostre que a distância do ortocentro a um vértice é igual a duas vezes a distância do circuncentro ao lado oposto ao vértice.

12 – (OCSF) ABCD é um paralelogramo, H é o ortocentro de ABC e O é o cicuncentro de ACD. Prove que H, O e D são colineares.

13 – (“Milagre de Morley”) Na figura abaixo, as cevianas que saem dos vértices dividem os ângulos em três ângulos iguais. Prove que DEF é um triângulo equilátero.

14 – Sejam H,O o ortocentro e circuncentro do triângulo ABC. AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A,B e C. Suponha que OH é paralelo a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em P.A.

15 – Seja H o ortocentro de um triângulo ABC tal que AC é diferente de BC. O segmento que une os pontos médios de HC e AB intercepta a bissetriz do ângulo ACB no ponto N. Sabendo que o circuncentro do triângulo ABC pertence à reta que liga os pontos H e N, determine a medida do ângulo ACB.

Combinatória

16 – Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados. Cada costura une dois lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol?

17 – (OBM) Temos um tabuleiro quadrado 10 por 10. Desejamos colocar n peças em casas do tabuleiro de tal forma que não existam 4 peças formando um retângulo de lados paralelos aos lados dos tabuleiro. Determine o maior valor de n para qual esta construção é possível.

18 – (OBM) Determine todos os valores de n tais que é possível dividir um triângulo em n triângulos de modo que não haja três vértices alinhados e em cada vértice incida o mesmo número de segmentos.

19 – (OBM – 2007) Em um país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas (todas de mão dupla), sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o menor valor de n para que, independentemente de como as cidades sejam construídas, seja possível viajar entre quaisquer duas cidades? (passando, possivelmente, por estradas intermediárias)

20 – (OBM – 2011) Um álbum, composto por 2011 figurinhas, está sendo colecionado por 33 amigos. Uma distribuição de figurinhas entre os 33 amigos é incompleta quando existe pelo menos uma figurinha que nenhum dos 33 amigos tem. Determinar o menor valor de m com a seguinte propriedade: toda distribuição de figurinhas tal que, para quaisquer dois amigos faltam, para ambos, pelo menos m figurinhas em comum, é incompleta.

Dicas e Fatos Úteis

1 – Utilize congruência módulo 13

2 – Utilize o teorema de Fermat aliado a congruências módulo p.

3 – Reduza o problema módulo p e expanda (aⁿ – bⁿ)

4 – Ache uma redução para o valor de d e do divisor. Após isso, ache todas as potências triviais (expoente 1) que satisfaçam o problema. Após, teste os (poucos) casos de potências não triviais e parametrize um dos valores (descubra qual!).

5 – Expanda (a+b)⁷ – a⁷ – b⁷ . Feito isso, elimine tudo que não é divisível por 7, chegue numa expressão e fatore-a.

6 – “Abra” um quadrado perfeito da forma (a+b)² e adapte ao problema.

7 – “Abra” os termos de uma maneira que lhe favoreça, efetuando x² +3x = y.

8 – Substitua y por zero. Feito isso, prove que f (0) não pode ser 0. Após, chegue a uma família de funções, e a substitua na fórmula para achar a única função que satisfaz o enunciado.

9 – Utilize a desigualdade do rearranjo no denominador das frações. Alternativamente, você também pode botar em um denominador comum e “abrir” a expressão, utilizando desigualdades elementares na expressão resultante.

10 – “Abra” os denominadores depois de colocar as frações em um denominador, e então chegue numa desigualdade mais sutil que a original. Nessa desigualdade, você geralmente pode resolvê-la de duas maneiras: analise os 3 casos possíveis para a,b,c (leva algum tempo nos casos em que nenhum é igual a 1), ou utilize MA-MG de uma forma inteligente.

11 – Mostre que o simétrico do ortocentro em relação ao ponto médio do lado sempre está sobre a circunferência circunscrita. Feito isso, utilize semelhança nos triângulos que contém O,A,H,M,H’, onde A é o vértice, M é o ponto médio e H’ é o simétrico do ortocentro.

12 – Mostre que o quadrilátero AHCD é inscritível de ângulos opostos iguais a 90 graus, e adapte isso para provar que O é o centro da circunferência que os contém.

13 – Este problema pode ser resolvido de inúmeras maneiras. Preferencialmente, podemos utilizar trigonometria nos segmentos internos do triângulo, ou ainda fazer a construção inversa (isto é, provar que, dados 6 triângulos com ângulos definidos (não serão ditos quais, descubra-os você mesmo!), eles se encaixam na figura original, e utilize isto para provar que o sétimo triângulo que eles definem é equilátero).

14 – Utilize Ptolomeu nos diversos quadriláteros cíclicos que nos convém utilizar (descubra quais). Após, utilize a propriedade do problema 11 juntamente com trigonometria para obter o resultado desejado.

15 – Utilize a propriedade do problema 11 para marcar alguns ângulo importantes, e para mostrar que CNH é um ângulo reto. A condição do problema dirá, então, que o triângulo CNH é congruente ao triângulo CNO. Utilize o fato de N estar na bissetriz para achar alguma peculiaridade do ângulo em questão.

16 – Conte o número de costuras de duas maneiras diferentes para obter o que se deseja.

17 – Repare que a condição do enunciado equivale a dizer que, se temos em uma linha a duas casas escolhidas, digamos a_t e a_p, então em qualquer das outras linhas não podemos escolher as casas de índice t ou p. Considere isso para obter uma redução, aliada a uma ideia similar ao PCP, para um número máximo de 35 casas. Ao final, mostre que o caso com 35 é impossível, por absurdo.

18 – Utilize a fórmula de Euler para um grafo plano. Com isso, conte os segmentos dos triângulo e os segmentos de cada vértice, para cair num problema de divisibilidade.

19 – Considere estradas unindo 20 das 21 cidades. Logo, o número mínimo é o número que conecta todas essas 20 cidades mais um, que conecta uma delas à restante.

20 – Faça uma estimativa para o valor de m: distribuímos 60 figurinhas para alguns e 61 para outros, todas elas diferentes. Agora, vejamos que se m=1891, como sugere, existe uma falha: colocamos 61 figurinhas em todos, com 2 repetidas apenas. Esta distribuição é completa e m=1891. Prove, agora, que toda distribuição com m=1890 é incompleta, e finalize o problema.

Resolução de alguns problemas anteriormente propostos

Clique aqui para ver a Seção de Problemas 4.

2 – Reparemos que, na primeira volta, são marcados todos os números côngruos a 1 módulo 15. Como 991 é o maior inteiro menor que mil côngruo a 1 módulo 15, o próximo a ser marcado é o 6. Logo, todos os côngruos a 6 módulo 15 serão marcados. Como 996 é o maior número côngruo a 6 módulo 15 com estas propriedades, então, marcamos o 11 e todos os côngruos a 11 módulo 15. Daí marcaremos o 986. O próximo a ser marcado é o 1. Ou seja, marcamos apenas os côngruos a 1, 6 e 11 módulo 15 (um quinto de todos os inteiro menores ou iguais a 990). Dividindo 990 por 5, obtemos 190 marcados. Agora, incluímos também o 991 e o 996. Portanto, temos 192 marcados e, assim, 808 não marcados. ■

4 – Vamos utilizar de alguns truques para resolver este problema:

Dividindo por x²

Como

Então chamamos

Logo,

Que tem como resoluções

Que nos dá

Mas

Da condição de pelo menos uma raiz real,

Daí, caímos em dois casos:

Ou

Observe que a condição do primeiro caso é mais forte que a do segundo. Logo, esta é a que tomaremos. Como queremos o mínimo de a² +b², temos que

Logo,

A expressão à direita é do segundo grau. Portanto, sabemos calcular seu valor mínimo: é apenas aplicar uma fórmula agora!

Logo, este é o valor mínimo se a² + b². ■

5 – Sabemos que, para todo polinômio P(x),

Onde os x são suas raízes. Agora, seja

Esse polinômio tem como raízes todas as raízes diferentes de 1 de xⁿ – 1. Logo, como

Então

Mas

E

Logo,

Como pedido. ■

Caso queiram ver a resolução de algum dos problemas propostos, comentem aqui no post ou mandem um e-mail para joaopedroblogger@hotmail.com. Caso tenham soluções para os problemas propostos, envie-nos para o mesmo e-mail.

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