Seção de Problemas – Nº 6

Hoje trago uma nova seção de problemas a vocês. A partir desta seção de problemas, vou apenas resolver os problemas requisitados pelos leitores. Como, desde a ultima não houve problemas requisitados, não resolverei problemas, apenas darei dicas sobre os problemas atuais.

Teoria dos Números

1 – Mostre que, se mdc(a,2ⁿ⁺¹) = 2ⁿ e mdc(b, 2ⁿ⁺¹) = 2ⁿ então mdc(a+b, 2ⁿ⁺¹) = 2ⁿ⁺¹

2 – (IMO – 1989) Mostre que, para todo n natural, há um bloco de n inteiros consecutivos no qual não há potências de números primos.

3 – Definamos

Mostre que a imagem da função

É justamente o conjunto dos números primos.

Álgebra

4 – (Harvard-MIT 2012) Seja a₀ = -2, b₀=1 e, para todo n >1, temos

Ache a_2012.

5 – (Harvard-MIT 2012) Seja x₁ = x₂ = y₁ = y₂ = 1, e, para todo n > 2, sejam

Quais são os dois últimos dígitos da representação decimal de |x₂₀₁₂|?

6 – (Harvard-MIT 2012) Nos finais de semana, Eli entrega leite no plano complexo. No sábado, ele começa no complexo z e vai para , nessa ordem. No domingo, ele começa do 1 e vai para , também nesta ordem. Eli anda diretamente (em linha reta) entre duas casas. Se a distância que ele anda do primeiro ponto até o último ponto é em ambos os dias, ache a parte real de z².

Geometria

7 – Seja H o ortocentro de um triângulo ABC. Prove que as retas de Euler dos triângulos ABC, BCH, CAH, ABH São todas concorrentes. Em que ponto notável elas são concorrentes?

8 – (Estônia) As medianas relativas aos vértices A e B do triângulo ABC são perpendiculares. Mostre que AB é o menor lado do triângulo.

Combinatória

9 – (Resta Um) O clássico jogo do resta um é jogado em um tabuleiro formado por 5 quadrados 3x3, colocados um acima do outro em forma de cruz, como na figura, com a casa central sem peças, e as restantes com peças. Determine em quais casas podemos terminar o jogo do resta um.

10 – Temos camaleões de 3 cores, digamos, vermelho, amarelo a azul. Se dois camaleões se encontram, então eles ficam com a mesma cor, diferente das de cada um camaleão. Suponhamos que só haja encontros entre dois cameleões por vez. Encontre todos os pares de (a,b,c), onde a é a quantidade de camaleões vermelhos, b a de amarelos e c a de verdes tal que possa haver uma maneira de, ao final, todos os camaleões estarem de uma mesma cor.

Dicas e Fatos que Ajudam

1 – Use o Teorema Fundamental da Aritmética, aliado à propriedade de que a soma de dois ímpares é um par.

2 – Considere os números da forma ((n+1)!)² + k, onde 1<k < n + 2.

3 – Analise os dois casos para o módulo de |a² - 1|, e em um deles complemente com o teorema de Wilson.

4 – Ache uma relação entre o produto e a soma de cada a_n e b_n.

5 – Utilize multiplicação de números complexos para achar uma recorrência que dê x_n explicitamente. Feito isso, considere x₂₀₁₂ módulo 100, e, com a ajuda do teorema de Euler, utilize o resultado desejado.

6 – Utilize a distância de dois complexos w e z no plano ser |z – w|, e compare os dois somatórios para achar o módulo de z. Feito isso, achar a parte imaginária de z² fica fácil, com auxílio da forma trigonométrica.

7 – Prove a relação desejada para apenas uma reta de Euler, e faça o análogo para as outras (elas se intersectam no centro círculo dos nove pontos)

8 – É uma aplicação direta do teorema do baricentro e do teorema de Pitágoras.

9 – Colora o tabuleiro com três cores, uma em cada diagonal, e prove que só pode acabar em determinadas casas. Simetrizar esse processo, só até obter casas que são suas próprias simétricas, que serão as casas que nos darão os resultados.

10 – Repare que a quantidade de cada cor é sempre “aumentada” de 2 módulo 3. Com isso, prove que basta que dois números a,b sejam côngruos módulo 3 para que o desejado ocorra.

Bom, por enquanto é só. Fiquem ligados para mais material teórico e problemas no blog.

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