Olá gente! Hoje aprensentarei um problema bastante conhecido em geometria e algumas de suas soluções também muito conhecidas.
O triângulo![[;ABC;]](http://thewe.net/tex/ABC "ABC")
ao lado é isósceles de vértice ![[;A=20^{\circ};]](http://thewe.net/tex/A=20%5E%7B%5Ccirc%7D "A=20^{\circ}")
.
Sendo![[;D\hat{B}C=50^{\circ};]](http://thewe.net/tex/D%5Chat%7BB%7DC=50%5E%7B%5Ccirc%7D "D\hat{B}C=50^{\circ}")
e ![[;E\hat{C}B=60^{\circ};]](http://thewe.net/tex/E%5Chat%7BC%7DB=60%5E%7B%5Ccirc%7D "E\hat{C}B=60^{\circ}")
calcule ![[;C\hat{E}D;]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BE%7DD "C\hat{E}D")
.
Resolução 1 :
Vamos usar lei dos senos nessa solução. Clique aqui para ler o post do João sobre geometria com contas.
Se fizermos![[;C\hat{E}D=x;]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BE%7DD=x "C\hat{E}D=x")
então ![[;C\hat{D}E=160^{\circ} -x;]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BD%7DE=160%5E%7B%5Ccirc%7D%20-x "C\hat{D}E=160^{\circ} -x")
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo![[;CDE;]](http://thewe.net/tex/CDE "CDE")
...
![[;\frac{CE}{CD}=;]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7BCE%7D%7BCD%7D= "\frac{CE}{CD}=")
![[;\frac{sen(160^{\circ}-x)}{sen (x)};]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7Bsen%28160%5E%7B%5Ccirc%7D-x%29%7D%7Bsen%20%28x%29%7D "\frac{sen(160^{\circ}-x)}{sen (x)}")
(I)
e no triângulo![[;BCE;]](http://thewe.net/tex/BCE "BCE")
obtemos:
![[;\frac{CE}{BC}= \frac{sen(80^{\circ})}{sen(40^{\circ})} = 2 \cdot cos (40^{\circ});]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7BCE%7D%7BBC%7D=%20%5Cfrac%7Bsen%2880%5E%7B%5Ccirc%7D%29%7D%7Bsen%2840%5E%7B%5Ccirc%7D%29%7D%20=%202%20%5Ccdot%20cos%20%2840%5E%7B%5Ccirc%7D%29 "\frac{CE}{BC}= \frac{sen(80^{\circ})}{sen(40^{\circ})} = 2 \cdot cos (40^{\circ})")
(II) (só usar a fórmula do seno do arco duplo!)
Como![[;C\hat{B}D=;]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BB%7DD= "C\hat{B}D=")
![[;C\hat{D}B;]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BD%7DB "C\hat{D}B")
![[;=;]](http://thewe.net/tex/= "=")
![[;50^{\circ};]](http://thewe.net/tex/50%5E%7B%5Ccirc%7D "50^{\circ}")
então ![[;\triangle{BCD};]](http://thewe.net/tex/%5Ctriangle%7BBCD%7D "\triangle{BCD}")
é isosceles. Assim, ![[;CD=BC;]](http://thewe.net/tex/CD=BC "CD=BC")
Isso nos permite escrever (I)=(II)
Logo,![[;\frac{sen(160^{\circ} -x)}{sen(x)}=2 \cdot cos(40^{\circ});]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7Bsen%28160%5E%7B%5Ccirc%7D%20-x%29%7D%7Bsen%28x%29%7D=2%20%5Ccdot%20cos%2840%5E%7B%5Ccirc%7D%29 "\frac{sen(160^{\circ} -x)}{sen(x)}=2 \cdot cos(40^{\circ})")
Sendo![[;sen(180^{\circ} - x) = sen(x);]](http://thewe.net/tex/sen%28180%5E%7B%5Ccirc%7D%20-%20x%29%20=%20sen%28x%29 "sen(180^{\circ} - x) = sen(x)")
Temos
![[;sen(160^{\circ} - x)=;]](http://thewe.net/tex/sen%28160%5E%7B%5Ccirc%7D%20-%20x%29= "sen(160^{\circ} - x)=")
![[; sen(180^{\circ} - (160^{\circ} - x)) =;]](http://thewe.net/tex/%20sen%28180%5E%7B%5Ccirc%7D%20-%20%28160%5E%7B%5Ccirc%7D%20-%20x%29%29%20= "sen(180^{\circ} - (160^{\circ} - x)) =")
![[;sen(20^{\circ}+ x) = 2\cdot cos(40^{\circ}) \cdot sen(x)=2\cdot cos(60^{\circ} - 20^{\circ}) \cdot sen(x);]](http://thewe.net/tex/sen%2820%5E%7B%5Ccirc%7D+%20x%29%20=%202%5Ccdot%20cos%2840%5E%7B%5Ccirc%7D%29%20%5Ccdot%20sen%28x%29=2%5Ccdot%20cos%2860%5E%7B%5Ccirc%7D%20-%2020%5E%7B%5Ccirc%7D%29%20%5Ccdot%20sen%28x%29 "sen(20^{\circ}+ x) = 2\cdot cos(40^{\circ}) \cdot sen(x)=2\cdot cos(60^{\circ} - 20^{\circ}) \cdot sen(x)")
Usando a fórmula da soma de arcos para o seno e da subtração de arcos para o cosseno obtemos:
![[;sen(20^{\circ}) \cdot cos (x) +;]](http://thewe.net/tex/sen%2820%5E%7B%5Ccirc%7D%29%20%5Ccdot%20cos%20%28x%29%20+ "sen(20^{\circ}) \cdot cos (x) +")
![[;cos(20^{\circ});]](http://thewe.net/tex/cos%2820%5E%7B%5Ccirc%7D%29 "cos(20^{\circ})")
![[;\cdot;]](http://thewe.net/tex/%5Ccdot "\cdot")
![[; sen(x)=;]](http://thewe.net/tex/%20sen%28x%29= "sen(x)=")
![[; \cdot sen(x);]](http://thewe.net/tex/%20%5Ccdot%20sen%28x%29 "\cdot sen(x)")
![[; + \sqrt{3};]](http://thewe.net/tex/%20+%20%5Csqrt%7B3%7D "+ \sqrt{3}")
![[;sen(20^{\circ});]](http://thewe.net/tex/sen%2820%5E%7B%5Ccirc%7D%29 "sen(20^{\circ})")
![[;sen(20^{\circ}) \cdot cos(x) = \sqrt{3}sen(20^{\circ}) \cdot sen(x);]](http://thewe.net/tex/sen%2820%5E%7B%5Ccirc%7D%29%20%5Ccdot%20cos%28x%29%20=%20%5Csqrt%7B3%7Dsen%2820%5E%7B%5Ccirc%7D%29%20%5Ccdot%20sen%28x%29 "sen(20^{\circ}) \cdot cos(x) = \sqrt{3}sen(20^{\circ}) \cdot sen(x)")
![[;ctg(x)=\sqrt{3};]](http://thewe.net/tex/ctg%28x%29=%5Csqrt%7B3%7D "ctg(x)=\sqrt{3}")
daonde![[; x=30^{\circ};]](http://thewe.net/tex/%20x=30%5E%7B%5Ccirc%7D "x=30^{\circ}")
.
Uma outra solução é obtida de forma mais bonita.
Resolução 2:
Observe a construção abaixo
Na figura abaixo![[;ED'\parallel BC;]](http://thewe.net/tex/ED%27%5Cparallel%20BC "ED'\parallel BC")
. Seja ![[;P;]](http://thewe.net/tex/P "P")
o ponto de encontro de![[;BD';]](http://thewe.net/tex/BD%27 "BD'")
com![[;CE;]](http://thewe.net/tex/CE "CE")
. Assim, ![[; \triangle{BCP};]](http://thewe.net/tex/%20%5Ctriangle%7BBCP%7D "\triangle{BCP}")
e ![[;\triangle{ED'P};]](http://thewe.net/tex/%5Ctriangle%7BED%27P%7D "\triangle{ED'P}")
são triângulos equiláteros. Ou seja, ![[;CP=BC;]](http://thewe.net/tex/CP=BC "CP=BC")
como é isosceles, então ![[;\triangle{PCD};]](http://thewe.net/tex/%5Ctriangle%7BPCD%7D "\triangle{PCD}")
é isosceles com ângulo do vértice ![[;\hat{C}=20^{\circ};]](http://thewe.net/tex/%5Chat%7BC%7D=20%5E%7B%5Ccirc%7D "\hat{C}=20^{\circ}")
, assim![[;C\hat{P}D=80^{\circ};]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BP%7DD=80%5E%7B%5Ccirc%7D "C\hat{P}D=80^{\circ}")
como ![[;E\hat{P}D'=60^{\circ};]](http://thewe.net/tex/E%5Chat%7BP%7DD%27=60%5E%7B%5Ccirc%7D "E\hat{P}D'=60^{\circ}")
e ![[;E,P;]](http://thewe.net/tex/E,P "E,P")
e ![[;C;]](http://thewe.net/tex/C "C")
são colineares, ![[;D'\hat{P}C=40^{\circ};]](http://thewe.net/tex/D%27%5Chat%7BP%7DC=40%5E%7B%5Ccirc%7D "D'\hat{P}C=40^{\circ}")
.
Como e ![[;B\hat{D'}C=40^{\circ};]](http://thewe.net/tex/B%5Chat%7BD%27%7DC=40%5E%7B%5Ccirc%7D "B\hat{D'}C=40^{\circ}")
![[;\triangle{PDD'};]](http://thewe.net/tex/%5Ctriangle%7BPDD%27%7D "\triangle{PDD'}")
é isosceles com angulo do vétice ![[; \hat{D}=100^{\circ};]](http://thewe.net/tex/%20%5Chat%7BD%7D=100%5E%7B%5Ccirc%7D "\hat{D}=100^{\circ}")
.
Lembrando que![[;\triangle{EPD'};]](http://thewe.net/tex/%5Ctriangle%7BEPD%27%7D "\triangle{EPD'}")
é equilatero. Temos ![[;ED'=EP;]](http://thewe.net/tex/ED%27=EP "ED'=EP")
e ![[;DP=DD';]](http://thewe.net/tex/DP=DD%27 "DP=DD'")
assim, pelo caso LLL, ![[;\triangle{EPD}=\triangle{EDD'};]](http://thewe.net/tex/%5Ctriangle%7BEPD%7D=%5Ctriangle%7BEDD%27%7D "\triangle{EPD}=\triangle{EDD'}")
. Por isso, ![[;ED;]](http://thewe.net/tex/ED "ED")
é bissetriz de ![[;P\hat{E}D';]](http://thewe.net/tex/P%5Chat%7BE%7DD%27 "P\hat{E}D'")
, logo, ![[;C\hat{E}D=30^{\circ};]](http://thewe.net/tex/C%5Chat%7BE%7DD=30%5E%7B%5Ccirc%7D "C\hat{E}D=30^{\circ}")
.
Há muitas outras soluções para esse problema. Por que você não tenta a sua?
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Até mais!
O triângulo
Sendo
Resolução 1 :
Vamos usar lei dos senos nessa solução. Clique aqui para ler o post do João sobre geometria com contas.
Se fizermos
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo
e no triângulo
Como
Isso nos permite escrever (I)=(II)
Logo,
Sendo
Temos
Usando a fórmula da soma de arcos para o seno e da subtração de arcos para o cosseno obtemos:
daonde
Uma outra solução é obtida de forma mais bonita.
Resolução 2:
Observe a construção abaixo
Na figura abaixo
Como
Lembrando que
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Até mais!
Belas Demonstrações para este problema clássico e, na minha opinião, belíssimo, pois seu enunciado é bastante simples mas sua resolução necessita de um pouco de engenhosidade, gostei bastante!
ResponderExcluirAté mais !
Olá diego! Obrigado pelo seu comentário! De fato, embora eu não seja muito bom em geometria, acho incrível como algumas soluções podem ser tão elegantes. Continuaremos postando problemas interessantes.
ResponderExcluirAbraço e até mais !
Legal ! O blog está muito bom ! Parabéns :D
ResponderExcluirObrigado, Lucas! Fazemos o melhor para passar o conhecimento!
ExcluirPorq n tm um campo onde os problemas apresentados fornecem as soluções?
ResponderExcluirPuxa vida, o blog é bem interessante! Meu professor o indicou em sala, parabéns!
ResponderExcluirCumprimentos,
Lu