Um Problema de Geometria Plana, Duas Soluções

Hoje apresentaremos um problema [clássico] de geometria plana e duas soluções: uma utilizando somente métodos sintéticos, e uma por geometria analítica. Por se tratar de um problema de uma área clássica da matemática elementar, esse artigo não terá pré-requisitos além da compreensão de um pouco de geometria plana. 

Aqui vai o enunciado: 

"Recentemente, foi descoberto o manuscrito do pirata Barba Negra, descrevendo a localização de um tesouro enterrado por ele em certa ilha do Caribe. O manuscrito identifica perfeitamente a ilha e dá as seguintes instruções: 

"...qualquer um que desembarque nesta ilha verá imediatamente dois carvalhos, A e B, e uma palmeira, C. Eu enterrei o tesouro em um ponto X que pode ser encontrado da seguinte forma: 

-Caminhe de C para A contando seus passos. Chegando em A, vire para a esquerda e  dê exatamente o mesmo número de passos para chegar no ponto M. Marque este ponto.

-Volte ao ponto C.

-Caminhe de C para B contando seus passos. Chegando em B, vire à direita e dê exatamente o mesmo número de passos para chegar no ponto N. Marque este ponto. 

-O ponto X se encontra exatamente como o ponto médio entre M e N."

Com estas informações, exploradores chegaram à referida ilha, mas tiveram uma desagradável surpresa. Os carvalhos A e B lá estavam, porém a palmeira C tinha desaparecido completamente. O tesouro estava perdido... Ou não? 

Mostre que, na verdade, ainda podemos achar facilmente o tesouro" 

Ou, para quem prefere ver o mundo de uma forma mais direta: "Dado um triângulo ABC, construa M como sendo o ponto exterior ao triângulo (lado oposto ao ponto B) que é perpendicular ao segmento AC. Construa N do mesmo modo, relativamente ao lado BC. Mostre que, se X é o ponto médio de MN, então este não depende de M ou N, mas apenas dos pontos A,B. "

Na verdade, mostraremos algo mais forte: X é, na verdade, o ponto (do mesmo lado da reta AB  que C) que está na mediatriz de A e B e enxerga o segmento AB por um ângulo de 90 graus. 

Solução 1 (utilizando apenas Geometria Analítica): 

Primeiro, suponha que A = (a,0), B = (b,0) e C = (0,c). Então vemos facilmente que M = (a-c, -a), e N = (c+b,b). Então, X = (M+N)/2 = ((a+b)/2,(b-a)/2). Mas isto só depende da distância entre A e B, e, facilmente, vemos que é o ponto que desejamos. 

Solução 2 (utilizando apenas Geometria Sintética): 

Primeiramente, construa as perpendiculares de M e N à reta AB, assim obtendo o trapézio MPQN. Mas, uma simples conta com os ângulos nos diz que o ângulo AMP é igual ao CAB, e o ângulo BNQ é igual ao CBA. Mas isto implica as congruências de AMP e CAB e de BNQ com CBA. Isto também nos diz que QB = AP = h, altura do triângulo referente ao vértice C. Portanto, se D é a projeção ortogonal de X na reta AB, como D divide PQ no meio, como QB = AP, D divide AB no meio, isto é, X está na mediatriz de AB. Mas também sabemos que DX = (MP + NQ)/2. Mas MP+NQ = AB (em distâncias; isto é óbvio das congruências). Isto implica que X está a uma altura igual à metade da base do triângulo AXB, e está na mediatriz. Claramente, isto implica que AXB = 90 graus, como desejado, terminando o post de hoje.