terça-feira, 20 de janeiro de 2015

Alguns Problemas Interessantes

Ok, pessoal, estamos há algum tempo sem postar, então pra quebrar esse jejum separei alguns problemas que achei interessantes. São em nível de IME-ITA. Tente ver a ideia geral por trás de cada solução, elas são muito úteis para resolver problemas mais difíceis. Esperamos ajudar quem deseja treinar para a matemática apresentada nos concursos de tais institutos.

Vamos lá!


1- Quais os últimos três dígitos do quadrado do produto das raízes positivas da equação ?

2- Na figura abaixo, o ponto P do menor arco A B dista 6 cm e 1 0 cm , respectivamente, das tangentes
AQ e BQ . Calcule a distância, em cm , do ponto P à corda A B .
3- Para quantos valores reais de p as três raízes de são números inteiros positivos?


4- Qual o valor de , onde u e v são números complexos não nulos satisfazendo ?


5- Sejam X, Y e Z três números reais maiores que um que satisfazem ,
então quanto vale ?

6- Qual é o valor de ?




Soluções: 

1- Esse problema é bastante simples. 

  

Fazendo  temos 

Se  sendo  e  então 


Logo, os 3 últimos dígitos do quadrado do produto das raízes da equação são 995.

Dica: Quando estiver trabalhando com logaritmos tenha sempre em mente que log é uma função injetora.
Ou seja, log a = log b então a = b. Em demonstrações mais rigorosas vale a pena observar essa propriedade antes de usá-la (apenas escrever algo do tipo: "como log é uma função injetora, temos... ").

2- 
Bem, vamos primeiro fazer uma figura com as informações que temos. 


Sendo C, E e D as projeções de P sobre os lados AQ, AB e BQ do triângulo respectivamente temos:

# PDBE e PCAE são quadriláteros inscritíveis. Logo,

 e .

Além disso, traçando os segmentos OA e OP vemos que OAP é um triângulo isósceles. Assim, e como  = 90º temos que . E das propriedades de arco capaz, 

Assim,  . Analogamente 

Assim,    .

A dica é lembrar da relação entre CÂP e AÔP essa relação costuma ser esquecida.


3- Observe que 1 é raiz da equação independente do valor de p. (sempre vale a pena checar por algumas raízes triviais. Tente números como 1, 2, -1, -2 ... )

Assim, usando o método de Briot-Ruffini podemos fatorar da seguinte forma: 

 
Assim, sendo  e  as raízes da da equação temos:  e .

Ao somar e adicionar 1 para tentar fatorar como  não conseguirá muita coisa. 

Por sorte (ou será que não?) ,  o que facilita a conta. Assim, podemos substituir p por .
Temos:  

Assim, . Os divisores de 4351 são 1, 19, 229 e 4351. Assim, montamos a seguinte tabela.

Valor possível de 
Valor de 
Valor de
Valor de
 
Valor de



 
(Não é inteiro)


(Não é inteiro)


Observe que para cada valor possível de  existe apenas um valor de  tal que 

Observe também que se fizermos  obteremos os mesmos valores de  e  trocados, como nos interessa apenas quantos valores possíveis de P fazem as raízes serem inteiras positivas isso não faz diferença.

Além disso, não foram considerados os divisores negativos porque nesses casos, ao examinar, vê-se que não conseguiremos ambos,  e , positivos. 

Assim, só há um valor de p que faz   e  serem inteiros positivos, que é p = 76.

A ideia principal de problemas desse tipo é procurar uma fatoração do tipo (aX + b)(cY-d) = E e analisar caso a caso lembrando que os números são inteiros (nem sempre se exige que eles sejam positivos)  


4- Observe que  caso contrário  e os números são não nulos.

Assim, multiplicando por  e dividindo por , que é diferente de zero, temos: 

 
Onde  

Assim, 

5 - Se  então

.

Observe que 

como  temos 

Agindo de forma análoga pra Y e Z temos: 


Logo,
 

  
 como  temos .

Analogamente temos  e . Assim,


6- Vejamos, primeiro, quanto vale 
.
 Pela fórmula do binômio de Newton temos:


Observe que para p par temos que  é real. Assim, com p = 2n temos 


Assim,  equivale a parte real de . logo, a parte real é .

A dica desse tipo de questão é tentar procurar um binômio de Newton que se pareça com a expressão procurada. No geral os fatores envolvidos no somatório podem dar dicas, mas ainda é preciso alguma criatividade. Eu tinha um professor que dizia que "Na primeira vez é mágica; a partir da segunda é técnica". 

Bem, por hoje é só. Se você gostou do blog curta nossa página no facebook e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações. Não se esqueça de avaliar a postagem logo abaixo, é muito importante sabermos a qualidade do que estamos produzindo. 

Até mais. 

Um comentário:

  1. Caro Dudu, na solução do 1º problema, acho que você cometeu um equívoco: quando você multiplicou x1 por x2 (duas potências de mesma base), você multiplicou os expoentes, quando deveria tê-los somado. Você obteve x1.x2 = 1995^1/2. O correto seria x1.x2 = 1995^2. Estou certo? Grato, Edson (edson.zuit@hotmail.com).

    ResponderExcluir

Você pode comentar! A equipe do blog encoraja todos a comentar.

Porém, lembre-se que comentários que desrespeitem as regras abaixo serão excluídos:

-É proibido ofender qualquer pessoa ou grupo em seu comentário.
-Os comentários deverão ser minimamente relacionados com o tópico. Lembrem-se, estamos falando de um blog de matemática!
-Proibido flood.
-Proibido palavras de baixo calão.
-Proibido colocar qualquer tipo de conteúdo improprio para menores de 18 anos (há menores de idade que acessam o blog).

A equipe do blog agradece seu comentário, e tenha certeza que será muito enriquecedor. Tentaremos respondê-los o quanto antes possível.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...