Números Complexos e a Unidade Imaginária–Parte 1

Esse é o primeiro de uma série em 4 partes sobre a unidade imaginária e os números complexos. Serão organizados da seguinte maneira:
1. Introdução e Breve História
2. Trigonometria e Números Complexos; Outras formas de representar o Complexo
3. Polinômios e os Números Complexos
4. Post Extra e outras relações dos Números Complexos
O conjunto dos números complexos é aquele que abrange o conjunto dos Reais (todos os números que definitivamente existem, aqueles que existem “concretamente”) e também abrange os números compostos pela unidade imaginária. A unidade imaginária é definida como o número que tem a propriedade de ser

Sendo i a unidade imaginária. Todo número complexo pode ser expresso da seguinte forma:

Sendo a e b números reais.
História
O estudante do ensino médio que aprende sobre números complexos geralmente o aprende para resolver equações do segundo grau com determinante negativo.
Entretanto, o estudo dos números complexos vem do estudo das equações do terceiro grau, ou cúbicas. Antes do grande “descobridor” dos complexos, Bombelli, todos os discriminantes de equações de segundo grau e de outros graus, quando negativos, eram apenas desconsiderados, e o problema ao qual a equação estava atrelada era considerado sem solução.
O primeiro indício de um “surgimento” dos complexos viria com Cardano (um post, ainda nessa semana, falará sobre demonstrações da resolução de equações de graus de 1 a 4), ao resolver uma equação do segundo grau, em sua famosa obra Ars Magna. Num problema ele pretendia achar o ponto dentro de um segmento que vale dez e o produto dos dois segmentos formados forme 40. Ele chama, então, os segmentos formados pelo ponto de x e 10-x. Então, formando uma equação, ele tem



As Soluções dessa equação são . Cardano, se preparando para considerar seu problema sem solução, já que a raiz é de um número negativo, reparou que

Que era a solução que ele desejava. Ele, então, chamou esses resultados obtidos de soluções sofísticas da equação, já que elas eram, como o próprio disse, tão sutis quanto inúteis.
Mas o real idealizador dos números complexos, se podemos dizer, é o italiano seguidor de Cardano, Raphael Bombelli. Bombelli, como admirador de Cardano, leu totalmente sua publicação. Mas, descontente com alguns detalhes, ele resolveu publicar seu próprio (e influente) estudo: l’Algebra. Nesse estudo, Bombelli se depara com uma equação cúbica, , cuja solução seria

Mas, como vemos, a raiz quadrada dentro da cúbica é negativa, fazendo o número não “existir”. Mas, logo após, ele percebe que 4 também é uma solução da equação cúbica proposta. Então, Bombelli tem uma ideia para aquele problema: ele considera que, mesmo que imaginariamente, haja um número da forma que seja a raiz cúbica de , e também um número , que seja raiz cúbica de . Com esses números, ele pensa que esses satisfaçam a

E, para sua felicidade, ele acha a=2. Daí, ele deduz que b=1, ao voltar à equação principal. Então ele tem que

E ele finalmente conclui que seu achado é revolucionário. Como ele diz em sua obra, ele tinha em mente que a “tal” imaginária sempre “existisse” (é meio paradoxal mesmo). Daí, ele já parte para as regras de multiplicação da unidade imaginária em sua obra. Para se ter uma ideia, o pensamento de Bombelli da unidade imaginária só seria formalizado quase 60 anos depois, quando Girard introduziu o símbolo . Já o popular símbolo i só seria introduzido 105 anos depois de l’Algebra, por Leonhard Euler.
Vou parar por aqui, pois esta história é muito mais extensa e rica. Para maiores detalhes, leia o artigo que inspirou essa breve história:
A emergência dos números complexos,
César Polcino Milies, RPM 24

Forma Geral:
Todo número complexo pode ser escrito como

Com i a unidade imaginária.
Módulo:
O módulo de um número complexo é

Operações Essenciais Com Números Complexos:
Adição:

Subtração:

Multiplicação:

Divisão:

Agora, vamos introduzir o conceito de CONJUGADO do número complexo. Veja:
O conjugado de um complexo

É

Podemos prosseguir, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do complexo no denominador, obtendo


Agora, algumas propriedades do conjugado:

• 
• . Prova: A demonstração vem com

Logo vemos que esse é um conjugado. O conjugado desse conjugado é


Fazendo , temos


Isso mostra que a potência do conjugado é igual ao conjugado da potência.

• · Prova:
  

• · Prova: Por indução, para n=1, temos

Que se verifica.
Para n+1, temos

Sendo e , temos


Mas como e , temos



Que demonstra a fórmula para n+1, verificando a validade da fórmula.
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João Pedro.