Alguns problemas interessantes

 
Olá, pessoal.
Aqui, postarei dois problemas que achei interessantes, de áreas distintas da matemática, mas que são ambos muito bons para treinar o raciocínio e a inventividade. Bem, aqui vão:
“É conhecido que e . Prove que um desses números reais é igual a 1”
“Defina a sequência ; . Mostre que todo termo dessa sequência é um inteiro positivo”
Bem, primeiro alguns esclarecimentos:
Quanto à origem dos problemas, o primeiro é de uma lista de treinamento do Brasil para a Olimpíada do Cone Sul. O segundo é de uma olimpíada da Irlanda.
Bem, sem mais delongas, vamos para as resoluções:
1 - Se , então

Definindo o polinômio .. Podemos ver que, chamando , então o polinômio toma forma de

Assim, fazendo ,

Portanto, como a equação tem três raízes reais, e 1 é uma delas, chegamos à conclusão de que um dos reais é igual a um.
2 - Façamos
Mas
Então,

Bom, parece que o termo geral da nossa sequência é definido por

Para , confirmamos.
Para , partindo que é verdadeiro, temos que


Que é verdadeiro.
Notando que

Temos

Que, como todo coeficiente binomial é um inteiro, é um inteiro.
Pessoal, é tudo isso que posso oferecer por hoje. As resoluções são ambas minhas.
Espero que tenham gostado, até breve.