Aula 3 sobre matriz - "Operações com matrizes"

Olá, gente! Hoje darei continuidade as aulas sobre matrizes. Veja aqui a AULA 1 e a AULA 2. Pretendo postar mais do que as 5 aulas previstas para essa série e "emendar" com determinantes.

Hoje falarei das operações feitas com matrizes. E mais alguns tipos de matrizes que achei melhor colocar aqui, pois em geral, para entende-las, você precisa saber operações com matrizes.

Igualdade de matrizes.

Para duas matrizes A e B serem iguais, elas devem ter mesma ordem m x n e seus elementos correspondentes devem ser iguais, ou seja, $[;a_{ij}=b_{ij};]$ . Aqui vai um exemplo para deixar mais claro

$[;\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix};]$ e

$[;\begin{pmatrix} 2^0 & 2^1 \\ 2^2 & 2^3 \end{pmatrix};]$

então

Adição de matrizes

Para somar duas matrizes ambas devem ser de ordem m x n. E a soma [;A+B;]

será uma matriz C de ordem m x n com $[;c_{ij}=a_{ij}+b_{ij};]$

Exemplo:

$[;\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix};]$

$[;B= \begin{pmatrix}3 & 5 \\ 7 & 8\end{pmatrix};]$

Então,

$[;\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix};]$

Observe que a adição de matrizes tem algumas propriedades. Se A, B e C são [;3;]

matrizes de mesma ordem.

P.1-

P.2-

P.3- Se

é a matriz nula de mesma ordem que A, então [;A+0=0+A=A;]

Antes de definir a quarta propriedade, devo definir a matriz oposta de uma matriz A.

A matriz oposta de uma matriz A é representada por [;(-A);]

e é a matriz que somada a A resulta numa matriz nula. Ou seja, $[;(-a)_{ij}=a{ij};]$

Exemplo: Se $[;A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix};]$
então $[;(-A)= \begin{pmatrix}-3 & -10 \\ 8 & -2\end{pmatrix};]$ ,

pois

$[;\begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 & -10 \\ 8 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix};]$

Podemos agora definir nossa P.4

P.4-

A demonstração das propriedades é muito facil, então fica a cargo do leitor.

Subtração de matrizes

Se A e B são matrizes de ordem mxn, então [;A-B;]

será A somado ao inverso da matriz B, ou seja, [;A-B=A+(-B)=C;]

. Sendo C uma matriz de ordem mxn, com $[;c_{ij}=a_{ij}-b_{ij};]$

Exemplo:

$[;A= \begin{pmatrix}-4 & 10 \\ 21 & 3\end{pmatrix};]$ e

$[;B= \begin{pmatrix}8 & 10 \\ 11 & 22\end{pmatrix};]$

então

$[;A-B = \begin{pmatrix}-12 & 0 \\ 10 & -19\end{pmatrix};]$

Multiplicação de matrizes por um número real

Se temos uma matriz A de ordem mxn e elementos $[;a_{ij};]$ e queremos multiplicar por um número real k, então kA será de ordem m x n também e seu elementos da i-ésima linha

e j-ésima coluna será $[;k \times a_{ij};]$

Exemplo: $[;k=\sqrt{2};]$ e

$[;A= \begin{pmatrix}-\sqrt{2} & -10 \\ 2^{\frac{1}{2}} & -2\end{pmatrix};]$ então

$[;k \times A =;]$ $[;\begin{pmatrix}-2 & -10\sqrt{2} \\ 2 & -2\sqrt{2}\end{pmatrix};]$

Se k e l são números reais e A e B matrizes de mesma ordem, ficara como exercicio mostrar as 4 propriedades abaixo.

P.1-

P.2-

P.3-

P.4-

Veja que são verdadeiras estas propriedades. É só aplicar a definição!

Matriz transposta

é uma matriz m x n com elementos $[;a_{ij};]$ , então a matriz transposta de [;A;]

, representada por [;A^t;]

é de ordem n x m com [;a_ij=(a^t)_ji;]

Exemplo:

$[;A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 9\end{pmatrix};]$

Então:

$[;a_{11}= 1;]$

$[;a_{12}=2;]$

$[;.a_{13}=3;]$

$[;a_{21}=4;]$

$[;a_{22}=8;]$

$[;a_{23}=9;]$

logo, $[;(a^t)_{11}= 1;]$ $[;(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9;]$

logo

$[;A^t = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 3 & 9\end{pmatrix};]$

Algumas propriedades a serem verificadas:

P.1-

P.2-

P.3-

Multiplicação de matrizes

Essa operação não é tão trivial quanto as outras.

Para multiplicar 2 matrizes A e B, A deve ser de ordem mxn e B de ordem nxp, e o produto dessas matrizes será uma matriz C de ordem mxp com elementos $[;c_{ij;]$ determinados como:

$[;c_{ij} = a_{i1}\times b_{1j} + a_{i2} \times b_{2j} + \cdots + a_{in} \times b_{nj};]$

Para deixar mais claro, aqui vai um exemplo:

$[;A=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 4 & 5\\ 3 & 4\end{pmatrix};]$ e

$[;\begin{pmatrix} 8 & 2 & 3 \\ 9 & 5 & 7\end{pmatrix};]$

Então: $[;A \times B = C;]$

sendo

$[;C_{11}= 2 . 8 + 6 . 9 = 70;]$

$[;C_{12}= 2 . 2 + 6 . 5 = 34;]$

$[;C_{13}= 2 . 3 + 6 . 7 = 48;]$

$[;C_{21}= 4 . 8 + 5 . 9 = 77;]$

$[;C_{22}= 4 . 2 + 5 . 5 = 33;]$

$[;C_{23}= 4 . 3 + 5 . 7 = 47;]$

$[;C_{31}= 3 . 8 + 4 . 9 = 60;]$

$[;C_{32}= 3.2+4.5=26;]$

$[;C_{33}=3.3+4.7=37;]$

Agora montamos nossa matriz

$[;\begin{pmatrix} 70 & 34 & 48 \\ 77 & 33 & 47 \\ 60 & 26 & 37\end{pmatrix};]$

Observer que só podemos elevar uma matriz ao quadrado ou a qualquer outra potencia "p" se ela for uma matriz quadrada. Observe também que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então [;(AB)^k=A^k;]

$[;\times B^K;]$ e que embora com números reais a multiplicação é comutativa, com matrizes isso nem sempre ocorre.

Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada de ordem n, e existe uma matriz quadrada de ordem n B, com [;AB= BA= In;]

(matriz identidade de ordem n), então A é uma matriz invertivel ou não-singular, B é a matriz inversa de A e é escrita como $[;A^{-1};]$ .

Exemplo:

$[;A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix};]$

então:

$[;A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix};]$

já que:

$[;\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix};]$ $[;\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix};]$ = $[;\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]$

e $[; \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]$

logo, como $[;AA^{^-1}=A^{-1}A=I;]$ então A é invertivel e $[;A^{-1};]$ é a matriz inversa de A.

Há um método para determinar se uma matriz é invertivel e em caso afirmativo qual é a sua inversa.

Dada a matriz A podemos determinar $[;A^{-1};]$ , se existir, para isso:

$[;A^{-1}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix};]$

Logo, pela definição de matriz inversa,

$[;A \times A^{-1} = A \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]$

Se aplicar a definição de multiplicação de matrizes, encontrará um sistema, caso o sistema tenha solução, a matriz A terá inversa e seu inverso será

definido pelo resultado obtido (observe que o método funciona com matrizes quadradas de qualquer ordem). Caso caia num sistema que seja impossível (ou seja, a igualdade não é verdadeira) então A não possui uma matriz inversa. Neste caso, falamos que A não admite inversa, que A não é invertivel ou que é singular.

Bem, gente, por hoje é só! Na próxima postagem desta série veremos como aplicar tudo que vimos até agora e exercitaremos um pouco. Se gostou do blog, recomende aos seus amigos por Twitter, Facebook ou G+. Para receber nossas atualizações nos siga por e-mail ou aqui no blog.

Até mais!

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