Olá, gente! Hoje darei continuidade as aulas sobre matrizes. Veja aqui a AULA 1 e a AULA 2. Pretendo postar mais do que as 5 aulas previstas para essa série e "emendar" com determinantes.
Hoje falarei das operações feitas com matrizes. E mais alguns tipos de matrizes que achei melhor colocar aqui, pois em geral, para entende-las, você precisa saber operações com matrizes.
Igualdade de matrizes.
Para duas matrizes A e B serem iguais, elas devem ter mesma ordem m x n e seus elementos correspondentes devem ser iguais, ou seja,
. Aqui vai um exemplo para deixar mais claro
então ![A=B [;A=B;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_twBsoIY8xJLQ_KhDdMJleZeoN0HFLgKUe6Zy6nMZTNFB-AitW1ctS45JEvqZLoOZa2LBluE_3kflQrQA=s0-d)
Adição de matrizes
Para somar duas matrizes ambas devem ser de ordem m x n. E a soma
será uma matriz C de ordem m x n com ![c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} [;c_{ij}=a_{ij}+b_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_taQL4FcL_fwJdP56A7sdVGndETSXcWNpBzjgXTxeHwn7CVTTHWM2gTfBWW_LCiLJuqP76x2OjW8glxHd6VLQVCUbqw6hsLO7aEDKHhbYsqoXPv1jk2WkzZ=s0-d)
Exemplo:
Então,
![\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix} [;\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sjdONoClbX1Z0oTPF-LDEIweX-ldy_nOqSBWlv8U6qWTFMJZNbYhjKGHMrx3KSLhTybUw9JShv2gMX4sJFtm1bSiAvkBK-MYd4ntrDYUeilslPYXaBGaFNgMk37pCTB5SU_BA4uwq5ZhErKzFFPvt0uVPEQ6QGbwLBR21CkbE=s0-d)
Observe que a adição de matrizes tem algumas propriedades. Se A, B e C são
matrizes de mesma ordem.
P.1- ![A+B=B+A [;A+B=B+A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sFkbyIm67IHmm-n2nUPKSvcAEqQCctdLtrKWB6UUi3uxeXmdasK73K86Bz-V-wxexNyNRkabR3SNahDqk7GQ=s0-d)
P.2-
P.3- Se
Antes de definir a quarta propriedade, devo definir a matriz oposta de uma matriz A.
A matriz oposta de uma matriz A é representada por
e é a matriz que somada a A resulta numa matriz nula. Ou seja, ![(-a)_{ij}=a{ij} [;(-a)_{ij}=a{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sX1YJOh_dYW5FdpveJaUYbYsmIhkeKH8ZFGVYucOGNPKT-K3UdeO4FdIn4oVhGn0pvaBCAcky6hbfFXwFVIVpQqwnf6NOS6toMjuRQ_POWcTuScQ=s0-d)
Exemplo: Se ![A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix} [;A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u4e-ePho4j-Jof-mVRNMh7v8j6fH2-hkYz8BmDbADq4DAUbP629AKtQ00nuvUWDlAn4HcveBF3WzBJbQs1jW3AP98HjCEWOhqQ-HI76IRT18bPvN8EzzUH2SbyWVjham0v4qfJJczonqoQm6qDWSHOGUgfGlP2y8g8MzuQp-1lnQRV-7-t=s0-d)
então
,
então
pois
Podemos agora definir nossa P.4
P.4- ![A+(-A)=(-A)+A=0 [;A+(-A)=(-A)+A=0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGv1dPCyMnGGG9HXRcmMzfLrbCZBAzKhDX2LK2X8sD2tqJzcbeoZVNUI6JPf2PG_eMa3cp6XmwWU5OQdDoBS1VC8yv1IgVymp13H_seaVB=s0-d)
A demonstração das propriedades é muito facil, então fica a cargo do leitor.
Subtração de matrizes
Se A e B são matrizes de ordem mxn, então
será A somado ao inverso da matriz B, ou seja,
. Sendo C uma matriz de ordem mxn, com ![c_{ij}=a_{ij}-b_{ij} [;c_{ij}=a_{ij}-b_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sv-YDGmIX0Nf41kpjSAJUBzMEtyuEINnt9-SweqXUSG18FMi_eA7BjQS-WP3Lo0sAFTJ31F-D62B0QztI5kMur_bkY9-qPEeAa9jmbOUC4JjtaYyl2jozW=s0-d)
Exemplo:
então
Multiplicação de matrizes por um número real
Se temos uma matriz A de ordem mxn e elementos
e queremos multiplicar por um número real k, então kA será de ordem m x n também e seu elementos da i-ésima linha
e j-ésima coluna será ![k \times a_{ij} [;k \times a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uD-O_k9wo81YJBZPW3q-H1h4uGPXN5Q52iMp8_nPgOXGfnmrZoSK0roEgCjFMw1WOmzCWRFCZrLOhyyfyoAGr71jtjQAV7gHGZ0GUF5iKE5J8=s0-d)
Exemplo:
e
Se k e l são números reais e A e B matrizes de mesma ordem, ficara como exercicio mostrar as 4 propriedades abaixo.
P.1- ![(k + l)A = kA + lA [;(k + l)A = kA + lA;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_twjmOu77Yu2Mnvse0z8MVTbKSRy2l82_RZOAy0bQKbVZaw1J0vxoOjeB-AY05skNGf9GEhGiTAG-v-6UtahOBOppbwtiaCEL0WNh9w98TmosElhnndHDlaQw=s0-d)
P.2- ![k(A + B) = kA + kB [;k(A + B) = kA + kB;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTnobrrGv0U8_0OSuyCyNUsXZqQbyx8oqgZluY-8dbRfyeTtkrySTFXlqgju1_M_ahOWIaBS3EZmwtW5Gc9SpQ8U5MVwAEvOIrfLD_qIZng2JRpRVRXtWcYgQ=s0-d)
P.3- ![k(lA) =(kl)A [;k(lA) =(kl)A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tOgzaLoUKk9XJ-1VBGgD1-K48qt5YVmxdTcUdlYDLfC1GUH1vZOrx2McRoWrZFsByGG2ueD3XbqHBxkG4ZbUr1mkOCvJFgupHbQsBuwzE=s0-d)
P.4- ![1A = A [;1A = A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vkAWI1WWOhiSL_PxxCj1pjHwSqRzJ5yvibBbUTjUVk3JBhQlsXeRxZ0r2qaqsviIMgreOP6KJIV2-5tJsFNWAJAg=s0-d)
Veja que são verdadeiras estas propriedades. É só aplicar a definição!
Matriz transposta
Se
é uma matriz m x n com elementos
, então a matriz transposta de
, representada por
é de ordem n x m com
.
Exemplo:
Então:
logo,
![(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9 [;(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uOcKVDPm7ZXRg5NwZ_U8eukL2G7x6SR0YA0jQVLGy_8BEFCZG_B-tXMPbocWUXDnGAJTvPOY20J0Mg27lnRUSzkacH9hiVnw4VM4jgPImmJEdcnf4rzCXirpHFUjm9Yxdl5_IuGVwiMAzvhsAXZ-Zh3ZnEbK_nybyo2qmqmClY1MwlKWDEEr52SCgqKUS-C4hoHYNZnLYNmm0T_pS6bwpEAVvIihPYnQ88LC1cZz009b8DCsMXVwL9SQ=s0-d)
logo
Algumas propriedades a serem verificadas:
P.1- ![(A^t)^t=A [;(A^t)^t=A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSMK9Gbc3zQN5rjmi3SNNSjleY_6mf-gLwk0eo3WbYRnQ0NB2Bxd5iJ0z4vIuiG-P4JTt5kRVkjhaoycsX-4auoZSFe0ryaoAg=s0-d)
P.2- ![(kA)^t= kA^t [;(kA)^t= kA^t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v9ChJNrXuzRaHMcRO_398HVIf79c2qG-l4I3oZU_jdCDENBogMbJmoxz0niK3R7qmfWgH37a2lrQ3pbJcBYgA1ggmUBdDkfGyxs25NnP8=s0-d)
P.3- ![(A+B)^t= A^t + B^t [;(A+B)^t= A^t + B^t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrocVMEYoq0kkGIaaLlS9lbeOv9bxavY2H-D1MR2LyZ-ln99N4vdrVdAi_ElNxEH-vibcFtVE_Vk2497hcul9rAUaLcb6IvuiheN_p8KSa7VB0jmCDZQswK_I=s0-d)
Multiplicação de matrizes
Essa operação não é tão trivial quanto as outras.
Para multiplicar 2 matrizes A e B, A deve ser de ordem mxn e B de ordem nxp, e o produto dessas matrizes será uma matriz C de ordem mxp com elementos
determinados como:
Para deixar mais claro, aqui vai um exemplo:
Então: ![A \times B = C [;A \times B = C;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u60QRJkqzj2h7Ocjc3EG_ZWqOBrOBNygJaUjCB0RxA1pVvXnCxewQ8ncgitZTFMVFAo-EkrlNGh6IgnZS36tIgzZEkeGeHWY3ctSsao0GJ8Q=s0-d)
sendo
Agora montamos nossa matriz
Observer que só podemos elevar uma matriz ao quadrado ou a qualquer outra potencia "p" se ela for uma matriz quadrada. Observe também que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então
e que embora com números reais a multiplicação é comutativa, com matrizes isso nem sempre ocorre.
Matriz Inversa
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, e existe uma matriz quadrada de ordem n B, com
(matriz identidade de ordem n), então A é uma matriz invertivel ou não-singular, B é a matriz inversa de A e é escrita como
.
Exemplo:
então:
já que:
e ![\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} [; \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tnt20vtI5yB9PpCaCgZA8LzUMYpQwVvOJj62v3kDT2fXgzPuPlsph7HGtp_Y13TfM0Z38R8erowHRWpCaLCB3ksdd_GYLzXs37cTCOo8dqmIZ__EFiR7wzHUHM9FVdaxQ0cEJ3TXdKZ9blRmzd9Esm9sQqeUXu40moWl_KFOeQCTQn0Q85zXnyYB0R4IJdTSVHBbfbr8K5GLqej-9-VV_4YVL-sYDvW8rox6408LzsRoK729Qcwif4fY97dl2ys-60AdYNvJdIqCIZ8el_rSYxynnGVswOjdV5KVryP5UmLHU2x_bxokb8Ou4PMqd6oFZHyR5iFwYVX_kkvnoBebayKD8KAXe_64uOcXHcSlgv5IjbgcniihyS0qbTPjUwJxBn0Ip1f9sVDW9xPOrLEbyjSfZpgbK4i0qtcA6wNkVWyUZNYRWICb_KZkwWafo=s0-d)
logo, como
então A é invertivel e
é a matriz inversa de A.
Há um método para determinar se uma matriz é invertivel e em caso afirmativo qual é a sua inversa.
Dada a matriz A podemos determinar
, se existir, para isso:
Logo, pela definição de matriz inversa,
Se aplicar a definição de multiplicação de matrizes, encontrará um sistema, caso o sistema tenha solução, a matriz A terá inversa e seu inverso será
definido pelo resultado obtido (observe que o método funciona com matrizes quadradas de qualquer ordem). Caso caia num sistema que seja impossível (ou seja, a igualdade não é verdadeira) então A não possui uma matriz inversa. Neste caso, falamos que A não admite inversa, que A não é invertivel ou que é singular.
Bem, gente, por hoje é só! Na próxima postagem desta série veremos como aplicar tudo que vimos até agora e exercitaremos um pouco. Se gostou do blog, recomende aos seus amigos por Twitter, Facebook ou G+. Para receber nossas atualizações nos siga por e-mail ou aqui no blog.
Até mais!
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