Olá, gente! Hoje darei continuidade as aulas sobre matrizes. Veja aqui a AULA 1 e a AULA 2. Pretendo postar mais do que as 5 aulas previstas para essa série e "emendar" com determinantes.
Hoje falarei das operações feitas com matrizes. E mais alguns tipos de matrizes que achei melhor colocar aqui, pois em geral, para entende-las, você precisa saber operações com matrizes.
Igualdade de matrizes.
Para duas matrizes A e B serem iguais, elas devem ter mesma ordem m x n e seus elementos correspondentes devem ser iguais, ou seja,
. Aqui vai um exemplo para deixar mais claro
então ![A=B [;A=B;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sLfXfNkUqdYxYTXZtuzZbmZqOTjHt-BKjd5J6lUwr9Rx2EU38kT8iUvuRJCqc6KqA7_amRWME1Mbzvhw=s0-d)
Adição de matrizes
Para somar duas matrizes ambas devem ser de ordem m x n. E a soma
será uma matriz C de ordem m x n com ![c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} [;c_{ij}=a_{ij}+b_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vZ7j3tFXlztESbZ0EJhI7XN_jbdxaxkwSL6e8igm6REcKBloKjoEADhVGnFEbDKw4HmsIvOIJQXQm5FR0clUcXYrUx8e5H98YISa06G1r0SH_NVf8UqPjX=s0-d)
Exemplo:
Então,
![\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix} [;\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t8ZmQGPHZxd9VY7nAevQ8_nHgbP2hKZge82uIWkWySWuSYcbPN3FcPrKf4tYRToHK7deV2REQ2jW9Z2sEI9NdCU7-oYlbcji-bYt_6klulzgHavs7mrMLVLp3Z_6s3G29sRwMat5Q_65DNvmZCMN4isDLv2V3byp9bf7L7vOM=s0-d)
Observe que a adição de matrizes tem algumas propriedades. Se A, B e C são
matrizes de mesma ordem.
P.1- ![A+B=B+A [;A+B=B+A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uzmZCojb-IyK9HLsPwCuUlAY5ixwMqyX7yLePRwIHC_4cR7Po4BTpjmYUYB_UQ1mPahe8d2Xwz-NYuKfp70A=s0-d)
P.2-
P.3- Se
Antes de definir a quarta propriedade, devo definir a matriz oposta de uma matriz A.
A matriz oposta de uma matriz A é representada por
e é a matriz que somada a A resulta numa matriz nula. Ou seja, ![(-a)_{ij}=a{ij} [;(-a)_{ij}=a{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tyPXFBnheISmr73kUyzyTkSGOsKjwMSu-AYI4UULaa05L1hA7tBT5n7otQWJ-9n5nnVBwsrM1S2fCzn2c9fXA2x9nPndN5ZF_qgo6rDNmNHJpy3w=s0-d)
Exemplo: Se ![A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix} [;A= \begin{pmatrix}3 & 10 \\ -8 & 2\end{pmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vGQX2Gj-BMSUqHwmaQ4XgixLgRmKqJaessw5LmaSEe_y4SHccO5m48vuEKw91uXeRU8__mm5yAHG0L4rdJZPicgCIoRNJo7OVcVUY9tjLMPuid_CFdGGmhZm-_-VCDgygY_qdxVHcO97fSvrLuLQuyzRsOXS46-quKXnTDhvPFZgass4pl=s0-d)
então
,
então
pois
Podemos agora definir nossa P.4
P.4- ![A+(-A)=(-A)+A=0 [;A+(-A)=(-A)+A=0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tY3yK6lZ4lPTcbozgskw04URc_3Gbli2Z2XBUAq5MeWFisfxC_x9XHNyk3XNVCitAqPOZuTFB35LfN4aRyS60yqpQL3E-ffEF6yJtNSEr4=s0-d)
A demonstração das propriedades é muito facil, então fica a cargo do leitor.
Subtração de matrizes
Se A e B são matrizes de ordem mxn, então
será A somado ao inverso da matriz B, ou seja,
. Sendo C uma matriz de ordem mxn, com ![c_{ij}=a_{ij}-b_{ij} [;c_{ij}=a_{ij}-b_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSabbanBUTkBwSkeG4VIT_TRASDFrsh4QH6t8S1qryVtoihuzxKlcXJuS9rW6fR156KieM_fPVEEs-yg8PWL0PTmXvqyk81k1FqaqRhtlrj0Bqs745TlwF=s0-d)
Exemplo:
então
Multiplicação de matrizes por um número real
Se temos uma matriz A de ordem mxn e elementos
e queremos multiplicar por um número real k, então kA será de ordem m x n também e seu elementos da i-ésima linha
e j-ésima coluna será ![k \times a_{ij} [;k \times a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTZCCMADMgQQ-waPXGMBb75WebxvfVp5HDOHrHjKonwY2OSpu-FpD6vVQ6nhsj8YaUZ0OFT9FpbBnyoaOkYLkvZ76AWuaSWiof1peaW67Ozls=s0-d)
Exemplo:
e
Se k e l são números reais e A e B matrizes de mesma ordem, ficara como exercicio mostrar as 4 propriedades abaixo.
P.1- ![(k + l)A = kA + lA [;(k + l)A = kA + lA;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swel6JYpLu2vJzaaN_eLujcDjczukf-HvMgiqGuF2SbQPEfFMR-9IwdHvWJBvUfQmOmEPImSwCSXlm4DmPWznFwkVzzUs5vyl-oCQgySHXxEXFyvyLRnh5bg=s0-d)
P.2- ![k(A + B) = kA + kB [;k(A + B) = kA + kB;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v1jQcDP1u8V2-WaWVIOJyfxQq5cR22zSBQT4EMQ1julMP1hB_UTUw3BC6MPU58A3MN2tGhENK46rmCNpZ1WgsSOiLql1lrV7BhYts68rYwyJNsOl3FgcL9o2Q=s0-d)
P.3- ![k(lA) =(kl)A [;k(lA) =(kl)A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vV73HygnM4fJ7M60HqEFOG7iKUpBGSWBCIBr6jOtdd7cPPkMgwiSTIWzEi2HvZ7fFtp--nTdZtdIm46ObBGZU8wyHDErw3DxdEsQgk_w0=s0-d)
P.4- ![1A = A [;1A = A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s0EbQpHE5UzGsAvo5C8J4wF-KgIs0wNVSjGmH-ciPErYD58SJ80tDGo83p3eAbvy7tvCqfq59UII9QrpKEU3OUPQ=s0-d)
Veja que são verdadeiras estas propriedades. É só aplicar a definição!
Matriz transposta
Se
é uma matriz m x n com elementos
, então a matriz transposta de
, representada por
é de ordem n x m com
.
Exemplo:
Então:
logo,
![(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9 [;(a^t)_{12}= 4 (a^t)_{21}= 2 (a^t)_{22}=8 (a^t)_{31}=3 (a^t)_{32}=9;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tTqcuUNEwYpKfA6KCEnFYtFCl0un_qZcoTr9IhcXdkhSak4NL9CHZhNm7MEfDw7y49vkiRCfxp21zQS8-aO6OuMT9YRqcabkvtUnXTM7FT7EzpmANZDit5ASMFk5QSO7_qbpWdNlnpsFyi9YR4efzLXZS6l_U8c2Py906RzVw2EIb69ZTL6kzUDDUqmhutsACqIXShmErGd1-jJFNuRQbDQZdj-piiKFCpK9SyJEfv5jXj7GtnxdDf9A=s0-d)
logo
Algumas propriedades a serem verificadas:
P.1- ![(A^t)^t=A [;(A^t)^t=A;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tBGrnOnWiq0dKpsShkpj2ZV694ccOPwus8UgIShvO7aRbDaFSdw_tuGJGaZGGxE3HQVoDvjHp2th_IcSdPHfuZ6L9OMb7CY4Vg=s0-d)
P.2- ![(kA)^t= kA^t [;(kA)^t= kA^t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgMW6_bC2HStkplUybPzq0L6PFXL8RSsUESmd_Ml1e7MaCdmaYUVzXASbYWP55irApIfPgQsgX5-TYimoNsObFoP7jPYuXfOBaeTP-vHg=s0-d)
P.3- ![(A+B)^t= A^t + B^t [;(A+B)^t= A^t + B^t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQFyvZFDqCCwyZHXaUipZeOG0wTZJu4SGiPMpHnMe-eUMkr9j_GuD96PcgKMvSYuYGLtDU426oy2ywKmpzbh79DRmjj_GsSxS3uVPrtXLEpOjPnlBuQfjoULA=s0-d)
Multiplicação de matrizes
Essa operação não é tão trivial quanto as outras.
Para multiplicar 2 matrizes A e B, A deve ser de ordem mxn e B de ordem nxp, e o produto dessas matrizes será uma matriz C de ordem mxp com elementos
determinados como:
Para deixar mais claro, aqui vai um exemplo:
Então: ![A \times B = C [;A \times B = C;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ubQDZlntLgIELOr94pw4GnCWTSbACvr7E1E3dEOSn1EJdxeJE02mCbtKdgkrVfr-r9cCxq1nKNDmRb_cMXSW1efRy7QkKn_X4Q4N9QiF9vcw=s0-d)
sendo
Agora montamos nossa matriz
Observer que só podemos elevar uma matriz ao quadrado ou a qualquer outra potencia "p" se ela for uma matriz quadrada. Observe também que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então
e que embora com números reais a multiplicação é comutativa, com matrizes isso nem sempre ocorre.
Matriz Inversa
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, e existe uma matriz quadrada de ordem n B, com
(matriz identidade de ordem n), então A é uma matriz invertivel ou não-singular, B é a matriz inversa de A e é escrita como
.
Exemplo:
então:
já que:
e ![\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} [; \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxDnxARjIpPORJP7upj1ZC8J9K9JRJZ7n3DpnUUv-4KILM2rIoVoGXkwhJRq-WjJmyHLjIDIgwTa-b4hU7zbPW_DXwQzhO9x8Esv_L_Brcj5mDFd1LHPelDscZ7AJJ9PSsmH-2iQMFxRVNM-Vg5jrmZYKFQeukKED_YXxY1fOyg-yU8W3z8FxF4FvhLf0wpnCcpFYxj-uj1VkEUw4dILCOhjyh0oPyKDLxZp7cvVEPnzM8nI3EmbskbKvECNx5rUX0eKAJ4fgv4ashcKwsqXEquLcZd_idmQHdkgQWC15lO1fxTkIgz3aQznhvQisdiEFptD2zwodiFUvJqEV_KD1c8M2355EhntfgAPsW-Uky4Sw0XYVjyghAN1KjfT-FlwW4DXPTlq1XJ3hbHFWkSN1uccKTc_VYPwwMxeWaReK8ta5T2zl1iOoSJ-aE0S4=s0-d)
logo, como
então A é invertivel e
é a matriz inversa de A.
Há um método para determinar se uma matriz é invertivel e em caso afirmativo qual é a sua inversa.
Dada a matriz A podemos determinar
, se existir, para isso:
Logo, pela definição de matriz inversa,
Se aplicar a definição de multiplicação de matrizes, encontrará um sistema, caso o sistema tenha solução, a matriz A terá inversa e seu inverso será
definido pelo resultado obtido (observe que o método funciona com matrizes quadradas de qualquer ordem). Caso caia num sistema que seja impossível (ou seja, a igualdade não é verdadeira) então A não possui uma matriz inversa. Neste caso, falamos que A não admite inversa, que A não é invertivel ou que é singular.
Bem, gente, por hoje é só! Na próxima postagem desta série veremos como aplicar tudo que vimos até agora e exercitaremos um pouco. Se gostou do blog, recomende aos seus amigos por Twitter, Facebook ou G+. Para receber nossas atualizações nos siga por e-mail ou aqui no blog.
Até mais!
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