Olá, gente! Hoje falarei sobre o método de demonstração por redução ao absurdo. A teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada.
De forma didática, para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a tautologia que citei acima torna a negação falsa e a afirmação verdadeira.
Para deixar mais claro, aqui vão alguns exemplos clássicos.
E.1- Mostre que
é um número irracional.
Vamos supor que
não seja irracional, então
sendo ![mdc(p,q)=1 [;mdc(p,q)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vztgA0EWjHDWrLiqvwpkYIK2AEst1BtG3gSK1xAW5a4d0On561baXbMXbJk_88EfC_BACyXvAFnDO-1mqhqA6o4Il1xpCH=s0-d)
elevando ao quadrado 2 =
então
Absurdo,pois contraria a suposição de que
. Logo,
é irracional.
C.Q.D.
E.2-Prove que o conjunto dos números primos é infinito.
Vamos assumir por absurdo que o conjunto dos números primos seja finito e que seu maior elemento é
.
Então
é um múltiplo de todos os números primos existentes.
Então
não é múltiplo de nenhum outro primo, ou seja,
Ou seja,
ABSURDO,pois contradiz a existência de um
máximo. Logo, o conjunto dos números primos é infinito.
C.Q.D.
E.3- Prove que todo número primo maior que
pode ser escrito de maneira única como a diferença entre 2 quadrados.
Inicialmente temos
.
Com isso mostrei que posso escrever qualquer número ímpar como a diferença entre os quadrados de dois números consecutivos. E isso é quase toda a demonstração, pois todo número primo maior que
é ímpar.
Basta apenas provar que essa representação é única.
Vamos supor por absurdo que essa representação não seja única, então existe um
natural maior que
que satisfaz:
Porém: ![(n+k)^2-(n)^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2 nk+k^2= k(2n+k)=p [;(n+k)^2-(n)^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2 nk+k^2= k(2n+k)=p;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGdAkR-xxipJRdT8ixUvKvVxfZzex0G2joSBfZYntwIMrxbvY1wv-YJsOcJ0YT9NWr0Is1OCNvG1OPxdDCewlPz2EOOKas8mP_4WUOX3wZBoqHMddvvKdeF9LFlRr_phHSCpGR3QU-mVmcdPLpwYDrb7QXT-Ixk8tMqNGApiDdRo294BHG=s0-d)
Ou seja,
é um múltiplo de
,porém p é primo, então
ou ![k=p [;k=p;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vx5krNu-BpN5UYtquVXIZ_3yPx8T50rCUbLKrXTDdpbV8unDHdYcvYPAq2n6mRbeDHfP2QIr9jOLq5=s0-d)
Absurdo, pois contradiz
e
não satisfaz
para todo n natural.
C.Q.D.
Bem, por hoje fico por aqui, fique atento aqui no blog, pois brevemente teremos mais postagens.
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Até mais!
Incrível!
ResponderExcluirEste comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirCaramba! Na verdade não houve explicação nenhuma do método em si. Por que a redução ao absurdo é valida?
ResponderExcluirNão aparece as imagens para mim oq faço? :(
ResponderExcluirMuito interessante...
ResponderExcluirNão entendi em aula, aqui menos ainda... bahhh
ResponderExcluir