Olá, gente, hoje iniciarei uma seção em que darei algumas dicas importantes para a resolução de diversos problemas. Essa Seção ficará aberta para sempre, para que eu possa acrescentar artigos com alguma frequência. Como plano inicial, espero que até o final de Julho esta secção esteja com alguns artigos sobre métodos de demonstrações matemáticas e outras dicas bem importantes. Hoje falarei sobre o Principio da Indução Finita ou Método de Indução Matemática e suas variações.
Antes de explicar esse tema muito amplo, citarei alguns exemplos.
* mostre que:
* mostre que:
* mostre que:
(Após demonstradas essas propriedades, tentem gravá-las e refazer as demonstrações, pois são bem importantes!)
O MIM ou PIF consiste basicamente em uma maneira de provar uma propriedade para todo . Para isso você deve verificar coisas:
i) (Base da Indução, passo base ou passo básico) Verificar se é verdadeira e
ii) (Passo indutivo) Verificar que se é valido para algum n natural, , implica que também é valido.
Em geral, há uma certa confusão pois pode parecer que é usar a hipótese para demonstrá-la, o que claramente não é valido, senão qualquer hipótese seria verdadeira. De forma mais didática, a demonstração pelo MIM equivale a demonstrar que, se vale para e que se toda vez que vale para n, vale para seu SUCESSOR.
Por exemplo: imagine que eu subo uma escada, e que eu garanto que, se eu subir um degrau, então eu subirei mais um, com isso, eu subirei 2 degraus, e como eu subi 2, eu subirei 3 e assim por diante. Ao final, eu terei demonstrado que é possível subir uma escada de n degraus para todo n natural (a menos que eu fique cansado hahaha).
Vamos agora a mais alguns detalhes técnicos e exemplos.
No passo base, verificamos a validade dessa propriedade pra um valor inicial. A Hipótese de Indução (aqui no blog abreviarei para H.I.) é a propriedade aplicada a n, ou seja, , e o passo indutivo consiste em mostrar que, se a Hipótese é Válida para um n, então ela valerá para um n+1, mas veremos como funciona na prática.
*Mostre que:
Primeiro, temos a base da indução,
Logo, o passo base é verdadeiro.
Depois, supondo que seja verdadeiro para algum n, então
, de fato,
botando em evidência,
C.Q.D.
, de fato,
botando em evidência,
C.Q.D.
Acho que com esse exemplo ficou claro como é feita a demonstração pelo MIM. Aqui vão mais dois exemplos para ajudar.
*Mostre que:
Inicialmente, vamos mostrar o passo básico.
Logo, o Passo básico é verdadeiro.
Nossa Hipotese de Indução é:
Vamos mostrar a veracidade do passo indutivo.
Botando em evidencia e fazendo algumas contas...
porém , logo
porém , logo
que é exatamente nosso
C.Q.D.
C.Q.D.
Uma boa dica é escrever como deve ficar seu para que isso indique um possivel caminho para a solução do exercicio. Tal ideia será muito util na resolução do exercício a seguir.
*Mostre que:
Passo Base. logo, o passo base está correto.
Passo Indutivo.
Inicialmente, para facilitar, temos que tentar entender quanto aumenta em relação a quando passamos para , primeiro,
escreveremos
após isso, fica facil ver que:
após isso, fica facil ver que:
(é só ver que cada termo de 1 até n multiplica (n+1) 1 vez, depois (n+1) multiplica cada termo (incluindo n+1) 1 vez).
Isso é o dobro da soma dos termos de uma P.A de razão , e (veja mais sobre P.A aqui) logo,
Esse processo informalmente demonstra o teorema, porém como isso pode parecer usar a hipótese para demonstrar a hipótese, quero terminar com calma a demonstração.
Passo Indutivo (formalizado)
por Hipotese de Induçãoporém como mostramos acima,
Porém, como mostramos acima,
é a diferença
por Hipotese de Induçãoporém como mostramos acima,
Porém, como mostramos acima,
é a diferença
logo,
C.Q.D.
C.Q.D.
Antes de terminar esse post, para que não fique muito longo, pois o assunto é bem extenso, eu gostaria de mostrar um erro comum ao usar o PIF.
Por exemplo, demonstrar que a soma dos n primeiros números ímpares é
Definiremos um número ímpar como um número da forma (note que o n-ésimo número ímpar vale ).
Nossa Hipotese de Indução é de que
então
então
CLARAMENTE ISSO ESTÁ ERRADO!
O erro é simples, o passo base não é valido, em geral, algumas pessoas não verificam o passo base por acharem muito trivial, mas não é e ele é tão importante quanto o passo indutivo.
O erro é simples, o passo base não é valido, em geral, algumas pessoas não verificam o passo base por acharem muito trivial, mas não é e ele é tão importante quanto o passo indutivo.
Só por curiosidade, a soma dos n primeiros números ímpares é e este é outro fato bem útil (para exercitar,tente demonstrar isso por indução).
Até mais!
*** Lembre-se: Para melhorar a qualidade do nosso blog, avalie esse post.
*** Lembre-se: Para melhorar a qualidade do nosso blog, avalie esse post.
Boa noite! Estou pesquisando alguns posts em Teoria dos Números e percebi que em vários deles as expressões não estão aparecendo. Há um motivo? Obrigado!
ResponderExcluirOi, Diogo!
ExcluirInfelizmente, é um problema recorrente em postagens antigas.
Em breve vamos consertar tudo isso.
Abraço,
A Equipe do Blog.