Olá, gente, hoje iniciarei uma seção em que darei algumas dicas importantes para a resolução de diversos problemas. Essa Seção ficará aberta para sempre, para que eu possa acrescentar artigos com alguma frequência. Como plano inicial, espero que até o final de Julho esta secção esteja com alguns artigos sobre métodos de demonstrações matemáticas e outras dicas bem importantes. Hoje falarei sobre o Principio da Indução Finita ou Método de Indução Matemática e suas variações.
Antes de explicar esse tema muito amplo, citarei alguns exemplos.
* mostre que: ![1+2+3+4+5+...+n= \frac{(n+1).n}{2} \forall n \ge 1 [;1+2+3+4+5+...+n= \frac{(n+1).n}{2} \forall n \ge 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vCgy7w-Iq1pqGrCaKXqqmayEYqQ6oN6eN8JumT-F1vF5oPb2-3viNTVD9YNYxhRAB_6uOKzs_-pfbsmBujsqtvaxJWI1PA5FFejBiryz8G0_gaB2NAXO2AuHfhrLCKGx9LtJxm-Pf8EEkZkjOMIq1Y7ICWAMlaqJd1V_ZvQK3HMwp5ZD-hQAGBfQ=s0-d)
* mostre que: ![1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n \times(n+1) \times(2n+1)}{6} \forall n \ge 1 [;1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n \times(n+1) \times(2n+1)}{6} \forall n \ge 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJ4B_VxUCE2UrlFAW1B9JqZIhTxZCiRvyiyDOVmsHwO_mD_nvmjJo943p9-TC7u6LyEoXBEGn2jwVCe9GErXOnP6C41KyPc-G_usT8h2cZ2xVlnfpjha380FZ2FEoDEiBXU4V-3LzCIBAJBZCBHB1tW_5yeMCklefb-1W67UcI8-yW6J8bj0RAfHlfXLx4WhUlXZYqwrz7KCF9ZnkDTQREfbTCGUzc-REOwv8H1QfNVh8enhEDYswPgnAN=s0-d)
* mostre que: ![1^3+2^3+3^3+...+n^3= (1+2+3+...+n)^2 \forall n \ge 1 [;1^3+2^3+3^3+...+n^3= (1+2+3+...+n)^2 \forall n \ge 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uRUC6sqbvQPc20o2EA26u__kzk97uK5OyVy41M3hqBmS5N8fbH8mmnv1V9im_uJYzIjfdiHqzJfG9wU4tvk0Es4OJM5TDobVpnB9j8n69ITGhVG7OVJ3omhP9HfEmkUS4XXr5Fch7ZyeJFyn0yiaLTHLMusVsXca9O5aW1Qr8DhXWm2m9298IOTJzbCUjZvaKE=s0-d)
(Após demonstradas essas propriedades, tentem gravá-las e refazer as demonstrações, pois são bem importantes!)
O MIM ou PIF consiste basicamente em uma maneira de provar uma propriedade
para todo
. Para isso você deve verificar
coisas:
i) (Base da Indução, passo base ou passo básico) Verificar se
é verdadeira e
ii) (Passo indutivo) Verificar que se
é valido para algum n natural,
, implica que
também é valido.
Em geral, há uma certa confusão pois pode parecer que é usar a hipótese para demonstrá-la, o que claramente não é valido, senão qualquer hipótese seria verdadeira. De forma mais didática, a demonstração pelo MIM equivale a demonstrar que, se vale para
e que se toda vez que vale para n, vale para seu SUCESSOR.
Por exemplo: imagine que eu subo uma escada, e que eu garanto que, se eu subir um degrau, então eu subirei mais um, com isso, eu subirei 2 degraus, e como eu subi 2, eu subirei 3 e assim por diante. Ao final, eu terei demonstrado que é possível subir uma escada de n degraus para todo n natural (a menos que eu fique cansado hahaha).
Vamos agora a mais alguns detalhes técnicos e exemplos.
No passo base, verificamos a validade dessa propriedade pra um valor inicial. A Hipótese de Indução (aqui no blog abreviarei para H.I.) é a propriedade aplicada a n, ou seja,
, e o passo indutivo consiste em mostrar que, se a Hipótese é Válida para um n, então ela valerá para um n+1, mas veremos como funciona na prática.
*Mostre que: ![1+2+3+4+5+...+n= \frac{(n+1).n}{2} \forall n \ge 1 [;1+2+3+4+5+...+n= \frac{(n+1).n}{2} \forall n \ge 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u_73C-kf2WlAMI--uy6M1y2oUa2z4EOLBlyjdhQGFOI4Qqyl_6-vMTLlWDL-RID76vD2KtfAHgZsii_16QQLpN1hML3KOraMVe38PegjmQtsOCAXWh_Bkv_px486kX-N-4xwOt2Jt4Qa6g46F2aHFdSiKSujmV-eAF-AZtF4KweBEuGwsxUEWD45C8yh83qg=s0-d)
Primeiro, temos a base da indução,![n=1 [; n=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5mG5wrq6neqVX-y5WFqPiRkNlArlpS5PpXaMpa1GKgOJWtU4G5ch7JpNpMeISkk3nIcAWc0DawI7_ud90vQ=s0-d)
Logo, o passo base é verdadeiro.
Depois, supondo que
seja verdadeiro para algum n, então
, de fato,
![1+2+3+4+5+...+n+(n+1)= \underbrace{\frac{(n+1).n}{2}}_{1+2+3+4+5+...+n} + (n+1)= \frac{(n+1).n + 2(n+1)}{2} [;1+2+3+4+5+...+n+(n+1)= \underbrace{\frac{(n+1).n}{2}}_{1+2+3+4+5+...+n} + (n+1)= \frac{(n+1).n + 2(n+1)}{2};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_szh98vBJ87YxS_9WZvYQPmXuZQhuYSlRAGv0RANqCapy3RyT-RamZfjNeejzWxJZ9CrbD42ZyHtHUpswFxWI6_zf6mZmN62h3ixrA6ERjj0Ygtr_0Y96oapekQyOl4hg4dRO_KmXk1-ZCBx-FlhHCdpIt22gZ1dL21fznL-0MNgdc08yHTVuIB_S7T-8hFzOecw65eWFe22hR7djG38gGQc8XjjfMYcflSP5DKad0iFF9y6T6CC3j_iuPC_V40sIWU6jj_s-B8mCbEVHVOlT7dB5a6Xn3lXda5qJKJgjMu7qb0=s0-d)
botando
em evidência,
C.Q.D.
botando
C.Q.D.
Acho que com esse exemplo ficou claro como é feita a demonstração pelo MIM. Aqui vão mais dois exemplos para ajudar.
*Mostre que: ![1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n \times(n+1) \times(2n+1)}{6} \forall n \ge 1 [;1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n \times(n+1) \times(2n+1)}{6} \forall n \ge 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uBn_ni_1jJm32FDbVuL2mUGV2YnZ8MWkXHOpqOXKZjWELuzdq100GMGPobPvRaqqmaz4vIwD20oApnMAif-l7AeZRe6JoNQk2TsW-vcgTB3A32eNWC2Q78PJmvemaDVSTvNev24ZS71uxwtSakRUFMbZvFSol5VxtnsRc7uM6i5LTxnfoLxpLDWMszmNtUh8hBZyKYP-lBx0r3kg6-Oln5-KzJMmLk6D_MQBeLXaX8lws2LDk=s0-d)
Inicialmente, vamos mostrar o passo básico.
Logo, o Passo básico é verdadeiro.
Nossa Hipotese de Indução é:
Vamos mostrar a veracidade do passo indutivo.
![1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2 = \underbrace{\frac{n \times(n+1) \times(2n+1)}{6}}_{ = 1^2+2^2+3^2+...+n^2 } + (n+1)^2 = [;1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2 = \underbrace{\frac{n \times(n+1) \times(2n+1)}{6}}_{ = 1^2+2^2+3^2+...+n^2 } + (n+1)^2 =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u10dlR3bA2FWS9IH45y4DHK1Jz2YsEq_-2mcyWHwzgI-CL1mUCVAtOsLHS3DdmTwySZ7cNChQSfJmghb3iRiBhXAXTzPG8r-RG6GS1ffGVFbhJbgCd0n7LA93CHxwcyEVViwVJx-9ze9NwZ9uqa_GNoe-kfd5ZioqEl19C5cw8wQhvt7_NWMXGlHn8WufPMWCCvFdVQsI0IUfhc4kdKkx8NcOaiWC84WpL4jnyR4Dsdllt-H-iw3zbuULCyPnOdzdaRXIpN8KlkD0sMJyzTwgdSls9SWKhS0JMqPTTE8lJTRW0rGv0W_b0hMfyZ8UFskB1cVr6LGYGI1rs-Fv7=s0-d)
Botando
em evidencia e fazendo algumas contas...
porém
, logo
![1^2+2^2+ \cdots + n^2 + (n+1)^2= [;1^2+2^2+ \cdots + n^2 + (n+1)^2=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_slbC_g_xeRkYsoXMNq6F_9pFQwIZX26gpuw3rxopmJota64shz8JmDbivDTX42XMuKpRBs2bYY15Reej55To22fXYqRc2AiCMP-ap5TJ_FgUsqjEKd3ze7WtubvqynxLJvu2njyNRBjj35CA3079o=s0-d)
![\frac{(n+1) \times(n+2) \times (2n+3)}{6} [;\frac{(n+1) \times(n+2) \times (2n+3)}{6};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ukh_CxvRvON8jKy1b0SY9k47VfhKCbIgoR3z1mjec33Chnm-Kv7_hkQQ5-FPTjTr3Ay9rLv3dy6Fh59YT_hhT8JPwwsQuPelAER3vER6aCZ7llXnZGSgupFUkzKm44yH0AJvsGRZZyKRx888OH0BpiAxKg6gXe8LZXOnldtv9sRA=s0-d)
que é exatamente nosso
C.Q.D.
C.Q.D.
Uma boa dica é escrever como deve ficar seu
para que isso indique um possivel caminho para a solução do exercicio. Tal ideia será muito util na resolução do exercício a seguir.
*Mostre que: ![1^3+2^3+3^3+...+n^3= (1+2+3+...+n)^2 \forall n \ge 1 [;1^3+2^3+3^3+...+n^3= (1+2+3+...+n)^2 \forall n \ge 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vyELuMlIS8yUwzxGEYSKt0V_sjTknjJ2vT3xEQHBJPdSPpj1YCU4MjUCQ_eYB8yeQkUEti259b6FEWvQWSqHfAtFamkogsmAtSRxAJwcsd0jMpsY7p4QGKeYRyABTOLsGUuUdQj4s-RMGT6LzoBxWTcev9eFmrzD2d33IvKg2asmh7wXJOitM=s0-d)
Passo Base.
Passo Indutivo.
Inicialmente, para facilitar, temos que tentar entender quanto aumenta em relação a
quando passamos para
, primeiro,
escreveremos
após isso, fica facil ver que:
![[1+2+3+4+...+n+(n+1)]^2 - (1+2+3+4+...+n)^2 = [;[1+2+3+4+...+n+(n+1)]^2 - (1+2+3+4+...+n)^2 =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udiX1EESF5MhVlG-q31rZwUCBj_VTgqXmU_WtNfaY5hUTK53dIDbKGP9sN5y4RdKQ9BLXZsyv0zcLmHo-SjQ9rYtaB6cAU8nozmFZgCF8xgBOhjY3ongIIKeiJR14hADhbRmB2UX6Dcfg0fU1aNzET6JD5nmyEfnr1vcE=s0-d)
(é só ver que cada termo de 1 até n multiplica (n+1) 1 vez, depois (n+1) multiplica cada termo (incluindo n+1) 1 vez).
Isso é o dobro da soma dos termos de uma P.A de razão
Esse processo informalmente demonstra o teorema, porém como isso pode parecer usar a hipótese para demonstrar a hipótese, quero terminar com calma a demonstração.
Passo Indutivo (formalizado)
por Hipotese de Indução
porém como mostramos acima,
![(n+1)^3= (n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)(n+1). [;(n+1)^3= (n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)(n+1).;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vQayNQvGqWmLSx5C0MWXadb5sIvl9ciN7hZyf0PBtFQHVebqzvehtb-rmz8L8MgDYup5RTrUCCKuuY88Wcvl8jH282Cka7QxWO7SX1tuoVYYiQ4k_9yksBzUCPURVPVrMrRybVmKeWhlUKjrUyjAsv9OIvd4zOpzVbwnr5EXGlyrBVAr3140r7GCr7yLY9_9dOdNAkCHVX98ctykt9BfIjbZX4wt2R3JM1l7SN8u-EeUoB5t2tusO1DiOe=s0-d)
Porém, como mostramos acima,
![(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)(n+1) [;(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1)+(n+1)(n+1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0C-Jb1beAT8QZ3e4--hGF0-dHgM-B34295i5LEnDyP6ICVvFzsg2sHOcYS7_Ki0OOh_XX7ZD2Q9dzju3cWUeaGeWIHAJETdzEp_qVqQYwtIGWNfjbI8l8bTw8L2JlNkcso2nXenUUqNsTVF-0mMOpMEEUCz6tsHBFQvmeEEfFuqtGgtoV19yH3BNq6sl4zxrZi_ZIYxVn9WDy0mogCF9gLQE74ucUefk=s0-d)
é a diferença![[1+2+3+4+...+n+(n+1)]^2 - (1+2+3+4+...+n)^2 [;[1+2+3+4+...+n+(n+1)]^2 - (1+2+3+4+...+n)^2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vXGJJciej8UWzJ9vDZTwSOGX7HqFTlGLXxWQUqiFWv-S3kuZ_QI_vpF5ggrxZBhfscu-UK7rPeObeHMQj6n-CHgSh-qfITSv-aiRZJggkNrCfg3RTqIM7FYzSLO-77eejSikvSpXof8VICmMabJ1QwTauOlcBgWQ=s0-d)
Porém, como mostramos acima,
é a diferença
logo, ![(1+2+3+4+...+n)^2 + (n+1)^3 = [1+2+3+4+...+n+(n+1)]^2 [;(1+2+3+4+...+n)^2 + (n+1)^3 = [1+2+3+4+...+n+(n+1)]^2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_satY8AF8tr07jOmBx0HOkYrnYNBJQ9veGcJsboF8qLqnLDv0mFuzwNf2O9gELHJfF2Frfe4NBZBQa_wUuohdHuJbusGnc4xMwLnzIzsyAd8KSvW8uJPYDhQI92znXwT357OJsqlyGL2tEcShc4RDsHqsYn-FJeKp9RNfM2DVPwgm9UsIXvbbSi0ZEZ=s0-d)
C.Q.D.
C.Q.D.
Antes de terminar esse post, para que não fique muito longo, pois o assunto é bem extenso, eu gostaria de mostrar um erro comum ao usar o PIF.
Por exemplo, demonstrar que a soma dos n primeiros números ímpares é ![n^2 + 1 [;n^2 + 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vsoN6bwvBANGipl-3z-zGbVdI8nCRrFbbCR9Y1muxCBkH0RYvuFvyIEJKtlEUH_iOaYUUOAx06-DAoZIdk8Vr_znsZtHs=s0-d)
Definiremos um número ímpar como um número da forma
(note que o n-ésimo número ímpar vale
).
Nossa Hipotese de Indução é de que
![1+3+5+...+(2n-1) = n^2 + 1 [;1+3+5+...+(2n-1) = n^2 + 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vwMFsjbUP2xhk42ii9hzOomY_ZDmRZv2S2hucHZDOCR9aAsE8AHaRerZvVTKk9pDSPWvKau9vMKeTTtbfuX78xnAwn9ATLdZ3avPdrl1SAEgOmN9BQ29WDjVn0UPWPKgY=s0-d)
então
![1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)= n^2 + 1 + 2n + 1 = (n+1)^2 + 1 [;1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)= n^2 + 1 + 2n + 1 = (n+1)^2 + 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udvmThfMEIF3QL48rpgorrSdFncKXcJhYBe_bJqoeqGJeR5AKwerntWLv0CZojAmxq_hBsmyxypdvTUaZdQUUzmTGxZHzRVQwpAnyzE-ewvY43j0BHaQwRaLLP09sas2FOdLdry3AbjjoVet8blmBjMISj4YQmlnYA3AjXRCsUV6lDHzcNshvuM3OwLSr_UwL5oky98A=s0-d)
então
CLARAMENTE ISSO ESTÁ ERRADO!
O erro é simples, o passo base não é valido, em geral, algumas pessoas não verificam o passo base por acharem muito trivial, mas não é e ele é tão importante quanto o passo indutivo.
O erro é simples, o passo base não é valido, em geral, algumas pessoas não verificam o passo base por acharem muito trivial, mas não é e ele é tão importante quanto o passo indutivo.
Só por curiosidade, a soma dos n primeiros números ímpares é
Até mais!
*** Lembre-se: Para melhorar a qualidade do nosso blog, avalie esse post.
*** Lembre-se: Para melhorar a qualidade do nosso blog, avalie esse post.
Boa noite! Estou pesquisando alguns posts em Teoria dos Números e percebi que em vários deles as expressões não estão aparecendo. Há um motivo? Obrigado!
ResponderExcluirOi, Diogo!
ExcluirInfelizmente, é um problema recorrente em postagens antigas.
Em breve vamos consertar tudo isso.
Abraço,
A Equipe do Blog.