Olá gente! Hoje eu enunciarei e demonstrarei os mais populares critérios de multiplicidade.
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:
No sistema de numeração decimal, um número
representa:
![10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n [;10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sUqlj6ud4Fd7jYGVcWAOYqkA3utcJtMmlNd3KyepX-Wth8mQmRIbiPgeSGh83wwDc1lQMUULd0hNRfjBrAFsAQAbmArB3k-WcaamS0gQRJiFwBGZOsHEwAOKu6W1XUKjMCeJR1L3auyv9xEBi6t6R3WEpQIfrtUgb-DqEdRo8pbGnZzPmcQgghLG8ge1t7=s0-d)
Assim,![2012=2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2+ 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0 [;2012=2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2+ 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uzy7RzOTpqMSgm7BGym7gApnw8uARa4tM8kM1xCp92rdyWeOpxBX32NnMXOh78Wdxtlm8rn_h3F6qA6qweuxW8jMKma49sCy5cGseRgqK00fRfYxXldttY8rOTV9NPxbmmf-nitaVnExmqXrfqfPv72mV55HyDyTk5VQrM-Xc90tP6ZTxnejpFQwqQJX-yTx_FDFywAv6w4h4=s0-d)
Critério de multiplicidade de 3-
Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.
Demonstração: De fato, se![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u1Vkq2O_mSO7ed3Ii2JA1qKpw_3ALGZjmYpdg-gSS4KpQluyot9bSG8F6D5w4vYMkM8Imif87Kel-0po0Oe7sBAZI5HC-m-80pNHPjQ2r5AD7KOVr-TtwugjNr_wcFlsl7XvpdxPi9qjIeC-swCSdcyAatQ3C2ww3h286-DEIBCeBtXz1KIqzC3_baM95L6n39BfIwQVrE=s0-d)
Usando aritmética modular verificamos rapidamente que
logo,
Sendo
um número natural.
Assim,
![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n = [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmDtTzGFmndBTMlGaKx4I6Xqic5HaZ4TWHiwHvo3_gQY4ZmCztFRh1sny_c4CngDad6pCDw6IUQORQzyL-zn_lae_6HeQc5d6RfZfHt2MaDhj6WnGCJBT_eE4eFc_WozCMfpYIwfjsLr8ALbOD8VFWEgfd8_ANqwLEjslwFxwepM8sXRp3vVm1N996QntPHJfkMR4CQi99QtXz7WM=s0-d)
![(3a_1 + 1)x_1 + [;(3a_1 + 1)x_1 +;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smRpz0z_JlG0vRvDBPXJutn4JyvvQTr33tktX7SjkVEcj2c75FbvL7Xs5a63BJx5FAs0jSSKFFsLqAlE01s0vZ6c4TljVvIHzPMaroLc0vQSQ=s0-d)
![(3a_2 + 1) x_2 + \cdots + [; (3a_2 + 1) x_2 + \cdots +;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ugDIOm7_I9UUP2dTlYV9o4eEQlaO9EtCcoi88S2mwEhvfM6HVWEBnQ9IV6GKkjhpZHw_i7EwwxwMoodp0WaIr-wflhgHCGTtWPs_8lXFFT6Lb4VjvUevq55N97kpaMR9eOF5Zrcg=s0-d)
![x_n [;x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vVcTD_LlgxzSDX1iAPRlK_KeN2nIVGibukSLlkCKBQUs3Q39N2xuA2VEy4_ujafYoDQ1F6R-86kbgF=s0-d)
![= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n [;= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJ6g04dArMh9hwZm7xl3NcRcjbE4KzhD3MM9amiVM3L_gvnkaWD0E5S-RHTJS2zIwAvcxZzW6wiJbEDkipWxz0L6-40q1FZmPWc5LxP2O5JDLFLeQdiX7vE7HwkVFTBAE9xgetAxmhH9btNEUMowlfO-n_q_hp7JtjE7MyGAMmqyrqX9NtonAHCfD2B1OednzWTztbC8dS5eZz4-gY04rl5d1ueXFvvxJNLQUUPJMnistkV2aPE23NjO-IrmIqCbTKMKmdOW0S98fSll7DPdIsX1EWIy4wZvt9o8kdELZd2MeCR8K7T0bPttylMFzOk_Rn1zb12gOInSbE=s0-d)
Fica fácil perceber que:
![x_1 x_2x_3 \cdots x_n [;x_1 x_2x_3 \cdots x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTmYRw6PEGQiFtw5zoqngtRQrgk1wkLIhAcQEkGx-Nm4vsOlPNizdu5vgSiaN-UWMoi118u_oZPRzjTw6RjNwM2h2rR5QgGvyCAFPVbuB3aF2bFKYf=s0-d)
![= [;=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sarz5yG5txiAkAEPlDgGVS6zP19SJIZs3GKSmZ86PIKDxqBBC9DlHF08jOh2hR0QEXpc1prPQL83E=s0-d)
é multiplo de 3 se e somente se
for um múltiplo de 3.
C.Q.D.
Exemplo:
1- Verifique que:
é um multiplo de 3.
De fato
e
logo,
é de fato um múltiplo de 3.
Critério de multiplicidade de 9-
Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.
Demonstração:
De fato, se![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uFSil1HwoADORe0bmMo69VtuSNgY1-rOU5b1S0nkVDkDYnm1PZk1m9H7kDAeShiZEOo5ppD-ev0Ve7xG0kdQXe_nOlMKyNFO92-so2JNQBRciwY_ZuYHxP7LyTPO3yYXKBm3by0p0VXEOr-C_sYUAtM4_TqG8TY2_OIGrkw1sM5uQFI5R7J3UPjHWG7fj3Qfya-KSt5v6AArJhng=s0-d)
Como
deixa resto 1 quando dividido por
,
sendo a e k números naturais, temos:
![x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n= [;x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udgvDVgJSRuu0M45-9D_d_6MaEUEESGG_An30Rmji7Qlt7oYxU6-K95j5kBDJopD2-EAXaHQTsLmw2B4Hy25OkAUZyYYtZHTXv3_0KTe3pehPWh4p88y47cpfq46BCwS_PAc61UrgKSMH65FitNjR_SFyOMVtFj439tVBwnGCcFX6bnjKVClbllmZSbeVM6jjDo9HXk_WfMLMy1DI7lYkHhN8YOjhoB6h2RdPFmsYc=s0-d)
![=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n [;=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t4QiJuBlmg5zPRHPkxdpamYFaLYxxLFGy8kn5dxneoezSI-i6LYNtM3fsIoYbXYvoU_BXIEWPouQioF0mq4YfqC1efJZOC8XU2jgUVWhTOYRhQwcvrfVuOYA78pkkhGtKam8y_helpdoUPmTn4jZHlVS3FnSk2ZCe9do3Nx1gv0kcHyBFjcs2ZlDIwYPO7MOOrp7Y7fXt91Vcr5OfNzlot3aMvhcp7RcFSp_GsalTMzcqjlsIqHw3l4Ul_bx69rDfNoNxyTFfKczDUL2S_cXmbYLh3jXye-jHTwKuCVrrNjESmloG1fSJ4_q61Yl-aroCKhsAws14G-5Iiie9WPQobFayArKqhbIcTuBVG5ZhabjBvBQN8LHr0CxLCvxWiRas0XC0ppmOf=s0-d)
que é divisivel por
se e somente se
for divisivel por 9.
C.Q.D.
Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?
![9x+45y=11223548896547 [;9x+45y=11223548896547;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sldhCACRKfeIFR_WOrfzR1Kvrp2Kh8tAMkV7o-TjLoq_SHTMXcXuavmRexiQX8iBpxPRi6XhA0ohf6vBhfB2rif3AozQ2j8jhl2LeESg=s0-d)
Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se
divide
porém
e
como
não é um multiplo de 9, pelo critério de multiplicidade de 9,
também não é.
Logo, a equação não possui solução.
Critério de multiplicidade de 5 -
Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.
Demonstração:
Usando o fato:
vamos fazer:
![10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n [;10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vf5elh3y3oiW43z_ELjU5Z_jg7QntzK5_8_aag3XTLj_64TJsXUQToYBS9Ke4elE6Yq4LPOCe8ABX8aqvh8oIAFg2p-5Hu4HkhFvAoP6XCPeQ6mNpILeQQthwmVG_XH-1xlC99LK_ez_XTjbsNnOcCqERtU-S5nZze8MhE3B-wIYBZu9_WnZheRVttfd3_uGk-WECRDvjjU22c1SSXmtjvrstJn0-7C5iZS9RuS0DdyV4gf3tpDGcvcKpe4l6NB2RzUufV9qxIO9y5uiHm1tVqqJd19rCiK38-NYoo7LwPKbLLOHMi01F29zdhcUW6al0tGpQPeTZHMCP2jlG5jx753n3E7b-cOIOkXcQR=s0-d)
Como
é múltiplo de 5, então
será múltiplo de 5 se e somente se
for múltiplo de
ou seja,
ou
.
De modo mais geral, um critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:
Enunciado: Um número é múltiplo de
,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é multiplo de 5 .
Demonstração:![x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPQN-_SR-OMDhYAOS9vRfBL1FuK0uT5H6tqiY3uOaGib2MNX1-hCZpQOe7Ss80_QuyGDH6visjLwfXvSOqU2k4FfdnfnZwG3CLX3ysdZvYFiyZesPQNv6D6XZYcAhmL5T2nivNWBxCEiX34qoUsSqOsFlGMmUQ-RY6UXu0WJegoJ20gLVPSPUneb9EkC-6mWj3y3gMH_ex=s0-d)
![x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n [;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vruOJZtd573nNzXAap0NsLB6K0P_WFEWKflH8_0hYzEZnIKoQWwle4Ip1FEWM97piJK6Xq6xU8VIAO6QRDBDLwOjPz0GU_6LBtuVlJmRV2cK60zImDVXHsklMqPcSFcVu4OayzHIfvM_L5jFSEf7FzdM2qDYlVprZAt8UTZwS5Hb6rU1gwc-PAqNJOglYisWk0bcYdxYhhpTPXVr9E7Zjf51d0ZKJcspKQrE92lWqtv1c_kx8KVmy9aUWvm2cxjQ=s0-d)
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vy67xUglYi2dmlxbGmQREs6nLKCQGZKiHjHQXDA5TsAk2uYDUPNPiCo4P20hoZY3klB_0ESt34QxTIemQZi0TQrA9IwS44_PViOKuQhO7KKhrV88idwx2tRLneCli7Au-zkafK1Ish6GzKo_bAP-VrR1om742yjA_11rumiF4aVxbkCxCcRncFlCGfO2dxRAGoSo9fVxXQcYX8YDt7KArs8niz9mLl0CBwl64Y8MIhbdaLcMjlZAZeRZ5BH5aqRdH-5ETvRaGkE-ZYsoMfVeDkr4bOoJp8AA2b3EHq6yZagDb2MmUA0OLtfec654VFIeRjl4qEPsPzA5cq=s0-d)
Se
então
assim,
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sYb8N1UTT7aor7nqLMqtFBS-4I4UeWPGcP3J-q3J7bTUx6bNupklT27X6oGMiJDI4CgiSdXvmq3nDhdBEPlRzl1M2XWAleRl7_Ovv9f2VTEDvjy8t2EBrg0Qh1BvhL33wYKCxNnfO4WSXl1JbS5JrCY0jFNnc-iV8ci3NVXjnWW22NyFI6Ajw-6ZLZtkdUdDtGcR1YbIo_8wgP6hQnLHkKVv6hqBVo5jzywmS8WNIjPWeIi3u8VULma5UPBinavAhVTtZxvsLRvVmQGi_Dpw_tyh6sYcShieeFTJ-XvpSV4Yadwy0vkt1lT4s5guVPu0ilxz2HMq719uHPL3NT4n_Yqr2wB6-76ZQ=s0-d)
é múltiplo de
se e somente se
for múltiplo de
.
Repare que
é o número formado pelos k últimos algarismos de ![x_1x_2x_3\cdots x_n [;x_1x_2x_3\cdots x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vYw9gxdmSir_JCGppZRzItbl8vMJCkd9CmvzvBiw3_8ScpcGprp0rL41gfv8hA0_9nBe36PjLWUcWY_xLnPcB46ICyOh1Z-1jLqvseeDCt=s0-d)
C.Q.D.
Daí segue os critérios de![25, 125, 625,\cdots [;25, 125, 625,\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sHP4h6OOgjkQk6nouFmKSBU2kN72DIKkaEMxY1GhxZ8G6d-yJ_kXdOgdAYFl8r3uJzyQfqcB4oJOn_nUvrZTMMrVG-jolyGat5JmjkdHRrGg=s0-d)
Exemplo:
1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?
Para ser múltiplo de
ele deve terminar em
ou
Assim, os números que procuramos são da forma XA sendo que X pode ser
ou
e A pode ser
ou
. Assim, X pode ser escolhido de 9 formas e A de 4 formas. Pelo principio multiplicativo (que é enunciado nessa postagem) há
números de 3 algarismos que são múltiplos de 25.
Critério de multiplicidade de potências de 2-
Enunciado: Um número é múltiplo de
,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é múltiplo de
.
Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.
![x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPQN-_SR-OMDhYAOS9vRfBL1FuK0uT5H6tqiY3uOaGib2MNX1-hCZpQOe7Ss80_QuyGDH6visjLwfXvSOqU2k4FfdnfnZwG3CLX3ysdZvYFiyZesPQNv6D6XZYcAhmL5T2nivNWBxCEiX34qoUsSqOsFlGMmUQ-RY6UXu0WJegoJ20gLVPSPUneb9EkC-6mWj3y3gMH_ex=s0-d)
![x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n [;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vruOJZtd573nNzXAap0NsLB6K0P_WFEWKflH8_0hYzEZnIKoQWwle4Ip1FEWM97piJK6Xq6xU8VIAO6QRDBDLwOjPz0GU_6LBtuVlJmRV2cK60zImDVXHsklMqPcSFcVu4OayzHIfvM_L5jFSEf7FzdM2qDYlVprZAt8UTZwS5Hb6rU1gwc-PAqNJOglYisWk0bcYdxYhhpTPXVr9E7Zjf51d0ZKJcspKQrE92lWqtv1c_kx8KVmy9aUWvm2cxjQ=s0-d)
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vy67xUglYi2dmlxbGmQREs6nLKCQGZKiHjHQXDA5TsAk2uYDUPNPiCo4P20hoZY3klB_0ESt34QxTIemQZi0TQrA9IwS44_PViOKuQhO7KKhrV88idwx2tRLneCli7Au-zkafK1Ish6GzKo_bAP-VrR1om742yjA_11rumiF4aVxbkCxCcRncFlCGfO2dxRAGoSo9fVxXQcYX8YDt7KArs8niz9mLl0CBwl64Y8MIhbdaLcMjlZAZeRZ5BH5aqRdH-5ETvRaGkE-ZYsoMfVeDkr4bOoJp8AA2b3EHq6yZagDb2MmUA0OLtfec654VFIeRjl4qEPsPzA5cq=s0-d)
Se
então
assim,
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sYb8N1UTT7aor7nqLMqtFBS-4I4UeWPGcP3J-q3J7bTUx6bNupklT27X6oGMiJDI4CgiSdXvmq3nDhdBEPlRzl1M2XWAleRl7_Ovv9f2VTEDvjy8t2EBrg0Qh1BvhL33wYKCxNnfO4WSXl1JbS5JrCY0jFNnc-iV8ci3NVXjnWW22NyFI6Ajw-6ZLZtkdUdDtGcR1YbIo_8wgP6hQnLHkKVv6hqBVo5jzywmS8WNIjPWeIi3u8VULma5UPBinavAhVTtZxvsLRvVmQGi_Dpw_tyh6sYcShieeFTJ-XvpSV4Yadwy0vkt1lT4s5guVPu0ilxz2HMq719uHPL3NT4n_Yqr2wB6-76ZQ=s0-d)
é múltiplo de
se e somente se
for múltiplo de
.
Repare que
é o número formado pelos k últimos algarismos de
.
Daí segue os critérios de![2, 4, 8, 16, 32, \cdots [;2, 4, 8, 16, 32, \cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vAe07wjL00cczudA01tCbVxDV_TsYXizokl4OYxsFABUH34e7JkVmRpImaPnCRwLZBhnNcA0JyfbD6WaIScz2DGuV1XlkfFBXpbxbSLxCo8vDgKqBrWoGyd2HB=s0-d)
Critério de multiplicidade de 7-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7. Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 7.
Demonstração: Primeiro escrevemos![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ufn21R5kd9CxCBGKr5-OQNpNrTTWQChSAQesMmho2-DxHEnMkEZ8NN7YkScxcij9XFPhs3HjfMtrpimJYwu3yBBOdvMx9WBM2gClFKEENzx1pLzb5wfmCi4I1F646Ep47hURBSPZUyAXJFO8FKyxfsFTvIKXb9xNp1YWEquXdbC0KsimY=s0-d)
Se:
(o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7)
Então:![x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n [;x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sp0DyB4rGpl5Sext3T6l48FEuO00PJtBh3bsjxb_UfDg01dineVZDGLairknQsAfHZ6VDExxiXOfDlusPWAdi6iCbnEWyEBPqnNfE-5vKL67irNhSlgtjhI85Hdg=s0-d)
Assim,
que é certamente um múltiplo de 7.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
. Clique aqui para ler mais sobre demonstrações por absurdo.
Se
então
. Assim,
Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 11-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de
.Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 11.
Demonstração: Primeiro escrevemos![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ufn21R5kd9CxCBGKr5-OQNpNrTTWQChSAQesMmho2-DxHEnMkEZ8NN7YkScxcij9XFPhs3HjfMtrpimJYwu3yBBOdvMx9WBM2gClFKEENzx1pLzb5wfmCi4I1F646Ep47hURBSPZUyAXJFO8FKyxfsFTvIKXb9xNp1YWEquXdbC0KsimY=s0-d)
Se:
(o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de
)
Então:![x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n [;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vFS6qUlLT_kbrlV9UhPlTeWuOD_993ldYdwVnxDxu_kH-J-5oVFNYfR7yHb0VDCb-1lcOba7IeJbenF5aJzcQLI-LUWb94Y8FN9EqpauE4YkwWqLBd9A4xog2iphD_OaM56zaRJl9V=s0-d)
Assim,
que é certamente um múltiplo de
.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
.
Se
então
. Assim
. Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 13-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de
.Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 13.
Demonstração: Primeiro escrevemos![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ufn21R5kd9CxCBGKr5-OQNpNrTTWQChSAQesMmho2-DxHEnMkEZ8NN7YkScxcij9XFPhs3HjfMtrpimJYwu3yBBOdvMx9WBM2gClFKEENzx1pLzb5wfmCi4I1F646Ep47hURBSPZUyAXJFO8FKyxfsFTvIKXb9xNp1YWEquXdbC0KsimY=s0-d)
Se:
(o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de
)
Então:![x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n [;x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmlSYide14hk-AfGxh8_5jsEc5FEF5e0JVhVz-poRDfhbFKKGd6P91SX_hPBRFsqHSXoFPFKMnw1pC_Z1k_SXaeAYOc2gzDmkSL0AgJiMIU6ZPVMx-Hjh7rH6W5XBZRgk09yB8h2tPisan6xJ72QCctqE=s0-d)
Assim,
que é certamente um múltiplo de
.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
.
Se
então
. Assim,
![x_1x_2 \cdots x_n = [;x_1x_2 \cdots x_n =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vheSR6zFCy5TwV-FRPMGX5T3NJcSHkVqyc5WA3tWzJSb86Y0ywcQuDrxe4dflpLQfher46lKvM5Ooea056gNK_J65zmEq9F3A1IcZSAWgGP5gN=s0-d)
![10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n [;10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSZlJkt0CFTsFoQ_1wl-1DP5SZOxgvMakdTRUp8cNCQD39iqf7iPmsINgZZSpHohetRLZ2g2kob77FyfhfThC7qlaD1y1GR6z4V59YACNH3nxUNWw0eZS9SUlixcjEm9IaIxWlvbX-dyuMjg=s0-d)
![= [;=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sarz5yG5txiAkAEPlDgGVS6zP19SJIZs3GKSmZ86PIKDxqBBC9DlHF08jOh2hR0QEXpc1prPQL83E=s0-d)
Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
O.B.S.: Sabendo que
podemos enunciar um critério de multiplicidade de 7, 11 e 13 que é o seguinte:
Um número
é múltiplo de 7, 11 ou 13 se e somente se
for respectivamente múltiplo de 7, 11 ou 13.
A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.
A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.
Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:
Se
sendo
então para verificar se
divide
é só verificar se
x divide
E se
divide
.
A demonstração é a seguinte:
Se x divide
então ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUUwbs_7UqeFHSUk_kq3-4ai_-zQLdbeEp9SQOgdNMIPDnWbGqHV8SyikxXfWl-6cChtzBpA5zYPyN1k19V4lpSPWFGJ_1UWGIid5t=s0-d)
![=ax [;=ax;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tMhlkXe4FpXpTPQ1N2-TsAG0vWZuOpBFgk0dp2GlGY4wDUoM_VftVy90hBYTpboWmIPFViEW12z795=s0-d)
Se
divide
então ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUUwbs_7UqeFHSUk_kq3-4ai_-zQLdbeEp9SQOgdNMIPDnWbGqHV8SyikxXfWl-6cChtzBpA5zYPyN1k19V4lpSPWFGJ_1UWGIid5t=s0-d)
![=by [;=by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_te72V9ful9hw9pvrhHkgrrRGDQBhkWGyOmDz8siI-__ki4-4_jCDrpjSQvwzJFJ6s6aV1UipGQtID6=s0-d)
logo,![ax=by [;ax=by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vE0M0-c9APoo72re8NZqXv8er8JGzm247ibBARC-qEULOcIIvu9BHBKbRLHsNIw-lu8NjVA6NA4An0e0Nl=s0-d)
como
temos que:
e ![b=x \cdot k [;b=x \cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tJsOpMzUyaW0vx2YbrLvzdNHIeLhNuQdmmD6Q82r2QOPQwkNleeI-YO0VON7Mt68gskSp23qz4JnyxCZNva663F44phpxCUzfU=s0-d)
Assim,![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUUwbs_7UqeFHSUk_kq3-4ai_-zQLdbeEp9SQOgdNMIPDnWbGqHV8SyikxXfWl-6cChtzBpA5zYPyN1k19V4lpSPWFGJ_1UWGIid5t=s0-d)
![=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k [;=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzSKS-rDcvYGTmlKITE-sVopvrCPioPdvC77p0nzLradxoMHb9gfgLmcqfiRkkA1gSXo0Pwd82lg1HZd7k4lqZhpRfstygNpvW9uHlqHWEYITAaFE4u8mAqS9yyfDyZFILo_oi9cDSzPXbjM4=s0-d)
C.Q.D.
Daí obtemos os critérios de multiplicidade de:![6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots [;6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8rzhAcc1PjZX_r2sC5e3qHETWvTTjt1EOR9f4pFOQz70ZEPD5fcNPgZ0EQPqhbwUR90sctFWzkmOgAmDVpzdaIYDD1oXN14gA9gc9Sgj6Ice6ctKCYAAbOhEVWzPxHaRg=s0-d)
Por hoje é só, espero que este post tenha sido útil. Se você gostou do blog, divulgue aos seus amigos e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações. Lembre-se também de avaliar a postagem logo abaixo, isso ajuda a termos noção do conteúdo que estamos produzindo. A equipe do blog convida você a comentar logo abaixo.
Até mais!
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:
No sistema de numeração decimal, um número
Assim,
Critério de multiplicidade de 3-
Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.
Demonstração: De fato, se
Usando aritmética modular verificamos rapidamente que
Assim,
Fica fácil perceber que:
C.Q.D.
Exemplo:
1- Verifique que:
De fato
Critério de multiplicidade de 9-
Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.
Demonstração:
De fato, se
Como
que é divisivel por
C.Q.D.
Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?
Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se
Logo, a equação não possui solução.
Critério de multiplicidade de 5 -
Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.
Demonstração:
Usando o fato:
Como
De modo mais geral, um critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:
Enunciado: Um número é múltiplo de
Demonstração:
Se
é múltiplo de
Repare que
C.Q.D.
Daí segue os critérios de
Exemplo:
1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?
Para ser múltiplo de
Critério de multiplicidade de potências de 2-
Enunciado: Um número é múltiplo de
Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.
Se
é múltiplo de
Repare que
Daí segue os critérios de
Critério de multiplicidade de 7-
Enunciado: Um número
Demonstração: Primeiro escrevemos
Se:
Então:
Assim,
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
Se
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 11-
Enunciado: Um número
Demonstração: Primeiro escrevemos
Se:
Então:
Assim,
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
Se
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 13-
Enunciado: Um número
Demonstração: Primeiro escrevemos
Se:
Então:
Assim,
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
Se
C.Q.D.
O.B.S.: Sabendo que
Um número
A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.
A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.
Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:
Se
x divide
A demonstração é a seguinte:
Se x divide
Se
logo,
como
Assim,
C.Q.D.
Daí obtemos os critérios de multiplicidade de:
Por hoje é só, espero que este post tenha sido útil. Se você gostou do blog, divulgue aos seus amigos e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações. Lembre-se também de avaliar a postagem logo abaixo, isso ajuda a termos noção do conteúdo que estamos produzindo. A equipe do blog convida você a comentar logo abaixo.
Até mais!
Muito bom!
ResponderExcluirAdorei os critérios de divisibilidade, são muito úteis, e me ajudaram muito!!!!
Obrigada :D
Ótimo! Sinal de que estamos alcançando nossos objetivos... Obrigado pelo comentário.
ExcluirAté mais!
Eduardo.
Somente para quem não sofra de preguiça mental.
ResponderExcluirPara verificar rapidamente a divisibilidade por sete de N = a.bcd proceda da seguinte forma:
1 - Elimine cd,
2 - Calcule a diferença entre cd e o múltiplo de sete imediatamente superior,
3 - Adicione o resultado ao dígito "a" e subtraia do resultado o múltiplo de sete imediatamente inferior (se necessário) para obter a'.
4 - Se a'b for múltiplo de 7 então a.bcd também o é.
Exemplo: N = 1.561; 61 para 63 = 2, 2 + 1 = 3 → 35; 7|35 e 7|N
Para números maiores é necessário repetir o procedimento até ser alcançado o último par de dígitos à esquerda; se o último par for incompleto, considere a = 0.
Esse procedimento funciona para verificar a divisibilidade por 7, 11 e 13 de números de qualquer quantidade de classes.