Pessoal, hoje vou postar a prova da OMCPLP (Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa). A competição, que este ano teve realizada sua segunda edição, ocorreu na cidade de Salvador, BA, entre os dias 20 e 28 de Julho.
Primeiro dia
Problema 1: Arnaldo e Bernaldo treinam para uma maratona ao longo de uma pista circular, a qual possui em seu centro um mastro com uma bandeira hasteada. Arnaldo corre mais rápido que Bernaldo, de modo que a cada 30 minutos de corrida, Arnaldo dá 15 voltas na pista, enquanto Bernaldo só consegue dar 10 voltas completas.
Arnaldo e Bernaldo partiram do mesmo instante da linha inicial e correram com velocidades constantes, ambos no mesmo sentido. Entre o minuto 1 e o minuto 61 da corrida, quantas vezes Arnaldo, Bernaldo e o Mastro ficaram colineares?
Problema 2: Maria dispõe de um tabuleiro tamanho n x n, inicialmente com todas as casas pintadas de cor branca. Maria decide pintar algumas casas do tabuleiro de preto, seguindo a seguinte regra: pinta a borda do tabuleiro, depois deixa a borda do tabuleiro restante em branco, pinta a borda do tabuleiro interior a este, e assim sucessivamente.
a) Determine um valor de n para que o número de casas pretas seja igual a 200.
b) Determine o menor valor de n para que o número de casas pretas seja maior do que 2012.
Problema 3: Seja n um inteiro positivo. Abigail e Berenice disputam o seguinte jogo, que utiliza n bolas numeradas de 1 até n. Elas dispões de duas caixas, rotuladas com os símbolos Σ e Π, respectivamente.
Na sua vez, cada jogador escolhe uma bola e a coloca em uma das caixas. Ao final, os números das bolas que estão na caixa Π são multiplicados, obtendo-se um valor P e os números das bolas que estão na caixa Σ são somados, obtendo-se um valor S. (se a primeira caixa estiver vazia, adotamos P=1, e se o mesmo ocorrer com a segunda, adotamos S=0). Elas jogam alternadamente, iniciando por Abigail, até que não haja mais bolas fora das caixas.
Se o valor de P+S for par, vence Abigail. Caso contrário, Berenice ganha.
a) Quem possui uma estratégia vencedora para n = 6?
b) Quem possui uma estratégia vencedora para n = 2012?
Segundo Dia
Problema 4: Uma formiga passeia sobre o perímetro de um triângulo ABC. A formiga pode começar em qualquer vértice. Sempre que a formiga está em um vértice, ela escolhe um dos dois vértices adjacentes e caminha diretamente (em linha reta) até o vértice escolhido.
a) De quantas maneiras ela pode passear visitando cada vértice exatamente duas vezes?
b) De quantas maneiras ela pode passear visitando cada vértice exatamente três vezes?
Observação: Considere o vértice inicial como visitado.
Problema 5: Arnaldo e Bernaldo estão brincando no quadro da sala de aula da seguinte maneira: eles escrevem inicialmente no quadro um número inteiro positivo n. Então, alternadamente, começando com Arnaldo, apagam o número que está no quadro e escrevem um novo número que pode ser:
- o que acabou de ser apagado menos a maior potência de 2 (com expoente inteiro não negativo) menor do que ou igual ao número apagado;
- o que acabou de ser apagado dividido por 2, caso o número apagado seja par.
Vence quem obtiver primeiro o número zero.
a) Determine qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora para n = 40 e descreva-a.
b) Determine qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora para n = 2012 e descreva-a.
Problema 6: Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência de centro O. Sabe-se que as diagonais AC e BD são perpendiculares. Sobre cada lado do quadrilátero são construídos semicírculos, externamente, de raio igual à metade do lado. Além disso, sombreia-se a área dos semicírculos que se encontra externa à circunferência.
a) Mostre que os triângulos AOB e COD têm mesma área.
b) Se AC = 8cm e BD = 6cm, determine a área da região sombreada.
Fazendo uma ressalva: esta prova, comparada à IMO, é muito fácil. Talvez seja pelo nível dos competidores (o melhor competidor é o atual décimo nono no ranking da IMO, o Brasil, além de países como Timor Leste ou Cabo Verde participarem). O Brasil, nesta competição, ficou em primeiro geral, com dois ouros (pontuaram 41 dos 42 pontos possíveis) e duas pratas (pontuaram 40 e 38 pontos dos 42 possíveis). Sugiro que, caso você esteja começando a resolver problemas mais “sofisticados”, tente resolver esta prova: é um ótimo treinamento, e os problemas são instigantes, porém não muito amedrontadores.
Enfim, é tudo por hoje. Depois traremos soluções para questões dessa prova e da IMO. Se gostou do post, avalie aqui embaixo.
Lembre-se: Você está convidado a comentar e deixar sua opinião ou crítica, desde que bem educada.
Boa noite, existe gabarito para essa prova disponível?
ResponderExcluirGrato, Mario.
ótimo post para incentivar os alunos da nossa escola particular zona norte
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