Prova da Olimpíada de Matemática da Lusofonia.

Pessoal, hoje vou postar a prova da OMCPLP (Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa). A competição, que este ano teve realizada sua segunda edição, ocorreu na cidade de Salvador, BA, entre os dias 20 e 28 de Julho.

Primeiro dia

Problema 1: Arnaldo e Bernaldo treinam para uma maratona ao longo de uma pista circular, a qual possui em seu centro um mastro com uma bandeira hasteada. Arnaldo corre mais rápido que Bernaldo, de modo que a cada 30 minutos de corrida, Arnaldo dá 15 voltas na pista, enquanto Bernaldo só consegue dar 10 voltas completas.

Arnaldo e Bernaldo partiram do mesmo instante da linha inicial e correram com velocidades constantes, ambos no mesmo sentido. Entre o minuto 1 e o minuto 61 da corrida, quantas vezes Arnaldo, Bernaldo e o Mastro ficaram colineares?

Problema 2: Maria dispõe de um tabuleiro tamanho n x n, inicialmente com todas as casas pintadas de cor branca. Maria decide pintar algumas casas do tabuleiro de preto, seguindo a seguinte regra: pinta a borda do tabuleiro, depois deixa a borda do tabuleiro restante em branco, pinta a borda do tabuleiro interior a este, e assim sucessivamente.

a) Determine um valor de n para que o número de casas pretas seja igual a 200.

b) Determine o menor valor de n para que o número de casas pretas seja maior do que 2012.

Problema 3: Seja n um inteiro positivo. Abigail e Berenice disputam o seguinte jogo, que utiliza n bolas numeradas de 1 até n. Elas dispões de duas caixas, rotuladas com os símbolos Σ e Π, respectivamente.

Na sua vez, cada jogador escolhe uma bola e a coloca em uma das caixas. Ao final, os números das bolas que estão na caixa Π são multiplicados, obtendo-se um valor P e os números das bolas que estão na caixa Σ são somados, obtendo-se um valor S. (se a primeira caixa estiver vazia, adotamos P=1, e se o mesmo ocorrer com a segunda, adotamos S=0). Elas jogam alternadamente, iniciando por Abigail, até que não haja mais bolas fora das caixas.

Se o valor de P+S for par, vence Abigail. Caso contrário, Berenice ganha.

a) Quem possui uma estratégia vencedora para n = 6?

b) Quem possui uma estratégia vencedora para n = 2012?

Segundo Dia

Problema 4: Uma formiga passeia sobre o perímetro de um triângulo ABC. A formiga pode começar em qualquer vértice. Sempre que a formiga está em um vértice, ela escolhe um dos dois vértices adjacentes e caminha diretamente (em linha reta) até o vértice escolhido.

a) De quantas maneiras ela pode passear visitando cada vértice exatamente duas vezes?

b) De quantas maneiras ela pode passear visitando cada vértice exatamente três vezes?

Observação: Considere o vértice inicial como visitado.

Problema 5: Arnaldo e Bernaldo estão brincando no quadro da sala de aula da seguinte maneira: eles escrevem inicialmente no quadro um número inteiro positivo n. Então, alternadamente, começando com Arnaldo, apagam o número que está no quadro e escrevem um novo número que pode ser:

- o que acabou de ser apagado menos a maior potência de 2 (com expoente inteiro não negativo) menor do que ou igual ao número apagado;

- o que acabou de ser apagado dividido por 2, caso o número apagado seja par.

Vence quem obtiver primeiro o número zero.

a) Determine qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora para n = 40 e descreva-a.

b) Determine qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora para n = 2012 e descreva-a.

Problema 6: Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência de centro O. Sabe-se que as diagonais AC e BD são perpendiculares. Sobre cada lado do quadrilátero são construídos semicírculos, externamente, de raio igual à metade do lado. Além disso, sombreia-se a área dos semicírculos que se encontra externa à circunferência.

a) Mostre que os triângulos AOB e COD têm mesma área.

b) Se AC = 8cm e BD = 6cm, determine a área da região sombreada.

Fazendo uma ressalva: esta prova, comparada à IMO, é muito fácil. Talvez seja pelo nível dos competidores (o melhor competidor é o atual décimo nono no ranking da IMO, o Brasil, além de países como Timor Leste ou Cabo Verde participarem). O Brasil, nesta competição, ficou em primeiro geral, com dois ouros (pontuaram 41 dos 42 pontos possíveis) e duas pratas (pontuaram 40 e 38 pontos dos 42 possíveis). Sugiro que, caso você esteja começando a resolver problemas mais “sofisticados”, tente resolver esta prova: é um ótimo treinamento, e os problemas são instigantes, porém não muito amedrontadores.

Enfim, é tudo por hoje. Depois traremos soluções para questões dessa prova e da IMO. Se gostou do post, avalie aqui embaixo.

Lembre-se: Você está convidado a comentar e deixar sua opinião ou crítica, desde que bem educada.