Olá gente! Hoje aprensentarei um problema bastante conhecido em geometria e algumas de suas soluções também muito conhecidas.
O triângulo ao lado é isósceles de vértice .
Sendo e calcule .
Resolução 1 :
Vamos usar lei dos senos nessa solução. Clique aqui para ler o post do João sobre geometria com contas.
Se fizermos então
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ...
(I)
e no triângulo obtemos:
(II) (só usar a fórmula do seno do arco duplo!)
Como então é isosceles. Assim,
Isso nos permite escrever (I)=(II)
Logo,
Sendo
Temos
Usando a fórmula da soma de arcos para o seno e da subtração de arcos para o cosseno obtemos:
daonde .
Uma outra solução é obtida de forma mais bonita.
Resolução 2:
Observe a construção abaixo
Na figura abaixo . Seja o ponto de encontro de com. Assim, e são triângulos equiláteros. Ou seja, como é isosceles, então é isosceles com ângulo do vértice , assimcomo e e são colineares, .
Como e é isosceles com angulo do vétice .
Lembrando que é equilatero. Temos e assim, pelo caso LLL, . Por isso, é bissetriz de , logo, .
Há muitas outras soluções para esse problema. Por que você não tenta a sua?
Lembre-se: Para melhorar a qualidade de nossas postagens avalie-as logo abaixo. Se você gostou do blog recomende aos seus amigos e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O triângulo ao lado é isósceles de vértice .
Sendo e calcule .
Resolução 1 :
Vamos usar lei dos senos nessa solução. Clique aqui para ler o post do João sobre geometria com contas.
Se fizermos então
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ...
(I)
e no triângulo obtemos:
(II) (só usar a fórmula do seno do arco duplo!)
Como então é isosceles. Assim,
Isso nos permite escrever (I)=(II)
Logo,
Sendo
Temos
Usando a fórmula da soma de arcos para o seno e da subtração de arcos para o cosseno obtemos:
daonde .
Uma outra solução é obtida de forma mais bonita.
Resolução 2:
Observe a construção abaixo
Na figura abaixo . Seja o ponto de encontro de com. Assim, e são triângulos equiláteros. Ou seja, como é isosceles, então é isosceles com ângulo do vértice , assimcomo e e são colineares, .
Como e é isosceles com angulo do vétice .
Lembrando que é equilatero. Temos e assim, pelo caso LLL, . Por isso, é bissetriz de , logo, .
Há muitas outras soluções para esse problema. Por que você não tenta a sua?
Lembre-se: Para melhorar a qualidade de nossas postagens avalie-as logo abaixo. Se você gostou do blog recomende aos seus amigos e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
Belas Demonstrações para este problema clássico e, na minha opinião, belíssimo, pois seu enunciado é bastante simples mas sua resolução necessita de um pouco de engenhosidade, gostei bastante!
ResponderExcluirAté mais !
Olá diego! Obrigado pelo seu comentário! De fato, embora eu não seja muito bom em geometria, acho incrível como algumas soluções podem ser tão elegantes. Continuaremos postando problemas interessantes.
ResponderExcluirAbraço e até mais !
Legal ! O blog está muito bom ! Parabéns :D
ResponderExcluirObrigado, Lucas! Fazemos o melhor para passar o conhecimento!
ExcluirPorq n tm um campo onde os problemas apresentados fornecem as soluções?
ResponderExcluirPuxa vida, o blog é bem interessante! Meu professor o indicou em sala, parabéns!
ResponderExcluirCumprimentos,
Lu